16-ячеечные соты

16-ячеечные соты
Перспективная проекция : первый слой смежных 16-ячеечных граней.
Тип	Обычные 4-соты Однородные 4-соты
Семья	Чередующиеся гиперкубические соты
Символ Шлефли	{3,3,4,3}
Диаграммы Кокстера	знак равно знак равно
4-гранный тип	{3,3,4}
Тип ячейки	{3,3}
Тип лица	{3}
Край фигура	куб
Фигура вершины	24-элементный
Группа Кокстера	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ = [3,3,4,3]
Двойной	{3,4,3,3}
Характеристики	вершинно-транзитивный , реберный транзитивный , гранный транзитивный , клеточно-транзитивный , 4-гранный транзитивный

В четырехмерной евклидовой геометрии соты с 16 ячейками являются одной из трех регулярных мозаик (или сот ), заполняющих пространство , представленных символом Шлефли {3,3,4,3} и построенных 4-мерной упаковкой 16-клеточные аспекты , три вокруг каждого лица.

Его двойник - это 24-ячеечные соты . Его вершинная фигура - 24 клетки . Расположение вершин называется решеткой B ₄ , D ₄ или F ₄ . ^[1]^[2]

Альтернативные имена

Шестнадцатеричный тетракомб / соты
Демитессерактический тетракомб / соты

Координаты

Вершины могут быть размещены во всех целочисленных координатах (i, j, k, l), так что сумма координат будет четной.

Решетка D ₄

Расположение вершин соты из 16 ячеек называется решеткой D 4 или решеткой F ₄ . ^[2] Вершины этой решетки являются центрами 3-сфер в самой плотной известной упаковке равных сфер в 4-пространстве; ^[3] его число поцелуев - 24, что также совпадает с числом поцелуев в R ⁴ , как доказал Олег Мусин в 2003 году. ^[4]^[5]

Соответствующий D⁺
₄ решетка (также называемая D²
₄) может быть построена путем объединения двух решеток D ₄ и идентична решетке C ₄ : ^[6]

∪

знак равно

Число поцелуев для D⁺
₄равно 2 ³ = 8, (2 ^{n - 1} для n <8, 240 для n = 8 и 2 n ( n - 1) для n > 8). ^[7]

Соответствующий D^*
₄ решетка (также называемая D⁴
₄ и C²
₄) может быть построена путем объединения всех четырех решеток D ₄ , но она идентична решетке D ₄ : это также 4-мерная телесцентрированная кубика , объединение двух 4-кубических сот в двойных положениях. ^[8]

∪

знак равно

∪

.

Целуя число из D^*
₄решетка (и решетка D ₄ ) равна 24 ^[9], а ее мозаика Вороного представляет собой соты из 24 ячеек ,, содержащий все выпрямленные 16-ячеечные ( 24-ячеечные ) ячейки Вороного , или . ^[10]

Построения симметрии

Есть три различных конструкции симметрии этой мозаики. Каждая симметрия может быть представлена различным расположением цветных 16-ячеечных граней.

Группа Кокстера	Символ Шлефли	Диаграмма Кокстера	Фигура вершины Симметрия	Facets / verf
${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ = [3,3,4,3]	{3,3,4,3}		[3,4,3], заказ 1152	24: 16-элементный
${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$ = [3 1,1 , 3,4]	= ч {4,3,3,4}	знак равно	[3,3,4], заказ 384	16 + 8: 16-элементный
${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$ = [3 1,1,1,1 ]	{3,3 ^1,1,1 } = h {4,3,3 ^1,1 }	знак равно	[3 ^1,1,1 ], заказ 192	8 + 8 + 8: 16 клеток
2 × ½ = [[(4,3,3,4,2 ⁺ )]] ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {4}}$	ht _0,4 {4,3,3,4}			8 + 4 + 4: 4-полукруглый 8: 16-элементный

Связанные соты

Он связан с регулярными гиперболическими 5-пространственными 5-ортоплексными сотами , {3,3,3,4,3}, с 5-ортоплексными фасетами, 24-клеточными регулярными 4-многогранниками , {3,4,3} с октаэдрическая (3-ортоплексная) ячейка и куб {4,3} с квадратными гранями (2-ортоплекс).

Он имеет двумерный аналог, {3,6} , и как альтернативную форму ( полусертичные соты , h {4,3,3,4}) он связан с альтернативными кубическими сотами .

Эти соты - одна из 20 однородных сот, построенных группой Кокстера , все, кроме трех, повторяются в других семействах посредством расширенной симметрии, что видно по симметрии графов колец на диаграммах Кокстера – Дынкина . Перечислены 20 перестановок с их высшим расширенным отношением симметрии: ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$

Соты D5
Расширенная симметрия	Расширенная диаграмма	Расширенная группа	Соты
[3 ^1,1 , 3,3 ^1,1 ]		${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$
<[3 ^1,1 , 3,3 ^1,1 ]> ↔ [3 ^1,1 , 3,3,4]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$ × 2 ₁ = ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {5}}$	, , , , , ,
[[3 ^1,1 , 3,3 ^1,1 ]]		${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$ × 2 ₂	,
<2 [3 ^1,1 , 3,3 ^1,1 ]> ↔ [4,3,3,3,4]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$ × 4 ₁ = ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {5}}$	, , , , ,
[<2 [3 ^1,1 , 3,3 ^1,1 ]>] ↔ [[4,3,3,3,4]]	↔	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {5}}$ × 8 = × 2 ${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {5}}$	, ,

Смотрите также

Регулярные и однородные соты в 4-м пространстве:

Тессерактические соты
24-ячеечные соты
Усеченный 24-элементный сотовый
Сота с 24-ячеечным курносом
5-ячеечные соты
Усеченные 5-ячеечные соты
Усеченные 5-ячеечные соты

Примечания

^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/F4.html
^ a b http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/D4.html
^ Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , 1.4 n-мерные упаковки, стр.9
^ Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , 1.5 Сводка результатов по проблеме упаковки сфер. , стр.12
^ Мусин (2003). «Проблема двадцати пяти сфер». Русь. Математика. Surv . 58 (4): 794–795. Bibcode : 2003RuMaS..58..794M . DOI : 10.1070 / RM2003v058n04ABEH000651 .
^ Конвей и Sloane, Sphere упаковки, решетки, и группы , 7.3 Упаковка D₃⁺ , с.119
^ Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , стр. 119
^ Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , 7.4 Двойственная решетка D₃^* , стр.120
^ Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , стр. 120
^ Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , стр. 466

использованная литература

Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
- . С. 154-156: Частичное усечение или чередование, представленное ч префикса: ч {4,4} = {4,4}; h {4,3,4} = {3 ^1,1 , 4}, h {4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Георгий Ольшевский, Uniform Panoploid Tetracombs , Manuscript (2006) (Полный список из 11 выпуклых однородных мозаик, 28 выпуклых однородных сот и 143 выпуклых однородных тетракомбов)
Клитцинг, Ричард. «4D евклидова мозаика» . x3o3o4o3o - hext - O104
Конвей Дж. Х., Слоан Нью-Джерси (1998). Сферические упаковки, решетки и группы (3-е изд.). ISBN 0-387-98585-9.

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ / / ${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ ₉	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E 10	Равномерные 10-соты	{3 ^[11] }	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21

[1] ttp://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/F4.html

[www2.research.att.com-2] ttp://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/D4.html

[3] Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , 1.4 n-мерные упаковки, стр.9

[4] Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , 1.5 Сводка результатов по проблеме упаковки сфер. , стр.12

[Musin-5] Мусин (2003). «Проблема двадцати пяти сфер». Русь. Математика. Surv . 58 (4): 794–795. Bibcode : 2003RuMaS..58..794M . DOI : 10.1070 / RM2003v058n04ABEH000651 .

[6] Конвей и Sloane, Sphere упаковки, решетки, и группы , 7.3 Упаковка D₃⁺ , с.119

[7] Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , стр. 119

[8] Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , 7.4 Двойственная решетка D₃^* , стр.120

[9] Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , стр. 120

[10] Конвей и Слоан, Сферические упаковки, решетки и группы , стр. 466

[1]