В геометрии , A многогранник размерности 3 (а многогранник ) или выше равногранный или лицом транзитивен , когда все его грани являются одинаковыми. Более конкретно, все грани должны быть не просто конгруэнтными, но должны быть транзитивными , то есть должны находиться в пределах одной и той же орбиты симметрии . Другими словами, для любого лица и Б , должна быть симметрия всего твердого вращений и отражений , который отображает A на B . По этой причине выпуклые равногранные многогранники - это формы, которые будут составлятьчестная игра в кости . [1]
Изоэдральные многогранники называются изоэдрами . Их можно описать по конфигурации лица . Форма, которая является изоэдральной и имеет правильные вершины, также является реберно-транзитивной (изотоксальной) и называется квазирегулярно двойственной : некоторые теоретики считают эти фигуры действительно квазирегулярными, потому что они обладают одинаковыми симметриями, но это не является общепринятым. У изоэдра четное число граней. [2]
Многогранник, который является равногранным, имеет двойственный многогранник , транзитивный по вершинам (изогональный). В твердых частицах Каталонские , в бипирамиды и trapezohedra все равногранные. Они являются двойниками изогональных архимедовых тел , призм и антипризм соответственно. В Платоновых тела , которые либо автодуальные или двойные с другим Платоническим твердым веществом, является вершиной, ребро, и лицом транзитивно (изогональным, isotoxal и равногранным). Многогранник равногранный и изогональный называется благородным .
Не все изозоноэдры [3] изоэдральны. [4] Пример: ромбический икосаэдр является изозоноэдром, но не изоэдром. [5]
Примеры [ править ]
| Выпуклый | Вогнутый | ||
|---|---|---|---|
 Гексагональная бипирамида , V4.4.6 является нерегулярным примером равногранном многогранника. |  Равногранный Cairo пятиугольной плиточные , V3.3.4.3.4 | Ромбические додекаэдрические сотни является примером равнограннома (и изохорных) пространственно-заправочных сот. | Топологические квадратные мозаики искажены в спиралевидные формы H. |
Классы изоэдров по симметрии [ править ]
| Лица | Конфигурация лица . | Класс | Имя | Симметрия | Заказ | Выпуклый | Копланарный | Невыпуклый |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | V3 3 | Платонический | тетраэдр тетрагональный дисфеноид ромбический дисфеноид | T d , [3,3], (* 332) D 2d , [2 + , 2], (2 *) D 2 , [2,2] + , (222) | 24 4 4 4 | |||
| 6 | V3 4 | Платонический | куб тригональный трапецоэдр асимметричный тригональный трапецоэдр | O h , [4,3], (* 432) D 3d , [2 + , 6] (2 * 3) D 3 [2,3] + , (223) | 48 12 12 6 | |||
| 8 | V4 3 | Платонический | октаэдр квадрат бипирамида ромбическая бипирамида квадратный скаленоэдр | O h , [4,3], (* 432) D 4h , [2,4], (* 224) D 2h , [2,2], (* 222) D 2d , [2 + , 4], ( 2 * 2) | 48 16 8 8 | |||
| 12 | V3 5 | Платонический | правильный додекаэдр пиритоэдр тетартоид | I h , [5,3], (* 532) T h , [3 + , 4], (3 * 2) T, [3,3] + , (* 332) | 120 24 12 | |||
| 20 | V5 3 | Платонический | правильный икосаэдр | I h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
| 12 | V3.6 2 | Каталонский | триакис тетраэдр | Т д , [3,3], (* 332) | 24 | |||
| 12 | В (3,4) 2 | Каталонский | ромбический додекаэдр дельтовидный додекаэдр | O h , [4,3], (* 432) T d , [3,3], (* 332) | 48 24 | |||
| 24 | V3.8 2 | Каталонский | триакис октаэдр | О ч , [4,3], (* 432) | 48 | |||
| 24 | V4.6 2 | Каталонский | тетракис шестигранник | О ч , [4,3], (* 432) | 48 | |||
| 24 | V3.4 3 | Каталонский | дельтовидный икоситетраэдр | О ч , [4,3], (* 432) | 48 | |||
| 48 | V4.6.8 | Каталонский | disdyakis додекаэдр | О ч , [4,3], (* 432) | 48 | |||
| 24 | V3 4 .4 | Каталонский | пятиугольный икоситетраэдр | О, [4,3] + , (432) | 24 | |||
| 30 | В (3,5) 2 | Каталонский | ромбический триаконтаэдр | I h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
| 60 | V3.10 2 | Каталонский | триакис икосаэдр | I h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
| 60 | V5.6 2 | Каталонский | пентакис додекаэдр | I h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
| 60 | V3.4.5.4 | Каталонский | дельтовидный гексеконтаэдр | I h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
| 120 | V4.6.10 | Каталонский | дисдякис триаконтаэдр | I h , [5,3], (* 532) | 120 | |||
| 60 | V3 4 .5 | Каталонский | пятиугольный гексеконтаэдр | Я, [5,3] + , (532) | 60 | |||
| 2 п | V3 3 . п | Полярный | трапецоэдр асимметричный трапецоэдр | D nd , [2 + , 2 n ], (2 * n ) D n , [2, n ] + , (22 n ) | 4 п 2 п | |||
| 2 п 4 п | V4 2 . n V4 2 .2 n V4 2 .2 n | Полярный | регулярный n - бипирамида изотоксальный 2 n -бипирамида 2 n - скаленоэдр | D n h , [2, n ], (* 22 n ) D n h , [2, n ], (* 22 n ) D n d , [2 + , 2 n ], (2 * n ) | 4 п |
k -изоэдральныйрисунок [ править ]
Многогранник (или многогранник в целом) является k -изоэдральным, если он содержит k граней в своей фундаментальной области симметрии. [6]
Точно так же k -изоэдрическая мозаика имеет k отдельных орбит симметрии (и может содержать m граней различной формы для некоторого m < k ). [7]
Monohedral полиэдр или monohedral черепица ( т = 1) имеет конгруэнтные грани, либо как прямые или рефлекторно, которые происходят в одном или более положениях симметрии. Г -hedral многогранники или плиточный имеют R типы граней (также называемые двугранными, трехгранные на 2 или 3 соответственно). [8]
Вот несколько примеров k-изоэдральных многогранников и мозаик, грани которых окрашены в соответствии с положениями симметрии k :
| 3-равногранный | 4-равногранный | равногранный | 2-равногранный |
|---|---|---|---|
| (2-гранные) правильные многогранники | Моноэдральные многогранники | ||
| Ромбокубооктаэдр имеет 1 тип треугольника и 2 типа квадратов | Псевдо-ромбокубооктаэдр имеет 1 тип треугольника и 3 типов квадратов. | Дельтоидальный икоситетраэдр имеет с 1 типом лица. | Псевдо-дельтоидальный икоситетраэдр имеет 2 типа одинаковых граней-образную форму. |
| 2-равногранный | 4-равногранный | Изоэдральная | 3-равногранный |
|---|---|---|---|
| (2-гранные) правильные мозаики | Моноэдральные мозаики | ||
| Пифагор Черепица имеет 2 размера квадратов. | Эта 3-однородная плитка состоит из 3-х типов треугольников одинаковой формы и 1-го типа квадрата. | Узор « елочка» имеет 1 вид прямоугольной грани. | Эта пятиугольная плитка имеет 3 типа неправильных граней пятиугольника одинаковой формы. |
Связанные термины [ править ]
Клетка-транзитивно или изохорная фигура является п - многогранник ( п > 3) или соты , которая имеет свои клетки конгруэнтны и переходный друг с другом. В трехмерных сотах катоптические соты , двойные к однородным сотам, изохоричны. В 4-х измерениях изохорные многогранники пронумерованы до 20 ячеек. [9]
Фасет-транзитивно или изотопное рисунок представляет собой п - мерные многогранники или сотни, с его гранями (( п -1) - лица ) конгруэнтен и переходными. Двойной из изотопа является изогональным многогранником. По определению это изотопическое свойство является общим для двойников однородных многогранников .
- Изотопная двумерная фигура изотоксальна (реберно-транзитивна).
- Изотопическая трехмерная фигура изоэдральна ( гранно -транзитивна).
- Изотопная 4-мерная фигура изохорична (клеточно-транзитивная).
См. Также [ править ]
- Edge-транзитивный
- Анизоэдральная черепица
Заметки [ править ]
- ^ Маклин, К. Робин (1990), "Подземелья, драконы, и кости", Математическая газета , 74 (469): 243-256, DOI : 10,2307 / 3619822 , JSTOR 3619822.
- ^ Грюнбаум (1960)
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Изозоноэдр" . mathworld.wolfram.com . Проверено 26 декабря 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Изоэдр" . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 декабря 2019 .
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Rhombic Icosahedron . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 декабря 2019 .
- ^ Socolar, Джошуа ES (2007). «Шестиугольные паркетные плитки: k -изоэдральные монотили с произвольно большим k » (исправленный PDF) . Математический интеллигент . 29 : 33–38. arXiv : 0708.2663 . DOI : 10.1007 / bf02986203 . S2CID 119365079 . Проверено 9 сентября 2007 .
- ^ Крейг С. Каплан. «Введение в теорию тайлинга для компьютерной графики» . 2009. Глава 5 "Изоэдральные мозаики". п. 35.
- ^ Замощения и паттерны, с.20, 23
- ^ http://www.polytope.net/hedrondude/dice4.htm
Ссылки [ править ]
- Питер Р. Кромвель, Многогранники , Издательство Кембриджского университета 1997, ISBN 0-521-55432-2 , стр. 367 Транзитивность
Внешние ссылки [ править ]
- Ольшевский, Георгий. «Изотоп» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Вайсштейн, Эрик В. "Изоэдральная мозаика" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . MathWorld .
- изоэдры 25 классов изоэдров с конечным числом сторон
- Дизайн игральных костей в The Dice Lab
