В математике , А полное многообразие (или геодезический полное многообразие ) М представляет собой ( псевдо -) риманово многообразие , для которого, начиная с любой точкой р , вы можете следовать «прямой» линии до бесконечности вдоль любого направления. Более формально экспоненциальное отображение в точке p определено на T p M , всем касательном пространстве в точке p .
Точно так же рассмотрим максимальную геодезическую . Здесь это открытый интервал , и, поскольку геодезические параметризованы с «постоянной скоростью», они однозначно определены с точностью до трансверсальности. Так как максимальное, сопоставляет концы източкам ∂ M , а длинаизмеряет расстояние между этими точками. Многообразие является геодезически полным, если для любой такой геодезическойу нас есть это .
Примеры и не примеры
Евклидово пространство , сферы , а торы (с их естественной римановой метрикой ) все являются полными многообразиями.
Все компактные римановы многообразия и все однородные многообразия геодезически полны. Все симметричные пространства геодезически полны.
Любое конечномерное линейно связное риманово многообразие, которое также является полным метрическим пространством (относительно риманова расстояния ), является геодезически полным. На самом деле геодезическая полнота и метрическая полнота для этих пространств эквивалентны. Это содержание теоремы Хопфа – Ринова .
Не примеры
Простым примером неполного многообразия является проколотая плоскость (с его индуцированной метрикой). Геодезические, идущие к началу координат, не могут быть определены на всей реальной линии. По теореме Хопфа – Ринова мы также можем заметить, что это не полное метрическое пространство: любая последовательность в плоскости, сходящаяся к началу координат, является несходящейся последовательностью Коши в плоскости с проколами.
Существуют негеодезически полные компактные псевдоримановы (но не римановы) многообразия. Примером этого является тор Клифтона – Поля .
В общей теории относительности , которая описывает гравитацию в терминах псевдоримановой геометрии, возникает множество важных примеров геодезически неполных пространств, например, невращающиеся незаряженные черные дыры или космологии с Большим взрывом . Тот факт, что такая неполнота является довольно общим для общей теории относительности, показан в теоремах Пенроуза – Хокинга об особенностях .
Рекомендации
- О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия . Академическая пресса . Глава 3. ISBN 0-12-526740-1.