Ромбический триаконтаэдр

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ромбический триаконтаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Каталонский твердый
Диаграмма Кокстера
Обозначение Конвея	jD
Тип лица	V3.5.3.5 ромб
Лица	30
Края	60
Вершины	32
Вершины по типу	20 {3} +12 {5}
Группа симметрии	I _h , H ₃ , [5,3], (* 532)
Группа вращения	Я, [5,3] ⁺ , (532)
Двугранный угол	144 °
Характеристики	выпуклый, гранно-транзитивный равногранный , изотоксальный , зоноэдрический
Икосододекаэдр ( двойственный многогранник )	Сеть

3D модель ромбического триаконтаэдра

В геометрии , то ромбический триаконтаэдр , иногда называют просто триаконтаэдра как это является наиболее распространенным тридцать лицом полиэдра, является выпуклым многогранником с 30 ромбическими гранями . У него 60 ребер и 32 вершины двух типов. Это Каталонский твердое и двойственный многогранник из икосододекаэдр . Это зоноэдр .

Грань ромбического триаконтаэдра. Длины
диагоналей находятся в золотом сечении .

На этой анимации показано преобразование куба в ромбический триаконтаэдр путем разделения квадратных граней на 4 квадрата и разделения средних ребер на новые ромбические грани.

Отношение длинной диагонали к короткой диагонали каждой грани точно равна с золотым отношением , ф , так что острые углы на каждой грани меры 2 загар ^-1 (1/φ) = tan ⁻¹ (2) , или приблизительно 63,43 °. Полученный таким образом ромб называется золотым ромбом .

Ромбический триаконтаэдр, двойственный к архимедову твердому телу, является гранно -транзитивным , что означает, что группа симметрии твердого тела транзитивно действует на множестве граней. Это означает, что для любых двух граней A и B существует вращение или отражение твердого тела, в результате чего оно занимает одну и ту же область пространства при перемещении грани A к грани B.

Ромбический триаконтаэдр является чем-то особенным, так как он является одним из девяти реберно-транзитивных выпуклых многогранников, остальные - это пять Платоновых тел , кубооктаэдр , икосододекаэдр и ромбический додекаэдр .

Ромбический триаконтаэдр интересен еще и тем, что его вершины включают в себя расположение четырех Платоновых тел. Он содержит десять тетраэдров , пять кубов , икосаэдр и додекаэдр . В центрах граней пять октаэдров .

Его можно сделать из усеченного октаэдра , разделив шестиугольные грани на 3 ромба:

Топологический ромбический триаконтаэдр в усеченном октаэдре

Декартовы координаты [ править ]

Пусть будет золотое сечение . 12 точек и циклические перестановки этих координат являются вершинами правильного икосаэдра . Его дуальный правильный додекаэдр , чьи ребра пересекаются с ребрами икосаэдра под прямым углом, имеет в качестве вершин 8 точек вместе с 12 точками и циклическими перестановками этих координат. Все 32 точки вместе являются вершинами ромбического триаконтаэдра с центром в начале координат. Длина его краев . Его грани имеют диагонали с длинами и . ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle (0, \ pm 1, \ pm \ phi)}$ ${\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1)}$ $(0,\pm \phi ,\pm 1/\phi )$ ${\sqrt {3-\phi }}\approx 1.175\,570\,504\,58$ $2$ $2/\phi$

Размеры [ править ]

Если длина ребра ромбического триаконтаэдра является , площадь поверхности, объем, то радиус из вписанного шара ( касательной к каждой из граней ромбического триаконтаэдра в) и midradius, которая соприкасается с середины каждого ребра являются: ^[1]

{\begin{aligned}S&=12{\sqrt {5}}\,a^{2}&&\approx 26.8328a^{2}\\V&=4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{3}&&\approx 12.3107a^{3}\\r_{\mathrm {i} }&={\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\,a={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\,a&&\approx 1.37638a\\r_{\mathrm {m} }&=\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)\,a&&\approx 1.44721a\end{aligned}}

где φ - золотое сечение .

Insphere касается граней в их лице центроиду. Короткие диагонали принадлежат только ребрам вписанного правильного додекаэдра, а длинные диагонали включены только ребрам вписанного икосаэдра.

Рассечение [ править ]

Ромбический триаконтаэдр можно разрезать на 20 золотых ромбоэдров : 10 острых и 10 тупых. ^[2]^[3]

10	10
Острая форма	Тупая форма

Ортогональные проекции [ править ]

Ромбический триаконтаэдр имеет четыре положения симметрии: два с центром в вершинах, одну среднюю грань и одну среднюю грань. В проекцию «10» встроены «толстый» ромб и «тонкий» ромб, которые соединяются вместе для создания непериодической мозаики, часто называемой мозаикой Пенроуза .

Ортогональные проекции
Проективная симметрия	[2]	[2]	[6]	[10]
Изображение
Двойное изображение

Звездчатые [ править ]

Ромбический гексеконтаэдр

Пример звездчатости ромбического триаконтаэдра.

Ромбический триаконтаэдр имеет 227 полностью опертых звёздчатых звёзд. ^[4]^[5] Еще одна звездчатая форма ромбического триаконтаэдра - это соединение пяти октаэдров . Общее количество звёздчатых звёзд ромбического триаконтаэдра составляет 358 833 097.

Связанные многогранники [ править ]

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] ⁺ , (532)


{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам

V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник является частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с симметрией [ n , 3] группы Кокстера . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором ромбы также являются прямоугольниками.

Изменения симметрии двойственных квазирегулярных мозаик: V (3.n) ²
* n32	Сферический			Евклидово	Гиперболический
* n32	* 332	* 432	* 532	* 632	* 732	* 832 ...	* ∞32
Черепица
Конф.	В (3,3) 2	В (3,4) 2	В (3,5) 2	В (3,6) 2	В (3,7) 2	V (3.8) 2	V (3.∞) 2

Сферический ромбический триаконтаэдр
Ромбический триаконтаэдр с вписанным тетраэдром (красный) и куб (желтый).
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Ромбический триаконтаэдр с вписанным додекаэдром (синий) и икосаэдр (фиолетовый).
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Полностью усеченный ромбический триаконтаэдр

6-куб [ править ]

Ромбический триаконтаэдр образует выпуклую оболочку с 32 вершинами одной проекции 6-куба на три измерения.

Трехмерные базисные векторы [u, v, w]:

и = (1, φ , 0, -1, φ , 0)

v = ( φ , 0, 1, φ , 0, -1)

w = (0, 1, φ , 0, -1, φ )

На рисунке показаны скрытые внутренние края.
20 из 32 внутренних вершин образуют додекаэдр , а остальные 12 образуют икосаэдр .

Использует [ редактировать ]

Пример использования ромбического триаконтаэдра в конструкции лампы

Датский дизайнер Хольгер Стрём использовал ромбический триаконтаэдр в качестве основы для дизайна своей сборной лампы IQ-light (IQ от «Переплетенные четырехугольники»).

STL-модель ромбического триаконтаэдрического блока, состоящего из шести панелей вокруг кубического отверстия - увеличьте масштаб модели, чтобы увидеть отверстие изнутри

Мастерица по дереву Джейн Костик строит коробки в форме ромбического триаконтаэдра. ^[6] Простая конструкция основана на менее чем очевидном соотношении между ромбическим триаконтаэдром и кубом.

"Шар ударов" Роджера фон Оха имеет форму ромбического триаконтаэдра.

Ромбический триаконтаэдр используется как тридцатигранный кубик « d30 », иногда полезный в некоторых ролевых играх или других местах.

Кристофер Берд, соавтор книги «Тайная жизнь растений», написал статью для New Age Journal в мае 1975 года, популяризируя двойной икосаэдр и додекаэдр как «кристаллическую структуру Земли», модель «земной (теллурической) энергии». Сетка." Планета EarthStar Globe Билла Беккера и Бете А. Хагенс призвана показать «естественную геометрию Земли и геометрические отношения между священными местами, такими как Великая пирамида, Бермудский треугольник и остров Пасхи». Он напечатан в виде ромбического триаконтаэдра на 30 бриллиантах и складывается в шар. ^[7]

См. Также [ править ]

Золотой ромб
Ромбильная плитка
Усеченный ромбический триаконтаэдр

Ссылки [ править ]

^ Стивен Вольфрам , " [1] " из Wolfram Alpha . Проверено 7 января 2013 года.
^ [2]
^ Рассечение ромбического триаконтаэдра
^ Pawley, GS (1975). «227 триаконтаэдров». Geometriae Dedicata . Kluwer Academic Publishers. 4 (2–4): 221–232. DOI : 10.1007 / BF00148756 . ISSN 1572-9168 .
Перейти ↑ Messer, PW (1995). "Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра и за его пределами". Структурная топология . 21 : 25–46.
^ Коробка триаконтаэдра - KO Sticks LLC
^ http://www.vortexmaps.com/grid-history.php

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
Веннингер, Магнус (1983), двойные модели , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту 0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, стр. 22, Ромбический триаконтаэдр)
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 [3] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, ромбический триаконтаэдр)

Внешние ссылки [ править ]

Эрик В. Вайсштейн , Ромбический триаконтаэдр ( каталонское твердое тело ) в MathWorld .
Ромбический триаконтраэдр - интерактивная модель многогранника
Многогранники виртуальной реальности - Энциклопедия многогранников
Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра.
Земной шар EarthStar - проекция карты ромбического триаконтаэдра
IQ-light - лампа датского дизайнера Хольгера Строма.
Сделать свой собственный
деревянная конструкция коробки из ромбического триаконтаэдра - плотник Джейн Костик
120 ромбических триаконтаэдров , 30 + 12 ромбических триаконтаэдров и 12 ромбических триаконтаэдров Шандора Кабая, The Wolfram Demonstrations Project
Змея, нарисованная на ромбическом триаконтаэдре .

[1] Стивен Вольфрам , " [1] " из Wolfram Alpha . Проверено 7 января 2013 года.

[2] [2]

[3] Рассечение ромбического триаконтаэдра

[4] Pawley, GS (1975). «227 триаконтаэдров». Geometriae Dedicata . Kluwer Academic Publishers. 4 (2–4): 221–232. DOI : 10.1007 / BF00148756 . ISSN 1572-9168 .

[5] Перейти ↑ Messer, PW (1995). "Звёздчатые формы ромбического триаконтаэдра и за его пределами". Структурная топология . 21 : 25–46.

[6] Коробка триаконтаэдра - KO Sticks LLC

[7] ttp://www.vortexmaps.com/grid-history.php

vтеМногогранники
По количеству лиц
1–10 лиц	Моноэдр Дигедрон Трехгранник Тетраэдр Пентаэдр Шестигранник Гептаэдр Октаэдр Эннеэдр Декаэдр
11–20 лиц	Гендекаэдр Додекаэдр Тридекаэдр Тетрадекаэдр Пентадекаэдр Гексадекаэдр Гептадекаэдр Октадекаэдр Эннеадекаэдр Икосаэдр
> 21 лицо	Икоситетраэдр (24) Триаконтаэдр (30) Икосододекаэдр (32) Шестиугольник (60) Эннеконтаэдр (90) Гектотриадиоэдр (132) Апейроэдр (∞)