Хопфа- Ринова теорема представляет собой набор утверждений о геодезической полноте в римановых многообразий . Он назван в честь Хайнца Хопфа и его ученика Вилли Риноу , опубликовавших его в 1931 году [1].
Заявление
Пусть ( M , g ) - связное риманово многообразие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
- В замкнутых и ограниченных подмножествах из M являются компактными ;
- M - полное метрическое пространство ;
- M геодезически полно; то есть, для каждого р в М , то экспоненциальное отображение ехр р определена на всей касательном пространстве Т р М .
Кроме того, из любого из вышеперечисленных следует, что для любых двух точек p и q в M существует минимизирующая длину геодезическая, соединяющая эти две точки (геодезические, как правило, являются критическими точками для функционала длины и могут быть или не быть минимальными).
Вариации и обобщения
- Теорема Хопфа – Ринова обобщается на пространственно-метрические пространства следующим образом:
- Если длина-метрическое пространство ( М , д ) является полным и локально компактно , то любые две точки в М могут быть соединены с помощью минимизирующей геодезической , и любое ограниченное замкнутое множество в М является компактным .
- Теорема не верна в бесконечных измерениях: ( Аткин 1975 ) показал, что две точки в бесконечномерном полном гильбертовом многообразии не обязательно должны быть связаны геодезической. [2]
- Теорема также не обобщается на лоренцевы многообразия : тор Клифтона – Поля дает компактный, но неполный пример. [3]
Заметки
- ^ Хопф, H .; Ринов, W. (1931). "Ueber den Begriff der vollständigen Differencegeometrischen Fläche". Commentarii Mathematici Helvetici . 3 (1): 209–225. DOI : 10.1007 / BF01601813 . hdl : 10338.dmlcz / 101427 .
- ^ Аткин, CJ (1975), «Теорема Хопфа – Ринова неверна в бесконечных измерениях» (PDF) , Бюллетень Лондонского математического общества , 7 (3): 261–266, doi : 10.1112 / blms / 7.3.261 , Руководство по ремонту 0400283[ мертвая ссылка ] .
- ^ О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности , чистой и прикладной математике, 103 , Academic Press, p. 193, ISBN 9780080570570.
Рекомендации
- Юрген Йост (28 июля 2011 г.). Риманова геометрия и геометрический анализ (6-е изд.) . Universitext. Springer Science & Business Media. DOI : 10.1007 / 978-3-642-21298-7 . ISBN 978-3-642-21298-7.См. Раздел 1.7 .
- Войцеховский М.И. (2001) [1994], "Теорема Хопфа-Ринова" , Энциклопедия математики , EMS Press