Список евклидовых однородных мозаик

Пример равномерного кафеля в Археологическом музее Севильи , Севилья, Испания : ромбитрихексагональная черепица.

В этой таблице показаны 11 выпуклых равномерных мозаик (регулярных и полурегулярных) евклидовой плоскости и их двойственные мозаики.

На плоскости три правильных ^[1] и восемь полуправильных мозаик . Полуправильные мозаики образуют новые мозаики из своих двойников, каждая из которых состоит из неправильных граней одного типа.

Джон Конвей называет эти однородные двойственные каталонскими мозаиками , параллельными каталонским твердым многогранникам.

Равномерные мозаики перечислены по их конфигурации вершин , последовательности граней, которые существуют на каждой вершине. Например, 4.8.8 означает один квадрат и два восьмиугольника на вершине.

Эти 11 равномерных мозаик имеют 32 равномерных цвета . Равномерная раскраска позволяет по-разному раскрашивать многоугольники с одинаковыми сторонами в вершине, сохраняя при этом однородность вершин и трансформационное соответствие между вершинами. (Примечание: Некоторые из разбиения изображений , показанных ниже, не цвет-форма)

В дополнение к 11 выпуклым однородным мозаикам существует также 14 невыпуклых мозаик , использующих звездчатые многоугольники и конфигурации вершин с обратной ориентацией.

Laves tilings [ править ]

В 1987 книге, Замощение и паттерны , Грюнбаум называют вершинными неоднородны тайлингами архимедовыми параллельно с Архимеда твердых тел . Их двойственные мозаики называются мозаиками Лавеса в честь кристаллографа Фрица Лавеса . ^[2]^[3] Их еще называют мозаиками Шубникова – Лавеса в честь Алексея Шубникова . ^[4] Джон Конвей назвал однородные двойственные каталонскими мозаиками , параллельными каталонским твердым многогранникам.

У мозаик Лавеса есть вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников, имеющих общее ребро. В плитках из разбиений Лавеса называются планигонами . Сюда входят 3 правильных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток. ^[5] У каждой вершины есть ребра, равномерно распределенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигонов называются стереоэдрами .

Эти двойные мозаики перечислены по их конфигурации граней , количеству граней в каждой вершине грани. Например, V4.8.8 означает плитки равнобедренного треугольника с одним углом с четырьмя треугольниками и двумя углами с восемью треугольниками. Ориентация вершинных планигонов (до D ₁₂ ) согласуется с вершинными диаграммами в следующих разделах.

Одиннадцать планигонов
Треугольники				Четырехугольники			Пятиугольники			Шестиугольник
V6 ³	V4.8 ²	V4.6.12	Версия 3.12 ²	V4 ⁴	В (3,6) ²	V3.4.6.4	V3 ² .4.3.4	V3 ⁴ .6	V3 ³ .4 ²	V3 ⁶

Выпуклые равномерные мозаики евклидовой плоскости [ править ]

Все отражательные формы могут быть выполнены с помощью конструкций Витхоффа , представленных символами Витхоффа , или диаграммами Кокстера-Дынкина , каждая из которых работает с одним из трех треугольников Шварца (4,4,2), (6,3,2) или (3,3 , 3) с симметрией, представленной группами Кокстера : [4,4], [6,3] или [3 ^[3] ]. Альтернативные формы, такие как пренебрежение, также могут быть представлены специальными надписями внутри каждой системы. Только одна однородная мозаика не может быть построена с помощью процесса Wythoff, но может быть получена удлинениемтреугольной плитки. Также существует конструкция ортогонального зеркала [∞, 2, ∞], которая рассматривается как два набора параллельных зеркал, образующих прямоугольную фундаментальную область. Если область квадратная, эта симметрия может быть увеличена диагональным зеркалом до семейства [4,4].

Семьи:

(4,4,2),, [4,4] - Симметрия правильной квадратной мозаики ${\ displaystyle {\ tilde {BC}} _ {2}}$
- ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1} ^ {2}}$ , [∞, 2, ∞]
(6,3,2),, [6,3] - Симметрия правильной шестиугольной мозаики и треугольной мозаики . ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$
- (3,3,3),, [3 ^[3] ] ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$

Семейство групп [4,4] [ править ]

Однородные мозаики (платоновы и архимедовы)	Вершинная фигура и двойная грань Символ (ы) Витоффа Группа симметрии Диаграмма (ы) Кокстера	Двойные однородные мозаики (называемые Лавесом или каталонскими мозаиками)
Квадратная плитка (кадриль)	4.4.4.4 (или 4 ⁴ ) 4 \| 2 4 п4м , [4,4], (* 442)	самодвойство (кадриль)
Усеченная квадратная мозаика (усеченная кадриль)	4.8.8 2 \| 4 4 4 4 2 \| p4m , [4,4], (* 442) или же	Квадратная плитка Тетракис (кисвадриль)
Курносая квадратная черепица (курносая кадриль)	3.3.4.3.4 \| 4 4 2 п. 4g , [4 ⁺ , 4], (4 * 2) или же	Пятиугольная черепица Catalan_Cairo (четырехгранный пентиль)

Семейство групп [6,3] [ править ]

Платоновы и архимедовы мозаики	Вершинная фигура и двойная грань Символ (ы) Витоффа Группа симметрии Диаграмма (ы) Кокстера	Двойные мозаики Лавеса
Шестиугольная черепица (гексилль)	6.6.6 (или 6 ³ ) 3 \| 6 2 2 6 \| 3 3 3 3 \| p6m , [6,3], (* 632)	Треугольная черепица (дельтиль)
Трехгексагональная черепица (гексаделтилла)	(3,6) ² 2 \| 6 3 3 3 \| 3 п6м , [6,3], (* 632) знак равно	Ромбильная плитка (ромбиль)
Усеченная гексагональная мозаика (усеченный гексилль)	3.12.12 2 3 \| 6 п. 6 мин. , [6,3], (* 632)	Треугольная черепица Triakis (кисделтилле)
Треугольная черепица (дельтиль)	3.3.3.3.3.3 (или 3 ⁶ ) 6 \| 3 2 3 \| 3 3 \| 3 3 3 п6м , [6,3], (* 632) знак равно	Шестиугольная черепица (гексилль)
Ромбигексагональная черепица (rhombihexadeltille)	3.4.6.4 3 \| 6 2 п6м , [6,3], (* 632)	Дельтоидальная трехгексагональная черепица (тетрилла)
Усеченная трехгексагональная мозаика (усеченная гексаделтилла)	4.6.12 2 6 3 \| p6m , [6,3], (* 632)	Плитка кисромбиль (kisrhombille)
Плоская трехгексагональная черепица (snub hextille)	3.3.3.3.6 \| 6 3 2 п. 6 , [6,3] ⁺ , (632)	Пятиугольная черепица цветочка (6-кратный пентиль)

Невитхоффовская однородная мозаика [ править ]

Платоновы и архимедовы мозаики	Вершинная фигура и двойная грань Символ (ы) Уайтхоффа Группа симметрии Диаграмма Кокстера	Двойные мозаики Лавеса
Удлиненная треугольная мозаика (изоснуб кадриль)	3.3.3.4.4 2 \| 2 (2 2) CMM , [∞, 2 ⁺ , ∞], (2 * 22)	Призматическая пятиугольная черепица (iso (4-) pentille)

Равномерная окраска [ править ]

Всего существует 32 однородных раскраски 11 однородных мозаик:

Треугольная мозаика - 9 равномерных раскрасок, 4 вайтхоффианских, 5 неуитофианских
Квадратная плитка - 9 раскрасок: 7 витхоффианских, 2 неуитофианских.
Шестиугольная черепица - 3 расцветки, все wythoffian
Тригексагональная черепица - 2 раскраски, обе вайтхоффианские
Плоская квадратная черепица - 2 раскраски, обе чередующиеся по витоффиану
Усеченная квадратная мозаика - 2 раскраски, обе вайтхоффианские
Усеченная шестиугольная мозаика - 1 раскраска, витоффиан
Ромбитригексагональная черепица - 1 расцветка, витоффиан
Усеченная трехгексагональная мозаика - 1 раскраска, витоффиан
Плоская шестиугольная черепица - 1 раскраска, чередующийся витоффиан
Удлиненная треугольная мозаика - 1 цвет, неуитофовский

См. Также [ править ]

Выпуклые однородные соты - 28 однородных трехмерных мозаик, конструкция, параллельная выпуклым однородным евклидовым плоским мозаикам.
Список мозаик
Порог перколяции
Равномерные мозаики в гиперболической плоскости

Ссылки [ править ]

^ Новый вид науки [1]
^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman and Company. С. 59, 96 . ISBN 0-7167-1193-1.
^ Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовы плоские мозаики ». Симметрии вещей . А.К. Петерс / CRC Press . п. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинального 19 сентября 2010 года.
^ Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея , 1991
^ Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Планигон" , Энциклопедия математики , EMS Press

Дальнейшее чтение [ править ]

Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 19, Архимедовы мозаики , таблица 19.1». Симметрии вещей . А.К. Петерс / CRC Press . ISBN 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинального 19 сентября 2010 года.
Кокстер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954). «Равномерные многогранники». Фил. Пер. 246 А: 401–450.
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X.(Раздел 2–3 Круговые упаковки, плоские мозаики и сети , стр. 34–40).
Асаро, Лаура; Хайд, Джон; Дженсен, Мелани; Манн, Кейси; Шредер, Тайлер. "Равномерные c- раскраски краев архимедовых мозаик" (PDF) . Вашингтонский университет .( Кейси Манн из Вашингтонского университета )
Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри (ноябрь 1977 г.). «Замощения правильными многоугольниками» (PDF) .
Сеймур, Дейл; Бриттон, Джилл (1989). Введение в мозаику . Публикации Дейла Сеймура. С. 50–57, 71–74 . ISBN 978-0866514613.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. "Равномерная мозаика" . MathWorld .
Равномерные мозаики на плоскости Евклида
Мозаика на плоскости
Мир мозаики Дэвида Бейли
k -однородные мозаики
n -однородные мозаики

[NKS_note_c-1] Новый вид науки [1]

[2] Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman and Company. С. 59, 96 . ISBN 0-7167-1193-1.

[3] Конвей, Джон Х .; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). «Глава 21, Наименование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, евклидовы плоские мозаики ». Симметрии вещей . А.К. Петерс / CRC Press . п. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинального 19 сентября 2010 года.

[4] Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея , 1991

[5] Иванов, А.Б. (2001) [1994], "Планигон" , Энциклопедия математики , EMS Press

[1]