Додекаэдр Дисдякиса

Додекаэдр Дисдякиса
( вращающаяся и 3D модель)
Тип	Каталонский твердый
Обозначение Конвея	мкК
Диаграмма Кокстера
Многоугольник лица	неравносторонний треугольник
Лица	48
Края	72
Вершины	26 = 6 + 8 + 12
Конфигурация лица	V4.6.8
Группа симметрии	O _h , B ₃ , [4,3], * 432
Двугранный угол	155 ° 4 '56 " ${\ displaystyle \ arccos (- {\ frac {71 + 12 {\ sqrt {2}}} {97}})}$
Двойной многогранник	усеченный кубооктаэдр
Характеристики	выпуклый, гранно-транзитивный
сеть

В геометрии , A disdyakis Додекаэдр , (также hexoctahedron , ^[1] гексакис октаэдр , octakis куб , octakis шестигранник , kisrhombic Додекаэдр ^[2] ), является Каталонский твердого вещества с 48 гранями и двойственный к архимедовой усеченного кубооктаэдр . Таким образом, он является транзитивным по граням, но с неправильными полигонами граней. Он напоминает увеличенный ромбический додекаэдр . Замена каждой грани ромбического додекаэдра плоской пирамидой создает многогранник, который выглядит почти как додекаэдр дисдиакиса и топологическиэквивалентно ему. Более формально додекаэдр дисдиакиса - это кромка ромбического додекаэдра. Сеть ромбической додекаэдрической пирамиды также имеет ту же топологию.

Симметрия [ править ]

Он имеет октаэдрическую симметрию O _h . Его общие края представляют собой отражающие плоскости симметрии. Это также можно увидеть в угловой и средней краю триангуляции правильного куба и октаэдра, а также ромбического додекаэдра.

Додекаэдр Дисдякиса

Дельтоидный
икоситетраэдр

Ромбический
додекаэдр

Шестигранник

Октаэдр

Сферический многогранник

(см. вращающуюся модель )	Ортографические проекции с 2-х, 3-х и 4-х кратных осей

Ребра сферического додекаэдра дисьякиса принадлежат 9 большим окружностям . Три из них образуют сферический октаэдр (серый на изображениях ниже). Остальные шесть образуют три квадратных хосоэдра (красный, зеленый и синий на изображениях ниже). Все они соответствуют зеркальным плоскостям - первая имеет двугранную [2,2], а вторая тетраэдрическую [3,3] симметрию.

Стереографические проекции
	2-кратный	3-кратный	4-кратный

Размеры [ править ]

Если его наименьшие края имеют длину a , его площадь поверхности и объем равны

{\ displaystyle {\ begin {align} A & = {\ tfrac {6} {7}} {\ sqrt {783 + 436 {\ sqrt {2}}}} \, a ^ {2} \\ V & = {\ tfrac {1} {7}} {\ sqrt {3 \ left (2194 + 1513 {\ sqrt {2}} \ right)}} a ^ {3} \ end {align}}}

Грани представляют собой разносторонние треугольники. Их углы равны , и . ${\ displaystyle \ arccos ({\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {12}} {\ sqrt {2}}) \ приблизительно 87.201 \, 963 \, 767 \, 96 ^ {\ circ}}$ $\arccos({\frac {3}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}})\approx 55.024\,696\,148\,90^{\circ }$ $\arccos({\frac {1}{12}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}})\approx 37.773\,340\,083\,13^{\circ }$

Ортогональные проекции [ править ]

Усеченный кубооктаэдр и двойственный ему додекаэдр дисдиакиса можно нарисовать в нескольких симметричных ортогональных проективных ориентациях. Между многогранником и двойственным ему вершины и грани меняются местами, а ребра перпендикулярны.

Проективная симметрия	[4]	[3]	[2]	[2]	[2]	[2]	[2] ⁺
Изображение
Двойное изображение

Связанные многогранники и мозаики [ править ]


Многогранники, подобные додекаэдру дисьякиса, двойственны октаэдру Боути и кубу , содержащему дополнительные пары треугольных граней. ^[3]

Додекаэдр disdyakis является одним из семейства двойственных однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 ⁺ , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 ^1,1 }	т {3,4} т {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 ^1,1 }

		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно

Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Это многогранники в последовательности, определяемой конфигурацией граней V4.6.2 n . Эта группа особенная тем, что у нее есть все четное число ребер на вершину и образуют биссектрисы, проходящие через многогранники и бесконечные прямые на плоскости, и продолжают в гиперболическую плоскость для любого n ≥ 7.

С четным числом граней в каждой вершине эти многогранники и мозаики можно показать, чередуя два цвета, чтобы все смежные грани имели разные цвета.

Каждая грань на этих областях также соответствует фундаментальной области группы симметрии с зеркалами порядка 2, 3, n в каждой вершине треугольной грани.

* n 32 мутации симметрии полностью усеченных мозаик : 4.6.2n v т е
Сим. * n 32 [ n , 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гипербола.		Paraco.	Некомпактный гиперболический
Сим. * n 32 [ n , 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3]	* ∞32 [∞, 3]	[12i, 3]	[9i, 3]	[6i, 3]	[3i, 3]
Цифры
Конфиг.	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
Duals
Конфиг.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

* n 42 мутация симметрии полностью усеченных плиток : 4.8.2n v т е
Симметрия * n 42 [n, 4]	Сферический		Евклидово	Компактный гиперболический				Paracomp.
Симметрия * n 42 [n, 4]	* 242 [2,4]	* 342 [3,4]	* 442 [4,4]	* 542 [5,4]	* 642 [6,4]	* 742 [7,4]	* 842 [8,4] ...	* ∞42 [∞, 4]
Омниусеченная фигура	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Омнитусеченные двойники	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

См. Также [ править ]

Первая звездчатая форма ромбического додекаэдра
Триаконтаэдр Дисдякиса
Kisrhombille плитка
Большой ромбигексакрон - однородный двойственный многогранник с одинаковой топологией поверхности.

Ссылки [ править ]

^ https://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms
^ Conway, Симметрии вещей, с.284
^ Симметроэдры: многогранники от симметричного размещения правильных многоугольников Крейг С. Каплан

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 285, кисРомбический додекаэдр )

Внешние ссылки [ править ]

Eric W. Weisstein , Disdyakis додекаэдр ( Каталонский твердое ) в MathWorld .
Модель интерактивного многогранника Додекаэдра (октаэдра Hexakis)

[1] ttps://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms

[2] Conway, Симметрии вещей, с.284

[3] Симметроэдры: многогранники от симметричного размещения правильных многоугольников Крейг С. Каплан

[1]