24-ячеечные соты

24-ячеечные соты
24-клетки , и первый слой прилегающих к нему 4-граням.
Тип	Обычные 4-соты Однородные 4-соты
Символ Шлефли	{3,4,3,3} r {3,3,4,3} 2r {4,3,3,4} 2r {4,3,3 1,1 } {3 1,1,1,1 }
Диаграммы Кокстера-Дынкина
4-гранный тип	{3,4,3}
Тип ячейки	{3,4}
Тип лица	{3}
Фигурка края	{3,3}
Фигура вершины	{4,3,3}
Двойной	{3,3,4,3}
Группы Кокстера	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$, [3,4,3,3] , [4,3,3,4] , [4,3,3 1,1 ] , [3 1,1,1,1 ] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$
Характеристики	обычный

В четырехмерной евклидовой геометрии соты из 24 ячеек , или икоситетрахорические соты, представляют собой регулярную мозаику (или соты ), заполняющую пространство четырехмерного евклидова пространства регулярными 24 ячейками . Его можно представить символом Шлефли {3,4,3,3}.

Двойной тесселяция обычной 16-клеточная соты имеет символ Шлефл {3,3,4,3}. Вместе с тессерактическими сотами (или 4-кубическими сотами) это единственные регулярные мозаики евклидова 4-пространства.

Координаты [ править ]

Соты из 24 ячеек могут быть построены как мозаика Вороного корневой решетки D ₄ или F ₄ . Затем каждая 24-ячейка центрируется в точке решетки D ₄ , т. Е. В одной из

${\displaystyle \left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{4}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

Эти точки также можно описать как кватернионы Гурвица с четной квадратной нормой.

Вершины сот лежат в глубоких отверстиях решетки D ₄ . Это кватернионы Гурвица с нечетной квадратной нормой.

Его можно построить как двунаправленную тессератическую соту , взяв тессерактическую соту и разместив вершины в центрах всех квадратных граней. В 24-клеточные грани существуют между этими вершинами как выпрямленные 16-клетками . Если координаты соты тессерактики являются целыми числами (i, j, k, l), вершины двунаправленной соты тессерактики могут быть размещены во всех перестановках сдвигов на половину единицы в двух из четырех измерений, таким образом: (i + ½, j + ½, k, l), (i + ½, j, k + ½, l), (i + ½, j, k, l + ½), (i, j + ½, k + ½, l), (i, j + ½, k, l + ½), (i, j, k + ½, l + ½).

Конфигурация [ править ]

Каждая 24-ячейка в 24-ячеечной соте имеет 24 соседних 24 ячейки. С каждым соседом он разделяет ровно одну октаэдрическую ячейку.

У него есть еще 24 соседа, каждый из которых имеет общую вершину.

У него нет соседей, с которыми он разделяет только край или только грань.

Вершина фигуры из 24-клеточной соты представляет собой Tesseract (4-мерный куб). Итак, есть 16 ребер, 32 треугольника, 24 октаэдра и 8 24-ячеек, пересекающихся в каждой вершине. Края фигуры является тетраэдр , таким образом , есть 4 треугольника, 6 октаэдров, и 4-24 клетки , окружающие каждое ребро. Наконец, фигура лица представляет собой треугольник, поэтому на каждой грани встречаются 3 октаэдра и 3 24 ячейки.

Поперечные сечения [ править ]

Один из способов визуализировать четырехмерную фигуру - рассмотреть различные трехмерные поперечные сечения . То есть пересечение различных гиперплоскостей с рассматриваемой фигурой. Применение этой техники к 24-ячеечным сотам дает различные трехмерные соты с разной степенью регулярности.

Вершинного первого поперечное сечение использует некоторую гиперплоскость , ортогональное к линии , соединяющие противоположные вершины одного из 24-клеток. Например, можно взять любую из координатных гиперплоскостей в системе координат, указанной выше (т.е. плоскости, определяемые x _i = 0). Поперечное сечение {3,4,3,3} одной из этих гиперплоскостей дает ромбические додекаэдрические соты . Каждый из ромбических додекаэдров соответствует максимальному сечению одной из 24-х ячеек, пересекающих гиперплоскость (центр каждой такой (4-мерной) 24-ячейки лежит в гиперплоскости). Соответственно, ромбические додекаэдрические соты - это мозаика Вороного корневой решетки D ₃ (aгранецентрированная кубическая решетка). Сдвиг этой гиперплоскости на полпути к одной из вершин (например, x _i = ½) дает правильные кубические соты . В этом случае центр каждой 24-ячейки лежит вне гиперплоскости. Сдвиг снова, так что гиперплоскость пересекает вершину, дает еще одну ромбическую додекаэдрическую соту, но с новыми 24 ячейками (прежние сузились до точек). В общем, для любого целого n поперечное сечение через x _i = n представляет собой ромбические додекаэдрические соты, а поперечное сечение через x _i = n+ ½ - это соты кубической формы. По мере того, как гиперплоскость перемещается через 4-пространство, поперечное сечение периодически трансформируется между ними.

Клеток первого поперечное сечение использует некоторую гиперплоскость , параллельные одной из октаэдрических клеток 24-клетки. Рассмотрим, например, некоторую гиперплоскость, ортогональную вектору (1,1,0,0). Поперечное сечение {3,4,3,3} этой гиперплоскостью представляет собой выпрямленную кубическую соту . Каждый кубооктаэдр в этой соте представляет собой максимальное поперечное сечение 24-ячейки, центр которой лежит в плоскости. Между тем, каждый октаэдр является граничной ячейкой (4-мерной) 24-ячейки, центр которой лежит вне плоскости. Сдвигая эту гиперплоскость до тех пор, пока она не окажется на полпути между центром 24-ячейки и границей, мы получим усеченную кубическими сотами . Кубооктаэдры сжались, а октаэдры выросли, пока они оба не сталиусеченные октаэдры . Сдвиг снова, так что гиперплоскость пересекает границу центральной 24-ячейки, снова дает выпрямленные кубические соты, кубооктаэдры и октаэдры поменялись местами. По мере того, как гиперплоскость проходит через 4-пространство, поперечное сечение между этими двумя сотами периодически меняется.

Число поцелуев [ править ]

Если 3-сфера будет вписана в каждом hypercell этого тесселяция, в результате расположения плотнейшая известно ^{[примечание 1]} регулярная упаковка сферы в четырех измерений, с целующегося номером 24. Плотность упаковки такой конструкции состоит в

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}\cong 0.61685.}$

Каждая вписанная 3-сфера целует 24 других в центре октаэдрических граней своей 24-ячейки, поскольку каждая такая октаэдрическая ячейка является общей с соседней 24-ячейкой. В тесселяции с единичной длиной ребра диаметр сфер (расстояние между центрами целующихся сфер) равен √ 2 .

Сразу за пределами этой окружающей оболочки из 24 целующихся 3-сфер находится другая менее плотная оболочка из 24 3-сфер, которые не целуются друг с другом или с центральной 3-сферой; они вписаны в 24-ячейки, с которыми центральная 24-ячейка имеет только одну вершину (а не октаэдрическую ячейку). Расстояние между центрами одной из этих сфер и любой из ее соседей по оболочке или центральной сферы равно 2.

В качестве альтернативы, то же самое устройство упаковки сфер с числом поцелуев 24 может быть выполнено с меньшими 3-мя сферами с диаметром длины кромки и диаметром, путем размещения их в центрах и вершинах 24-ячеек. (Это эквивалентно размещению их в вершинах сот из 16 ячеек с единичной длиной ребра.) В этом случае центральная 3-сфера целует 24 других в центрах кубических граней трех тессерактов, вписанных в 24 -ячейка . (Это уникальная объемно-центрированная кубическая упаковка сфер по длине кромки тессерактических сот.)

Сразу за этой оболочкой целующихся 3-х сфер диаметра 1 находится еще одна менее плотная оболочка из 24 нецелующих 3-х сфер диаметра 1; они центрированы в соседних 24 ячейках, с которыми центральная 24 ячейки разделяет октаэдрическую грань. Расстояние между центрами одной из этих сфер и любой из ее соседей по оболочке или центральной сферы составляет √ 2 .

Построения симметрии [ править ]

Есть пять различных конструкций Wythoff этой мозаики как однородного многогранника . Они геометрически идентичны обычной форме, но различия симметрии могут быть представлены цветными гранями из 24 ячеек. Во всех случаях восемь 24-клеток встречаются в каждой вершине, но фигуры вершин имеют разные генераторы симметрии.

Группа Коксетера	Символы Шлефли		Диаграмма Кокстера	Фасеты ( 24 ячейки )	Фигура вершины ( 8 ячеек )	Порядок симметрии вершинной фигуры
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$= [3,4,3,3]	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$	{3,4,3,3}		8:		384
	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3,4,3\end{array}}\right\}}$	г {3,3,4,3}		6: 2:		96
${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$= [4,3,3,4]	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3,4\\3,4\end{array}}\right\}}$	2r {4,3,3,4}		4,4:		64
${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$= [4,3,3 1,1 ]	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3,4\end{array}}\right\}}$	2r {4,3,3 1,1 }		2,2: 4:		32
${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$= [3 1,1,1,1 ]	${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$	{3 1,1,1,1 }		2,2,2,2:		16

См. Также [ править ]

Другие однородные соты в 4-м пространстве:

• Усеченные 5-ячеечные соты
• Усеченные 5-ячеечные соты
• Усеченный 24-элементный сотовый
• Ректифицированный 24-элементный сотовый
• Сота с 24-ячеечным курносом

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ /${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21