В геометрии , топологии и смежные отраслях математики , А замкнутое множество является множество которых дополнение является открытым множеством . [1] [2] В топологическом пространстве замкнутое множество можно определить как множество, которое содержит все его предельные точки . В полном метрическом пространстве замкнутое множество - это множество, которое замкнуто при выполнении предельной операции. Его не следует путать с закрытым коллектором .
Эквивалентные определения замкнутого множества [ править ]
По определению, подмножество из топологического пространства называется замкнутым , если его дополнение является открытым подмножеством ; то есть, если множество A замкнуто в том и только в том случае, если оно равно его закрытию в Equivalently, множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки . Еще одно эквивалентное определение состоит в том, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные точки . Каждое подмножество всегда содержится в своем (топологическом) замыкании, в котором обозначается, то есть, если тогда Кроме того, является замкнутым подмножеством если и только если
Альтернативная характеристика замкнутых множеств доступна через последовательности и сети . Подмножество топологического пространства замкнуто в том и только в том случае, если каждый предел каждой сети элементов также принадлежит к пространству с первым счетом (например, метрическому пространству), достаточно рассматривать только сходящиеся последовательности , а не все сети. Одно из достоинств этой характеристики состоит в том, что ее можно использовать в качестве определения в контексте пространств сходимости , которые являются более общими, чем топологические пространства. Обратите внимание, что эта характеристика также зависит от окружающего пространства.поскольку сходится ли последовательность или сеть в зависимости от того, какие точки присутствуют в A, точка в называется близкой к подмножеству if (или, что эквивалентно, если if принадлежит замыканию в топологическом подпространстве, что означает, что где наделено подпространством топология, индуцированная на нем [примечание 1] ). Поскольку замыкание in - это, таким образом, множество всех точек в , близких к этой терминологии, позволяет дать простое английское описание замкнутых подмножеств:
- подмножество закрыто тогда и только тогда, когда оно содержит все близкие к нему точки.
С точки зрения чистой конвергенции, точка близка к подгруппе тогда и только тогда , когда существует некоторая сеть (оцененный) в сходящуюся к Если это топологическое подпространство некоторого другого топологического пространства в этом случае называется топологическим супер-пространство в то там может существовать некоторая точка, которая близка к (хотя и не является ее элементом ), поэтому подмножество может быть замкнуто, но не замкнуто в "большом" окружающем суперпространстве. Если и если есть какие-либо топологическое суперпространството всегда (потенциально собственно) подмножество , которое обозначает замыкание в самом деле, даже если замкнутое подмножество (которое происходит тогда и только тогда ), тем не менее , все еще возможно , чтобы быть подмножеством Однако, это замкнутое подмножество , если и только если для некоторых (или , что эквивалентно, для каждого) топологического супер-пространства из
Замкнутые множества также могут использоваться для характеристики непрерывных функций : карта является непрерывной тогда и только тогда, когда для каждого подмножества ; это может быть переформулировано на простом английском языке как: непрерывно тогда и только тогда, когда для каждого подмножества отображаются точки, близкие к точкам, близким к Точно так же, непрерывно в фиксированной заданной точке тогда и только тогда, когда всякий раз, когда оно близко к подмножеству, то близко к
Подробнее о закрытых наборах [ править ]
Понятие замкнутого множества определено выше в терминах открытых множеств , концепция, которая имеет смысл для топологических пространств , а также для других пространств, которые несут топологические структуры, такие как метрические пространства , дифференцируемые многообразия , равномерные пространства и калибровочные пространства .
Будет ли набор замкнутым, зависит от пространства, в которое он встроен. Однако компактные хаусдорфовы пространства « абсолютно замкнуты » в том смысле, что если вы вложите компактное хаусдорфово пространство в произвольное хаусдорфово пространство, то оно всегда будет замкнутым подмножеством ; «окружающее пространство» здесь не имеет значения. Компактификация Стоуна – Чеха , процесс, который превращает полностью регулярное хаусдорфово пространство в компактное хаусдорфово пространство, может быть описан как примыкающие к пространству пределы некоторых несходящихся сетей.
Кроме того, каждое замкнутое подмножество компакта компактно, и каждое компактное подпространство хаусдорфова пространства замкнуто.
Замкнутые множества также дают полезную характеристику компактности: топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый набор непустых замкнутых подмножеств с пустым пересечением допускает конечное подмножество с пустым пересечением.
Топологическое пространство будет отключено , если существует непересекающиеся, непустой, открытые подмножества и из объединения которых Кроме того, будет полностью отключен , если он имеет открытую основу , состоящую из замкнутых множеств.
Свойства замкнутых множеств [ править ]
Замкнутый набор содержит свою границу . Другими словами, если вы находитесь «вне» закрытого набора, вы можете немного переместиться в любом направлении и все равно оставаться за пределами набора. Обратите внимание, что это также верно, если граница является пустым набором, например, в метрическом пространстве рациональных чисел, для набора чисел, квадрат которого меньше, чем
- Любое пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто (включая пересечения бесконечного числа замкнутых множеств).
- Объединение из конечного множества замкнутых множеств замкнуто.
- Пустое множество замкнуто.
- Весь набор закрыт.
Фактически, если задан набор и набор подмножеств таких, что элементы обладают перечисленными выше свойствами, то существует уникальная топология на такой, что замкнутые подмножества - это в точности те множества, которые принадлежат к. Свойство пересечения также позволяет определить закрытие набора в пространстве , которое определяется как наименьшее замкнутое подмножество , что является подмножеством из в частности, замыкание может быть построена как пересечение всех этих замкнутых надмножеств.
Множества, которые могут быть построены как объединение счетного числа замкнутых множеств, обозначаются F σ множеств. Эти наборы не нужно закрывать.
Примеры закрытых множеств [ править ]
- Замкнутый интервал из действительных чисел замкнуто. (См. Раздел Интервал (математика) для объяснения обозначений скобок и скобок.)
- Интервальный паевой замкнуто в метрическом пространстве действительных чисел, а множество из рациональных чисел между и (включительно) замкнуто в пространстве рациональных чисел, но не замкнуто в действительных числах.
- Некоторые множества не являются ни открытыми, ни закрытыми, например, полуоткрытый интервал в действительных числах.
- Некоторые наборы бывают как открытыми, так и закрытыми и называются закрытыми наборами .
- Луч закрыт.
- Множество Кантора является необычным замкнутым множеством в том смысле , что она целиком состоит из точек границы и нигде не плотно.
- Одноэлементные точки (и, следовательно, конечные множества) замкнуты в хаусдорфовых пространствах .
- Множество целых чисел - это бесконечное и неограниченное замкнутое множество действительных чисел.
- Если - функция между топологическими пространствами, то является непрерывной тогда и только тогда, когда прообразы замкнутых множеств в замкнуты в
См. Также [ править ]
- Clopen set - подмножество одновременно открытого и закрытого
- Закрытая карта
- Открытый набор - базовое подмножество топологического пространства.
- Район
- Регион (математика) - Математическое подмножество пространства
- Обычный закрытый набор
Заметки [ править ]
- ^ В частности, то,являетсялионо близким к,зависит только от подпространства, а не от всего окружающего пространства (например,или любого другого пространства, содержащегосяв качестве топологического подпространства).
Ссылки [ править ]
- ^ Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Макгроу-Хилл . ISBN 0-07-054235-X.
- ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). [Прентис Холл]]. ISBN 0-13-181629-2.
- Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
- Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .