Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из подмножества Cofinal )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , пусть быть множество , и пусть ≤ быть бинарное отношение на А . Тогда подмножество B ⊆ A называется конфинальным или частым [1] в A, если оно удовлетворяет следующему условию:

Для любого a ∈ A существует такой b ∈ B , что a ≤ b .

Подмножество, которое встречается нечасто, называется нечастым . [1] Это определение чаще всего применяется, когда A является частично упорядоченным множеством (или, в частности, направленным множеством ) в отношении ≤ .

Конфинальные подмножества очень важны в теории направленных множеств и сетей , где « конфинальная подсеть » является подходящим обобщением « подпоследовательности ». Они также играют важную роль в теории порядка , в том числе теории кардинальных чисел , где минимально возможная мощность из конфинальной подмножества A упоминается как конфинальности из A .

Подмножество B ⊆ A называется коинициальным (или плотным в смысле принуждения ), если оно удовлетворяет следующему условию:

Для любого a ∈ A существует такой b ∈ B , что b ≤ a .

Это теоретико-упорядоченное двойственное понятие понятия конфинального подмножества.

Обратите внимание, что конфинальное и коинициальное подмножества плотны в смысле топологии соответствующего (правого или левого) порядка .

Свойства [ править ]

Конфинальное отношение над частично упорядоченными множествами (« посетами ») рефлексивно : каждый посет является конфинальным сам по себе. Также транзитивно : если B является конфинально подмножеством ч.у.м. А и С является конфинальным подмножество B (с частичной упорядоченностью A применяется к B ), то С также конфинально подмножество A .

Для частично упорядоченного набора с максимальными элементами каждое конфинальное подмножество должно содержать все максимальные элементы , в противном случае максимальный элемент, который не входит в подмножество, не мог бы быть меньше или равен любому элементу подмножества, нарушая определение конфинала. Для частично упорядоченного множества с наибольшим элементом подмножество конфинально тогда и только тогда, когда оно содержит этот наибольший элемент (это следует, поскольку наибольший элемент обязательно является максимальным элементом). Частично упорядоченные множества без наибольшего элемента или максимальных элементов допускают непересекающиеся конфинальные подмножества. Например, четные и нечетные натуральные числа образуют непересекающиеся конфинальные подмножества множества всех натуральных чисел.

Если частично упорядоченное множество допускает упорядоченное конфинальное подмножество, то мы можем найти подмножество B , которое хорошо упорядоченные и конфинален в A .

Если ( A , ≤) - направленное множество и если B ⊆ A - конфинальное подмножество A, то ( B , ≤) также является направленным множеством. [1]

Примеры и достаточные условия [ править ]

Любое надмножество конфинальных подмножеств является конфинальным. [1] Если ( A , ≤) - заранее упорядоченное множество и если некоторое объединение (одного или нескольких) конечного числа подмножеств конфинально, то хотя бы одно из множества конфинально. [1]

Окончательный набор подмножеств [ править ]

Частный, но важный случай дается, если A является подмножеством набора мощности P ( E ) некоторого набора E , упорядоченного обратным включением (). При таком порядке A подмножество B ⊆ A конфинально в A, если для любого a ∈ A существует b ∈ B такой, что a ⊇ b .

Например, пусть E - группа, а A - множество нормальных подгрупп конечного индекса . Проконечное завершение из Й определяются быть обратный пределом от обратной системы конечного частных Е (которые параметризованных множества A ). В этой ситуации каждый конфинально подмножество A достаточно , чтобы построить и описать завершение проконечного E .

Связанные понятия [ править ]

Отображение F  : X → между двумя направленными множествами называется окончательным [2] , если диапазон е ( Х ) Р является конфинально подмножество A .

См. Также [ править ]

  • Cofinite
  • Софинальность
  • Верхний набор - подмножество U частично упорядоченного множества ( P , ≤), которое содержит каждый элемент y из P, для которого существует x в U с x ≤ y

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e Schechter 1996 , стр. 158-165.
  2. ^ Бредон, Глен (1993). Топология и геометрия . Springer. п. 16.
  • Лэнг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848,13001
  • Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .