В математике , А Каталонское твердое вещество , или архимедов двойной , является двойственным многогранником с архимедова твердого вещества . Всего 13 каталонских твердых тел. Они названы в честь бельгийского математика Эжена Каталана , который впервые описал их в 1865 году.
Все каталонские твердые тела выпуклые. Они транзитивны по граням, но не по вершинам . Это связано с тем, что двойственные архимедовы тела транзитивны по вершинам и не по граням. Обратите внимание, что в отличие от Платоновых тел и Архимедовых тел , грани каталонских тел не являются правильными многоугольниками . Однако вершинные фигуры каталонских тел правильные и имеют постоянные двугранные углы . Каталонские твердые тела, будучи гранно-транзитивными, являются изоэдрами .
Кроме того, два каталонских тела являются реберно-транзитивными : ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр . Это двойники двух квазирегулярных архимедовых тел.
Так же, как призмы и антипризмы обычно не считаются архимедовыми твердыми телами, так и бипирамиды и трапецоэдры обычно не считаются каталонскими твердыми телами, несмотря на то, что они транзитивны по граням.
Два каталонских твердых тела являются хиральными : пятиугольный икоситетраэдр и пятиугольный гексеконтаэдр , двойственные киральному курносому кубу и курносому додекаэдру . Каждый из них бывает двух энантиоморфов . Не считая энантиоморфов, бипирамид и трапецоэдров, всего существует 13 каталонских твердых тел.
п | Архимедово твердое тело | Каталонский твердый |
---|---|---|
1 | усеченный тетраэдр | триакис тетраэдр |
2 | усеченный куб | триакис октаэдр |
3 | усеченный кубооктаэдр | disdyakis додекаэдр |
4 | усеченный октаэдр | тетракис шестигранник |
5 | усеченный додекаэдр | триакис икосаэдр |
6 | усеченный икосододекаэдр | дисдякис триаконтаэдр |
7 | усеченный икосаэдр | пентакис додекаэдр |
8 | кубооктаэдр | ромбический додекаэдр |
9 | икосододекаэдр | ромбический триаконтаэдр |
10 | ромбокубооктаэдр | дельтовидный икоситетраэдр |
11 | ромбикосододекаэдр | дельтовидный гексеконтаэдр |
12 | курносый куб | пятиугольный икоситетраэдр |
13 | курносый додекаэдр | пятиугольный гексеконтаэдр |
Симметрия [ править ]
Каталонские твердые тела, наряду с их двойными архимедовыми телами , могут быть сгруппированы в те, которые обладают тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией. Как для октаэдрической, так и для икосаэдрической симметрии существует шесть форм. Единственное каталонское тело с настоящей тетраэдрической симметрией - это триакис-тетраэдр (двойственный усеченному тетраэдру ). Ромбический додекаэдр и тетракис-гексаэдр обладают октаэдрической симметрией, но их можно раскрашивать, чтобы иметь только тетраэдрическую симметрию. Выпрямление и курносый также существуют с тетраэдрической симметрией, но они платонические.вместо Архимеда, поэтому их двойники платонические, а не каталонские. (Они показаны на коричневом фоне в таблице ниже.)
Архимедов (платонический) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Каталанский (платонический) |
Архимедов | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Каталонский |
Архимедов | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Каталонский |
Список [ править ]
Имя (двойное имя) Имя Конвея | Фотографий | Ортогональные каркасы | Многоугольник лица | Углы лица (°) | Двугранный угол (°) | Лица | Края | Верт | Сим. |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
триакис тетраэдр ( усеченный тетраэдр ) "kT" | Равнобедренный V3.6.6 | 112,885 33,557 33,557 | 129,521 | 12 | 18 | 8 | Т д | ||
ромбический додекаэдр ( кубооктаэдр ) "jC" | Ромб V3.4.3.4 | 70,529 109,471 70,529 109,471 | 120 | 12 | 24 | 14 | О ч | ||
триакис октаэдр ( усеченный куб ) "kO" | Равнобедренный V3.8.8 | 117,201 31,400 31,400 | 147,350 | 24 | 36 | 14 | О ч | ||
тетракис-гексаэдр ( усеченный октаэдр ) "kC" | Равнобедренный V4.6.6 | 83,621 48,190 48,190 | 143,130 | 24 | 36 | 14 | О ч | ||
дельтоидальный икоситетраэдр ( ромбокубооктаэдр ) «° С » | Воздушный змей V3.4.4.4 | 81,579 81,579 81,579 115,263 | 138,118 | 24 | 48 | 26 год | О ч | ||
disdyakis додекаэдр ( усеченный кубооктаэдр ) "mC" | Скален V4.6.8 | 87,202 55,025 37,773 | 155,082 | 48 | 72 | 26 год | О ч | ||
пятиугольный икоситетраэдр ( курносый куб ) "gC" | Пентагон V3.3.3.3.4 | 114,812 114,812 114,812 114,812 80,752 | 136,309 | 24 | 60 | 38 | О | ||
ромбический триаконтаэдр ( икосододекаэдр ) "jD" | Ромб V3.5.3.5 | 63,435 116,565 63,435 116,565 | 144 | 30 | 60 | 32 | Я ч | ||
триакис икосаэдр ( усеченный додекаэдр ) "kI" | Равнобедренный V3.10.10 | 119,039 30,480 30,480 | 160,613 | 60 | 90 | 32 | Я ч | ||
пентакис додекаэдр ( усеченный икосаэдр ) "кД" | Равнобедренный V5.6.6 | 68,619 55,691 55,691 | 156,719 | 60 | 90 | 32 | Я ч | ||
дельтовидный гексеконтаэдр ( ромбикосододекаэдр ) "oD" | Кайт V3.4.5.4 | 86,974 67,783 86,974 118,269 | 154,121 | 60 | 120 | 62 | Я ч | ||
дисдякис триаконтаэдр ( усеченный икосододекаэдр ) "mD" | Скален V4.6.10 | 88,992 58,238 32,770 | 164,888 | 120 | 180 | 62 | Я ч | ||
пятиугольный гексеконтаэдр ( курносый додекаэдр ) "gD" | Пентагон V3.3.3.3.5 | 118,137 118,137 118,137 118,137 67,454 | 153,179 | 60 | 150 | 92 | я |
Геометрия [ править ]
Все двугранные углы каталонского твердого тела равны. Обозначая их значение и обозначая угол лица в вершинах, где встречаются грани , мы имеем
- .
Это может быть использовано для вычисления и , ..., с , ... только.
Треугольные грани [ править ]
Из 13 каталонских тел 7 имеют треугольные грани. Они имеют вид Vp.qr, где p, q и r принимают свои значения из 3, 4, 5, 6, 8 и 10. Углы , и могут быть вычислены следующим образом. Помещенный , , и положить
- .
потом
- ,
- .
Для и выражения, конечно же, похожи. Двугранный угол может быть вычислен из
- .
Применение этого, например, к триаконтаэдру дисдякиса ( , и , следовательно , и , где - золотое сечение ) дает и .
Четырехугольные грани [ править ]
Из 13 каталонских тел 4 имеют четырехугольные грани. Они имеют вид Vp.qpr, где p, q и r принимают свои значения из 3, 4 и 5. Угол можно вычислить по следующей формуле:
- .
Из этого , а двугранный угол может быть легко вычислен. В качестве альтернативы, положить , , . Тогда и можно найти, применив формулы для треугольного случая. Конечно, угол можно вычислить аналогичным образом. Лица - воздушные змеи , а если и ромбы . Применяя это, например, к дельтовидному икоситетраэдру ( , и ), получаем .
Пятиугольные грани [ править ]
Из 13 каталонских тел 2 имеют пятиугольные грани. Они имеют вид Vp.pppq, где p = 3 и q = 4 или 5. Угол можно вычислить, решив уравнение третьей степени:
- .
Свойства показателя [ править ]
Для твердого каталонского пусть сопряженное относительно midsphere из . Тогда есть архимедово твердое тело с той же средней сферой. Обозначим длину краев через . Позвольте быть внутренним радиусом граней , средним радиусом и , внутренним радиусом и окружным радиусом . Тогда эти величины можно выразить через двугранный угол и следующим образом:
- ,
- ,
- ,
- .
Эти количества связаны между собой , и .
В качестве примера, пусть это будет кубооктаэдр с длиной ребра . Тогда - ромбический додекаэдр. Применяя формулу для четырехугольных граней с и дает , следовательно , , , .
Все вершины типа лежат на сфере радиуса, равного
- ,
и аналогично для .
Таким образом, есть сфера, которая касается всех граней правильных -угольников (и аналогично для ) в их центре. Радиус этой сферы определяется выражением
- .
Эти два радиуса связаны соотношением . Продолжая приведенный выше пример: и , что дает , , и .
Если - вершина типа , ребро, начинающееся с , и точка, где ребро касается середины сферы , обозначьте расстояние как . Тогда ребра стыковки вершин типа и типа имеют длину . Эти количества могут быть вычислены с помощью
- ,
и аналогично для . Продолжая предыдущий пример: , , , , так что края ромбического додекаэдра имеют длину .
Двугранные углы между -угольными и -гональными гранями удовлетворяют
- .
Завершая пример с ромбическим додекаэдром, двугранный угол кубооктаэдра равен .
Применение к другим твердым телам [ править ]
Все формулы этого раздела применимы к Платоновым телам , а также к бипирамидам и трапецоэдрам с равными двугранными углами, потому что они могут быть получены только из свойства постоянного двугранного угла. Для пятиугольного трапецоэдра , например, с гранями V3.3.5.3, получаем , или . Это неудивительно: можно отрезать обе вершины так, чтобы получился правильный додекаэдр .
См. Также [ править ]
- Список однородных мозаик Показывает двойные однородные многоугольные мозаики, похожие на каталонские тела.
- Обозначение многогранника Конвея Процесс построения обозначений
- Архимедово твердое тело
- Джонсон солид
Ссылки [ править ]
- Эжен Каталонская Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Париж) 41, 1-71, 1865.
- Алан Холден Формы, пространство и симметрия . Нью-Йорк: Довер, 1991.
- Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту 0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники)
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 4: Двойники архимедовых многогранников, призмы и антипризмы
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы, связанные с каталонскими твердыми телами . |
- Вайсштейн, Эрик В. «Каталонские твердые тела» . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . MathWorld .
- Каталонские твердые тела - в визуальных многогранниках
- Архимедовы двойники - на многогранниках виртуальной реальности
- Интерактивный каталонский солид на Java
- Ссылка для скачивания оригинальной публикации Каталонии за 1865 год - с красивыми рисунками, в формате PDF.