Симметричное пространство
В математике симметричное пространство — это риманово многообразие (или, в более общем смысле, псевдориманово многообразие ), группа симметрий которого содержит инверсионную симметрию относительно каждой точки. Это можно изучать с помощью инструментов римановой геометрии , что приводит к последствиям в теории голономии ; или алгебраически через теорию Ли , что позволило Картану дать полную классификацию. Симметричные пространства обычно встречаются в дифференциальной геометрии , теории представлений и гармоническом анализе .
С геометрической точки зрения полное односвязное риманово многообразие является симметричным пространством тогда и только тогда, когда его тензор кривизны инвариантен относительно параллельного переноса. В более общем смысле риманово многообразие ( M , g ) называется симметричным тогда и только тогда, когда для каждой точки p многообразия M существует изометрия M, фиксирующая p и действующая на касательном пространстве как минус тождество (каждое симметричное пространство является полным , так как любую геодезическую можно бесконечно продолжать с помощью симметрии относительно концов). Оба описания также могут быть естественным образом распространены на случай псевдоримановых многообразий .
С точки зрения теории Ли симметрическое пространство — это фактор G / H связной группы Ли G по подгруппе Ли H , которая является (связной компонентой) инвариантной группой инволюции G. Это определение включает в себя больше чем риманово определение, и сводится к нему, когда H компактно.
Римановы симметричные пространства возникают в самых разных ситуациях как в математике, так и в физике. Их центральная роль в теории голономии была открыта Марселем Бергером . Они являются важными объектами изучения теории представлений и гармонического анализа, а также дифференциальной геометрии.
Пусть M — связное риманово многообразие и p — точка M . Диффеоморфизм f окрестности точки p называется геодезической симметрией , если он фиксирует точку p и обращает геодезические через эту точку, т. е. если γ является геодезической с тогда Отсюда следует, что производная отображения f в точке p равна минус тождественная карта на касательном пространстве p . На общем римановом многообразии функция f не обязательно должна быть изометричной и, вообще говоря, не может быть продолжена из окрестности точки p .всем М. _
M называется локально римановой симметрией , если его геодезические симметрии на самом деле изометричны. Это эквивалентно обращению в нуль ковариантной производной тензора кривизны. Локально симметричное пространство называется (глобально) симметричным пространством , если, кроме того, его геодезические симметрии могут быть продолжены до изометрий на всех M .