Двойной многогранник

В геометрии каждому многограннику соответствует вторая двойственная фигура, где вершины одного соответствуют граням другого, а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. ^[1] Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также являются геометрическими многогранниками. ^[2] Начиная с любого заданного многогранника, двойственный к двойственному ему является исходным многогранником.

Двойственность сохраняет симметрию многогранника. Поэтому для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные многогранники принадлежат соответствующему классу симметрии. Например, правильные многогранники — (выпуклые) Платоновые тела и (звездчатые) многогранники Кеплера — Пуансо —  образуют дуальные пары, где правильный тетраэдр самодуален . Двойственный изогональному многограннику (в котором любые две вершины эквивалентны относительно симметрии многогранника) является равногранным многогранником (в котором любые две грани эквивалентны [...]), и наоборот. Двойной изотоксальмногогранник (тот, в котором любые два ребра эквивалентны [...]) также является изотоксальным.

Двойственность тесно связана с взаимностью или полярностью , геометрическим преобразованием, которое применительно к выпуклому многограннику реализует двойственный многогранник как другой выпуклый многогранник.

Есть много видов двойственности. Типы, наиболее соответствующие элементарным многогранникам, - это полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.

В евклидовом пространстве двойственность многогранника часто определяется в терминах полярного возвратно -поступательного движения вокруг сферы. Здесь каждой вершине (полюсу) сопоставлена ​​плоскость грани (полярная плоскость или просто полярная) так, что луч из центра в вершину перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса. ^[3]${\ Displaystyle Р}$

Когда сфера имеет радиус и центрирована в начале координат (так что она определяется уравнением ), то полярный двойственный выпуклый многогранник определяется как${\ Displaystyle г}$${\ Displaystyle х ^ {2} + у ^ {2} + г ^ {2} = г ^ {2}}$${\ Displaystyle Р}$

Двойственным кубу является октаэдр . Вершины одного соответствуют граням другого, а ребра соответствуют друг другу.

Двойственное Платону тело можно построить, соединив центры граней. В общем случае это создает только топологический двойник .
Изображения из « Harmonices Mundi » Кеплера (1619 г.)

Каноническое дуальное соединение кубооктаэдра (светлый) и ромбододекаэдр (темный). Пары ребер сходятся на их общей средней сфере .

Квадратная мозаика {4,4} является самодвойственной, как показано этими красными и синими мозаиками.

Апирогональная мозаика бесконечного порядка , {∞, ∞} выделена красным цветом, а ее двойственное положение выделено синим цветом .