Граница (топология)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Набор (светло-синий) и его граница (темно-синий).

В топологии и математике в целом, граница подмножества S в виде топологического пространства X есть множество точек , которые можно подойти как с S , и с внешней стороны S . Точнее, это множество точек в замыкании на S , не принадлежащих к внутренней части S . Элемент границы S называется граничной точкой из S . Срок пограничной эксплуатацииотносится к поиску или взятию границы множества. Обозначения, используемые для границы множества S, включают bd ( S ), fr ( S ) и . Некоторые авторы (например, Уиллард в « Общей топологии» ) используют термин граница вместо границы, пытаясь избежать путаницы с другим определением, используемым в алгебраической топологии и теории многообразий . Несмотря на широкое признание значений терминов «граница» и «граница», они иногда использовались для обозначения других множеств. Например, метрические пространства по ET Copson использует термин границу для обозначения Хаусдорфа «с $\partial S$ граница , которая определяется как пересечение набора с его границей. ^[1] Хаусдорф также ввел термин вычет , который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения. ^[2]

Компонента связности границы S называется граничной компонентой из S .

Общие определения [ править ]

Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества S топологического пространства X :

замыкание в минус интерьер из : $S$ $S$ $\partial S:={\bar {S}}\setminus S^{\circ }$
пересечение замыкания с замыканием его дополнения : $S$ $\partial S:={\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}$
множество точек , что каждая окрестность из содержит по меньшей мере одну точку и , по меньшей мере , один пункт не : $p\in X$ $p$ $S$ $S$ $\partial S:=\{p\in X\mid \forall O\ni p:O\cap S\neq \emptyset \,{\text{ and }}\,O\cap S^{c}\neq \emptyset \}$

Примеры [ править ]

Граница гиперболических компонент множества Мандельброта

Рассмотрим вещественную прямую с обычной топологией (т. Е. Топологию, базисные множества которой - открытые интервалы ) и подмножество рациональных чисел (с пустой внутренней частью ). Надо $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$

$\partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}$
$\partial \varnothing =\varnothing$
$\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$
$\partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]$

Эти два последних примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренней частью является его замыканием.

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( подпространство топологии в ), границы , где иррационально, пусто. $\mathbb {R}$ $(-\infty ,a)$

Граница множества - это топологическое понятие, которое может измениться при изменении топологии. Например, учитывая обычную топологию , граница замкнутого круга является окружающим кругом этого диска: . Если диск рассматривается как набор в своей собственной обычной топологией, т.е. , то граница диска является сам диск: . Если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства ), то граница диска пуста. $\mathbb {R} ^{2}$ $\Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}$ $\partial \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\Omega =\{(x,y,0)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}$ $\partial \Omega =\Omega$ $\mathbb {R} ^{2}$

Свойства [ править ]

Граница множества замкнута . ^[3]
Граница внутренней части множества, так же как и граница замыкания множества, оба содержатся в границе множества.
Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно .
Граница множества является границей дополнения множества: . $\partial S=\partial (S^{c})$
Внутренняя часть границы замкнутого множества - это пустое множество.
Если - плотное открытое подмножество, то $U$ $X$ $\partial U=X\setminus U.$

Следовательно:

(«Трихотомия»)Учитывая набор , точка лежит в точности одно из множеств , и . $S$ ${\overset {\circ }{S}}$ $\partial S$ $(X\setminus S)^{\circ }$
p является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность p содержит хотя бы одну точку в множестве и хотя бы одну точку не в множестве.
Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей.
Замыкание множества равно объединение множества с его границей: . ${\overline {S}}=S\cup \partial S$
Граница набора пуста тогда и только тогда, когда набор одновременно закрытый и открытый (то есть закрытый набор ).
Внутренняя часть границы замыкания множества - это пустое множество.

Концептуальная диаграмма Венна , показывающая взаимосвязь между различными точками подмножества из R ^п . A = множество предельных точек из B = множества граничных точек в области затененных зеленый = набор внутренних точек в области затененных желтый = набор из изолированных точек в областях затенены черные = пустые множества. Каждая точка является либо внутренней, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Точно так же каждая граничная точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками. $S$ $S,$ $S,$ $S,$ $S,$ $U$ $U$

Граница границы [ править ]

Для любого множества S , ∂ S ' ⊇ ∂∂ S , причем равенство тогда и только тогда , когда граница S не имеет внутренних точек, которые будут в случае, например , если S либо закрыто или открыто. Поскольку границы множества замкнут, для любого множества S . Таким образом, граничный оператор удовлетворяет ослабленной идемпотентности . $\partial \partial S=\partial \partial \partial S$

При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, конструкция особых гомологийкритически опирается на этот факт. Объяснение очевидного несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) - это понятие, немного отличающееся от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемая как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, пуста. (В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, а граница многообразия инвариантна.)

См. Также [ править ]

Подробнее см. Обсуждение границы в топологическом многообразии .
Граница многообразия
Граничная точка
Замыкание (топология)
Внешний (топология) - наибольшее открытое подмножество, находящееся «вне» данного подмножества.
Интерьер (топология)
Нигде плотный набор
Теорема плотности Лебега , для теоретико-меры характеризации и свойств границы
Поверхность (топология) - Двумерное многообразие

Ссылки [ править ]

^ Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre . Лейпциг: Veit. п. 214 . ISBN 978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.
^ Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre . Лейпциг: Veit. п. 281 . ISBN 978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.
^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 86. ISBN 0-486-66352-3. Следствие 4.15. Для каждого подмножества A Brdy ( A ) замкнуто.

Дальнейшее чтение [ править ]

Мункрес, младший (2000). Топология . Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
Уиллард, С. (1970). Общая топология . Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-08707-3.
ван ден Дрис, Л. (1998). Ручная топология . ISBN 978-0521598385.

[1] Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre . Лейпциг: Veit. п. 214 . ISBN 978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.

[2] Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre . Лейпциг: Veit. п. 281 . ISBN 978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.

[3] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 86. ISBN 0-486-66352-3. Следствие 4.15. Для каждого подмножества A Brdy ( A ) замкнуто.

[1]