В геометрии и многогранных комбинаторики , то Kleetope из многогранника или многомерным выпуклый многогранник Р является еще полиэдр или многогранник Р К формируется путем замены каждого фасета из P с мелкой пирамиды . [1] Kleetopes названы в честь Виктора Клее . [2]
Примеры
Триакистетраэдр является Kleetope из тетраэдра , то триакисоктаэдр является Kleetope из октаэдра , а триакисикосаэдр является Kleetope из икосаэдра . В каждом из этих случаев Kleetope формируется путем добавления треугольной пирамиды к каждой грани исходного многогранника. Conway обобщается Kepler «s кис префикс , как этот же оператор KIS .
триакис тетраэдр Клеетоп тетраэдра . | тетракис шестигранник Клеетоп куба . | триакис октаэдр Клеетоп октаэдра . | pentakis dodecahedron Клеетопа додекаэдра . | triakis икосаэдр Клееверша икосаэдра . |
Тетракисгексаэдр является Kleetope из куба , образованного путем добавления квадратной пирамиды к каждому из его граней, а пентакисдодекаэдр является Kleetope из додекаэдра , образованного путем добавления пятиугольной пирамиды каждой грань додекаэдра.
disdyakis додекаэдр Клеетопа ромбического додекаэдра . | disdyakis triacontahedron Клеетопа ромбического триаконтаэдра . | tripentakis икосододекаэдр Клеевершина икосододекаэдра . | Бипирамиды , такие как эта пятиугольная бипирамида , могут рассматриваться как клиетопа их соответствующих диэдров . |
Базовый многогранник Kleetope не обязательно должен быть Платоновым телом . Например, додекаэдр дисдиакиса - это кромка ромбического додекаэдра , образованная заменой каждой стороны ромба додекаэдра ромбической пирамидой, а триаконтаэдр дисдиакиса - это кромка ромбического триаконтаэдра . Фактически, базовый многогранник Kleetope не обязательно должен быть Face-транзитивным , как это видно из трипентакисного икосододекаэдра выше.
Граф Гольднера – Харари может быть представлен как граф вершин и ребер клейотопы треугольной бипирамиды .
малый звездчатый додекаэдр Клетоп из малого звездчатого додекаэдра . | большой звездчатый додекаэдр Kleetope большого звездчатого додекаэдра . | додекаэдр большой пентаки Клетоп большой додекаэдр . | большой триакис икосаэдр Клетопия большого икосаэдра . |
Определения
Один из методов формирования клиетопа многогранника P состоит в том, чтобы разместить новую вершину вне P , около центра тяжести каждой грани. Если все эти новые вершины расположены достаточно близко к соответствующим центроидам, то единственными видимыми для них другими вершинами будут вершины фасетов, из которых они определены. В этом случае Клиотоп P является выпуклой оболочкой объединения вершин P и множества новых вершин. [3]
В качестве альтернативы, Kleetope может быть определен с помощью двойственности и ее двойной операции, усечения : Kleetope из P является двойственным многогранником из усечения двойственного P .
Свойства и приложения
Если P имеет достаточно вершин относительно его размерности, то клейотоп P является размерно однозначным : граф, образованный его ребрами и вершинами, не является графом другого многогранника или многогранника с другой размерностью. Более конкретно, если число вершин г - мерного многогранника Р составляет по меньшей мере d 2 /2 , то Р К размерно однозначна. [4]
Если каждая i -мерная грань d -мерного многогранника P является симплексом и если i ≤ d - 2 , то каждая ( i + 1) -мерная грань многогранника P K также является симплексом. В частности, Kleetope любого трехмерного многогранника - это симплициальный многогранник , многогранник, в котором все грани являются треугольниками.
Клитопы можно использовать для создания многогранников, не имеющих гамильтоновых циклов : любой путь через одну из вершин, добавленных в конструкции Клитопа, должен входить и выходить из вершины через ее соседей в исходном многограннике, и если есть больше новых вершин чем исходные вершины, то не хватает соседей для обхода. В частности, граф Гольднера – Харари , клейотоп треугольной бипирамиды, имеет шесть вершин, добавленных в конструкцию Клитопа, и только пять вершин в бипирамиде, из которой он был образован, поэтому он негамильтонов; это простейший возможный негамильтонов симплициальный многогранник. [5] Если многогранник с n вершинами образован повторением конструкции Клитопа несколько раз, начиная с тетраэдра, то его самый длинный путь имеет длину O ( n log 3 2 ) ; то есть показатель краткости этих графиков равен log 3 2 , приблизительно 0,630930. Тот же метод показывает, что в любой более высокой размерности d существуют симплициальные многогранники с показателем краткости log d 2 . [6] Точно так же Пламмер (1992) использовал конструкцию Клитопа, чтобы предоставить бесконечное семейство примеров симплициальных многогранников с четным числом вершин, которые не имеют идеального соответствия .
Клеетопы также обладают некоторыми экстремальными свойствами, связанными со степенями их вершин : если каждое ребро в плоском графе инцидентно по крайней мере семи другим ребрам, то должна существовать вершина степени не выше пяти, все, кроме одного, чьи соседи имеют степень 20 или больше. , а Kleetope Kleetope икосаэдра дает пример, в котором вершины высокой степени имеют степень ровно 20. [7]
Заметки
- ^ Грюнбаум ( 1963 , 1967 ).
- ^ Малькевич, Джозеф, Люди, имеющие значение , Американское математическое общество.
- ^ Грюнбаум (1967) , стр. 217.
- ^ Грюнбаум (1963) ; Грюнбаум (1967) , стр. 227.
- ^ Грюнбаум (1967) , стр. 357; Гольднер и Харари (1975) .
- Перейти ↑ Moon & Moser (1963) .
- ^ Jendro'l & Мадарас (2005) .
Рекомендации
- Ендроль, Станислав; Мадарас, Томаш (2005), «Замечание о существовании вершин малой степени с не более чем одним соседом большой степени в плоских графах», Tatra Mountains Mathematical Publications , 30 : 149–153, MR 2190255.
- Goldner, A .; Harary, F. (1975), "Замечание о наименьшем негамильтоновом максимальном плоском графе", Bull. Malaysian Math. Soc. , 6 (1): 41–42. См. Также тот же журнал 6 (2): 33 (1975) и 8 : 104-106 (1977). Ссылка из списка публикаций Харари .
- Грюнбаум, Бранко (1963), "однозначные многогранные графов", Израиль Журнал математики , 1 (4): 235-238, DOI : 10.1007 / BF02759726 , МР 0185506 , S2CID 121075042.
- Грюнбаум, Бранко (1967), Выпуклые многогранники , Wiley Interscience.
- Луна, JW; Moser, Л. (1963), "Простые дорожки на многогранников" , Тихоокеанский журнал математики , 13 (2): 629-631, DOI : 10,2140 / pjm.1963.13.629 , МР 0154276.
- Пламмер, Майкл Д. (1992), "Расширение сопоставлений в плоских графах IV", Дискретная математика , 109 (1-3): 207-219, DOI : 10.1016 / 0012-365X (92) 90292-N , MR 1192384 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).