В геометрии любому многограннику соответствует вторая двойственная фигура, где вершины одного соответствуют граням другого, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. [1] Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также являются геометрическими многогранниками. [2] Начиная с любого данного многогранника, двойственным к нему является исходный многогранник.
Двойственность сохраняет симметрии многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные также принадлежат к симметричному классу. Таким образом, правильные многогранники - (выпуклая) Платоновы тело и (звезда) Кеплер-Пуансо многогранники - образует дуальные пары, где регулярная тетраэдр является автодуальной . Двойственный к изогональному многограннику, имеющий эквивалентные вершины, является изоэдром, имеющим эквивалентные грани. Сопряженное с isotoxal многогранника (имеющего эквивалентные ребра) также isotoxal.
Двойственность тесно связана с взаимностью или полярностью , геометрическим преобразованием, которое, когда применяется к выпуклому многограннику, реализует двойственный многогранник как другой выпуклый многогранник.
Виды двойственности [ править ]
Есть много видов двойственности. Наиболее подходящими для элементарных многогранников являются полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.
Полярное возвратно-поступательное движение [ править ]
Двойственный многогранник часто определяется в терминах полярного возвратно-поступательного движения относительно сферы. Здесь каждая вершина (полюс) связана с плоскостью грани (полярной плоскостью или просто полярной), так что луч от центра к вершине перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса. [3]
Когда сфера имеет радиус и центрирована в начале координат, то есть определяется уравнением и является выпуклым многогранником, то ее полярный двойник определяется как
где обозначает стандартное скалярное произведение из и .
Обычно, когда в конструкции двойного объекта не указана сфера, используется единичная сфера, что имеется в виду в приведенных выше определениях. [4]
Для каждой грани, описываемой линейным уравнением
у двойственного многогранника будет вершина . Аналогично, каждая вершина соответствует грани , а каждое ребро соответствует ребру . Соответствие между вершинами, ребрами и гранями и обращает включение. Например, если ребро содержит вершину, соответствующее ребро будет содержаться в соответствующей грани.
Для симметричных многогранников с очевидным центром тяжести многогранник и сферу обычно делают концентрическими, как в конструкции Дормана Люка, описанной ниже. Если присутствует несколько осей симметрии, они обязательно будут пересекаться в одной точке, и это обычно считается центроидом. В противном случае обычно используется описанная сфера, вписанная сфера или средняя сфера (одна со всеми краями в качестве касательных).
Однако можно вращать многогранник относительно любой сферы, и результирующая форма двойственного будет зависеть от размера и положения сферы; как сфера, так и двойственная форма. Выбор центра сферы достаточен для определения двойственного с точностью до подобия.
Если многогранник в евклидовом пространстве имеет элемент, проходящий через центр сферы, соответствующий элемент его двойственного уходит в бесконечность. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления требуемой «плоскости на бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что двойственного не существует. Тем временем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойственные объекты способом, пригодным для создания моделей (некоторой конечной части).
Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и края меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездные многогранники, когда мы стремимся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. [5] Из-за проблем с определением геометрической двойственности невыпуклых многогранников, Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.
Канонические двойники [ править ]
Любой выпуклый многогранник может быть преобразован в каноническую форму , в которой единичная средняя сфера (или межсфера) существует касательно каждого ребра и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма уникальна до совпадений.
Если мы будем перемещать такой канонический многогранник относительно его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также должен быть каноническим. Это каноническая двойственная пара, и вместе они образуют каноническую двойственную пару. [6]
Топологическая двойственность [ править ]
Даже когда пару многогранников нельзя получить взаимным движением друг от друга, их можно назвать двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , с сохранением заболеваемости. Такие пары многогранников по-прежнему топологически или абстрактно двойственны.
Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-остов многогранника), вложенный в топологическую сферу, поверхность многогранника. Тот же граф можно спроецировать, чтобы сформировать диаграмму Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный ребрами и вершинами двойственного многогранника, является его двойственным графом . В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, вложенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют дуальный граф.
Абстрактный многогранник определенного вида частично упорядоченное множество (посет) элементы, такие , что смежности, или соединения между элементами множеств соответствуют смежностям между элементами (грани, кромки и т.д.) многогранником. Каждый такой poset имеет двойное poset, сформированное путем изменения всех отношений порядка. Если позет визуализируется как диаграмма Хассе , двойное позетирование можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Хассе вверх ногами. Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственный многогранник не может быть реализован геометрически.
Строительство Дормана Люка [ править ]
Для однородного многогранника грань двойного многогранника может быть найдена по фигуре вершины исходного многогранника, используя конструкцию Дормана Люка . [7]
В качестве примера на иллюстрации ниже показана фигура вершины (красная) кубооктаэдра , используемая для получения грани (синяя) ромбического додекаэдра .
Перед началом построения фигура вершины ABCD получается путем разрезания каждого связного ребра (в данном случае) его середины.
Затем продолжается строительство Дормана Люка:
- Нарисуйте фигуру вершины ABCD
- Нарисуйте описанную окружность (касательную к каждому углу A , B , C и D ).
- Рисовать линии по касательной к окружности в каждом углу А , В , С , Д .
- Отметьте точки E , F , G , H , где каждая касательная линия пересекает соседнюю касательную.
- Многоугольник EFGH является гранью двойственного многогранника.
В этом примере размер вершины был выбран так, чтобы описанная окружность лежала на межсфере кубооктаэдра, который также становится межсферой двойного ромбического додекаэдра.
Конструкция Дормана Люка может быть использована только в том случае, если многогранник имеет такое межсферное пространство, а фигура вершины является циклической. Например, это можно применить к однородным многогранникам .
Самодвойственные многогранники [ править ]
Топологически самодвойственный многогранник - это многогранник, двойственный многогранник которого имеет точно такую же связь между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе.
Геометрически самодвойственный многогранник не только топологически самодвойственный, но и его полярный обратный элемент относительно определенной точки, обычно его центроид, является аналогичной фигурой. Например, двойник правильного тетраэдра - это другой правильный тетраэдр, отраженный через начало координат .
Каждый многоугольник топологически самодвойственен (у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются двойственностью), но в целом не будет геометрически самодвойственным (например, вплоть до жесткого движения). Каждый многоугольник имеет правильную форму, которая геометрически самодвойственна относительно своей межсферы: все углы конгруэнтны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти конгруэнции меняются местами.
Точно так же каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован с помощью эквивалентного геометрически самодвойственного многогранника, его канонического многогранника , обратного относительно центра средней сферы .
Геометрически самодвойственных многогранников бесконечно много. Самым простым бесконечным семейством являются канонические пирамиды из n сторон. Другое бесконечное семейство, удлиненные пирамиды , состоит из многогранников, которые можно примерно описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы (с тем же количеством сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды с обрезанной вершиной) под призмой порождает еще одно бесконечное семейство и так далее.
Есть много других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, есть 6 разных с 7 вершинами и 16 с 8 вершинами. [8]
Самодуальный [ требуется пояснение ] невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был идентифицирован Брюкнером в 1900 году. [9] [10] [11] Были найдены и другие невыпуклые самодвойственные многогранники при определенных определениях невыпуклых многогранники и их двойники. [ требуется разъяснение ]
3 | 4 | 5 | 6 |
3 | 4 | 5 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
Двойные многогранники и мозаики [ править ]
Двойственность может быть обобщена на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двух измерениях они называются двойными многоугольниками .
Вершины одного многогранника соответствуют ( n - 1) -мерным элементам или фасетам другого, а j точек, которые определяют ( j - 1) -мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, чтобы дать ( n - j ) -мерный элемент. Аналогично можно определить двойственность n- мерной мозаики или соты .
В общем случае фасеты двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных величин, равных правильному и однородному многогранникам, двойственные грани будут полярными величинами, обратными исходной фигуре вершины. Например, в четырех измерениях вершина 600-ячейки - это икосаэдр ; двойственный 600-элементный - это 120-элементный , чьи грани - додекаэдры , двойственные икосаэдру.
Самодвойственные многогранники и мозаики [ править ]
Первичный класс самодвойственных многогранников - это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} самодвойственные, многогранники вида {a, a}, 4-многогранники вида {a, b, a}, 5-многогранники вида {a, b, b, a }, так далее.
Самодуальные правильные многогранники:
- Все правильные многоугольники , {a}.
- Правильный тетраэдр : {3,3}
- В общем, все регулярные n - симплексы , {3,3, ..., 3}
- Обычный 24-элементный в 4-х измерениях, {3,4,3}.
- Большая 120-элементный {5,5 / 2,5} и гранд звездообразный 120-клеток {5 / 2,5,5 / 2}
Самодуальные (бесконечные) правильные евклидовы соты :
- Апейрогон : {∞}
- Квадратная плитка : {4,4}
- Кубические соты : {4,3,4}
- В общем, все правильные n -мерные евклидовы гиперкубические соты : {4,3, ..., 3,4}.
Самодуальные (бесконечные) регулярные гиперболические соты:
- Компактные гиперболические мозаики: {5,5} , {6,6} , ... {p, p}.
- Паракомпактное гиперболическое замощение: {∞, ∞}
- Компактные гиперболические соты: {3,5,3} , {5,3,5} и {5,3,3,5}
- Паракомпактные гиперболические соты: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} и {3,3,4,3,3}
См. Также [ править ]
- Обозначения многогранника Конвея
- Двойной многоугольник
- Самодуальный граф
- Самодвойственный многоугольник
Ссылки [ править ]
Заметки [ править ]
- ^ Веннингер (1983) , "Основные понятия о звездчатости и двойственности", стр. 1.
- ^ Грюнбаум (2003)
- ^ Cundy & Rollett (1961) , 3.2 Двойственность, стр 78-79. Веннингер (1983) , стр. 3-5. (Обратите внимание, что обсуждение Веннингера включает невыпуклые многогранники.)
- ↑ Барвинок (2002) , стр.143.
- ^ См., Например, Grünbaum & Shephard (2013) и Gailiunas & Sharp (2005) . Веннингер (1983) также обсуждает некоторые вопросы на пути к выводу своих бесконечных двойников.
- ^ Грюнбаум (2007) , теорема 3.1, стр. 449.
- ^ Cundy & Rollett (1961) , стр. 117; Веннингер (1983) , стр. 30.
- ^ 3Dмодели Java в симметриях канонических самодуальных многогранников , основанные на статье Гуннара Бринкмана, Брендана Д. Маккея, Быстрая генерация плоских графов PDF [1]
- ^ Энтони М. Катлер и Эгон Шульте; «Правильные многогранники индекса два», I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.
- ^ Нью-Джерси Мост; «Огранка додекаэдра», Acta Crystallographica , Vol. A 30, часть 4 июля 1974 г., рис. 3c и сопроводительный текст.
- ^ Брюкнер, М .; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte , Teubner, Leipzig, 1900.
Библиография [ править ]
- Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR 0124167.
- Гайлюнас, П .; Sharp, J. (2005), "Двойственность многогранников", Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 36 (6): 617-642, DOI : 10,1080 / 00207390500064049 , S2CID 120818796.
- Грюнбаум, Бранко (2003), «Ваши многогранники такие же, как мои многогранники?», В Аронов, Борис ; Басу, Саугата; Пах, Янош ; Шарир, Миха (ред.), Дискретная и вычислительная геометрия: Festschrift Гудмана – Поллака , Алгоритмы и комбинаторика, 25 , Берлин: Springer, стр. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , doi : 10.1007 / 978-3- 642-55566-4_21 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487.
- Грюнбаум, Бранко (2007), "Графы многогранников, многогранники в виде графов", Дискретная математика , 307 (3-5): 445-463, DOI : 10.1016 / j.disc.2005.09.037 , ЛВП : 1773/2276 , MR 2287486.
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (2013), «Двойственность многогранников», в Senechal, Marjorie (ed.), Shaping Space: Exploring polyhedra in the nature, art, and the geometrical imagination , New York: Springer, pp. 211–216, doi : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_15 , ISBN 978-0-387-92713-8, Руководство по ремонту 3077226.
- Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, Руководство по ремонту 0730208.
- Барвинок, Александр (2002), Курс выпуклости , Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688.
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. , «Двойной многогранник» , MathWorld
- Вайсштейн, Эрик В. , «Двойная тесселяция» , MathWorld
- Вайсштейн, Эрик В. , «Самодуальный многогранник» , MathWorld