16 ячеек

Обычный гексадекахорон (16-клеточный) (4-ортоплекс)
Диаграмма Шлегеля (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник 4- ортоплекс 4- полукуб
Символ Шлефли	{3,3,4}
Диаграмма Кокстера
Клетки	16 {3,3}
Лица	32 {3}
Края	24
Вершины	8
Фигура вершины	Октаэдр
Многоугольник Петри	восьмиугольник
Группа Коксетера	B 4 , [3,3,4], заказ 384 D 4 , заказ 192
Двойной	Тессеракт
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , равногранный , квазирегулярный
Единый индекс	12

Сеть

В четырехмерной геометрии , A 16-клеток является правильным выпуклым 4-многогранник . Это один из шести правильных выпуклых 4-многогранников, впервые описанных швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. Его также называют С ₁₆ , hexadecachoron , ^[1] или hexdecahedroid . ^[2]

Он является частью бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-политопами или ортоплексами , и аналогичен октаэдру в трех измерениях. Это многогранник Кокстера . ^[3] Конвей назвал кросс-многогранник « ортоплексом» , что означает « ортантный комплекс» . Двойной многогранник является тессерактом (4 куб ), который может быть объединен с , чтобы сформировать составную фигуру . 16 ячеек имеет 16 ячеек, так как тессеракт имеет 16 вершин.${\ displaystyle \ beta _ {4}}$

Геометрия [ править ]

Он ограничен 16 ячейками , все из которых являются правильными тетраэдрами . У него 32 треугольных грани , 24 ребра и 8 вершин . 24 ребра ограничивают 6 квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях.

Восемь вершин 16-ячейки: (± 1, 0, 0, 0), (0, ± 1, 0, 0), (0, 0, ± 1, 0), (0, 0, 0, ± 1). Все вершины соединены ребрами, кроме противоположных пар.

Символ Шлефли для 16 клеток - {3,3,4}. Его вершина - правильный октаэдр . В каждой вершине пересекаются 8 тетраэдров, 12 треугольников и 6 ребер. Его крайняя фигура - квадрат. На каждом ребре пересекаются 4 тетраэдра и 4 треугольника.

16-ячейка может быть разложена на две одинаковые непересекающиеся круговые цепочки по восемь тетраэдров в каждой, с четырьмя ребрами в длину. Каждая цепь в прямом растяжении образует спираль Бурдейка – Кокстера . Это разложение можно увидеть в конструкции из 4-4 дуоантипризмы из 16 клеток : или же , Символ Шлефли {2} ⨂ {2} или s {2} s {2}, симметрия 4,2 ⁺ , 4, порядок 64.

16-клетки можно разрезать на две октаэдрические пирамиды , которые разделяют новую октаэдр базу через центр 16-клеток.

Как конфигурация [ править ]

Эта матрица конфигурации представляет собой 16 ячеек. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всей 16 ячейке. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 8 & 6 & 12 & 8 \\ 2 & 24 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 32 & 2 \\ 4 & 6 & 4 & 16 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Изображения [ редактировать ]

Ортогональные проекции [ править ]

Тесселяции [ править ]

Можно разбить 4-мерное евклидово пространство правильными 16 ячейками. Это называется сотовой структурой с 16 ячейками и имеет символ Шлефли {3,3,4,3}. Следовательно, 16-элементная ячейка имеет двугранный угол 120 °. ^[4] Каждая 16-ячейка имеет 16 соседей, с которыми она имеет общий тетраэдр, 24 соседа, с которыми она имеет только одно ребро, и 72 соседа, с которыми она имеет общую только одну точку. Двадцать четыре 16-ячейки пересекаются в любой заданной вершине этой мозаики.

Двойная мозаика, 24- ячеечные соты , {3,4,3,3}, состоят из обычных 24-ячеек . Вместе с tesseractic сотами {4,3,3,4} только эти три регулярные мозаики из R ⁴ .

Спираль Бурдейка – Кокстера [ править ]

16-клетки могут быть сконструированы из двух Boerdijk-кокстеровских спиралей из восьми тетраэдров, цепи , каждых сложить в 4-мерное кольцо. 16 треугольных граней можно увидеть в двумерной сети внутри треугольной мозаики с 6 треугольниками вокруг каждой вершины. Пурпурные края представляют собой многоугольник Петри из 16 ячеек.

Прогнозы [ править ]

Параллельная проекция ячейки первая ячейка в 3-пространство имеет кубическую оболочку. Ближайшие и самые дальние ячейки проецируются на вписанные тетраэдры внутри куба, что соответствует двум возможным способам вписать правильный тетраэдр в куб. Каждый из этих тетраэдров окружают 4 других (нерегулярных) тетраэдрических объема, которые являются изображениями 4 окружающих тетраэдрических ячеек, заполняя пространство между вписанным тетраэдром и кубом. Остальные 6 ячеек проецируются на квадратные грани куба. В этой проекции 16-ячейки все ее края лежат на гранях кубической оболочки.

Перспективная проекция 16-ячеек в трехмерное пространство по направлению к ячейке имеет тетраэдрическую оболочку триакиса . Расположение ячеек внутри этого конверта аналогично расположению параллельной проекции ячейка-первая.

Параллельная проекция 16-ячеек в 3-пространство с первой вершиной имеет октаэдрическую огибающую . Этот октаэдр можно разделить на 8 тетраэдрических объемов, разрезая его по координатным плоскостям. Каждый из этих объемов представляет собой изображение пары ячеек в 16 ячейке. Ближайшая к зрителю вершина 16-ячейки проецируется на центр октаэдра.

Наконец, параллельная проекция, обращенная сначала ребром, имеет укороченную октаэдрическую огибающую, а параллельная проекция, обращенная сначала лицом, имеет шестиугольную бипирамидальную оболочку.

Диаграмма Венна с четырьмя сферами [ править ]

Обычная проекция 16-ячеечной и 4-х пересекающихся сфер ( диаграмма Венна из 4-х множеств) образуют топологически один и тот же объект в 3D-пространстве:

Построения симметрии [ править ]

Существует форма более низкой симметрии 16- ячеечной клетки , называемая димитессеракт или 4-полукуб , член семейства полугиперкубов , представленная диаграммами h {4,3,3} и Кокстера. или же . Его можно нарисовать двухцветным с чередованием четырехгранных ячеек.

Его также можно увидеть в форме более низкой симметрии как тетраэдрическую антипризму , построенную из 2 параллельных тетраэдров в двойных конфигурациях, соединенных 8 (возможно, удлиненными) тетраэдрами. Он представлен s {2,4,3} и диаграммой Кокстера:.

Его также можно рассматривать как курносый 4- ортотоп , представленный s {2 ^1,1,1 } и диаграммой Кокстера: или же .

С тессерактом, построенным в виде 4-4 дуопризмы , 16 клеток можно рассматривать как двойную, 4-4 дуопирамиду .

Имя	Диаграмма Кокстера	Символ Шлефли	Обозначение Кокстера	Заказ	Фигура вершины
Обычная 16-ячеечная		{3,3,4}	[3,3,4]	384
Demitesseract Quasiregular 16-элементный	знак равно знак равно	ч {4,3,3} {3,3 1,1 }	[3 1,1,1 ] = [1 + , 4,3,3]	192
Чередование 4-4 дуопризмы		2 с {4,2,4}	[[4,2 + , 4]]	64
Тетраэдрическая антипризма		с {2,4,3}	[ 2+ , 4,3]	48
Переменная квадратная призма		ср {2,2,4}	[(2,2) + , 4]	16
Курносый 4- ортотоп	знак равно	с {2 1,1,1 }	[2,2,2] + = [2 1,1,1 ] +	8
4- фузил
		{3,3,4}	[3,3,4]	384
		{4} + {4} или 2 {4}	[[4,2,4]] = [8,2 + , 8]	128
		{3,4} + {}	[4,3,2]	96
		{4} +2 {}	[4,2,2]	32
		{} + {} + {} + {} или 4 {}	[2,2,2]	16

Связанные сложные многоугольники [ править ]

Полигон Мёбиусово-Кантор является регулярный комплекс многоугольника ₃ {3} ₃ ,, in имеет те же вершины, что и 16-ячейка. У него 8 вершин и 8 3-ребер. ^{[5] [6]}${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Правильный комплексный многоугольник ₂ {4} ₄ ,, in имеет реальное представление как 16-ячейка в 4-мерном пространстве с 8 вершинами, 16 2-ребрами, только половиной ребер 16-ячейки. Его симметрия ₄ [4] ₂ , порядок 32. ^[7]${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}$

Связанные однородные многогранники и соты [ править ]

Правильная 16-ячейка вместе с тессерактом существует в наборе из 15 однородных 4-многогранников с одинаковой симметрией . Он также является частью однородных многогранников симметрии D 4 .

Этот 4-многогранник также связан с кубическими сотами , порядка 4 двенадцатигранных сот , и порядок-4 гексагональные плиточных сотам которые все имеют фигуры октаэдрических вершин .

Он находится в последовательности трех правильных 4-многогранников : 5-клеточного {3,3,3}, 600-клеточного {3,3,5} евклидова 4-мерного пространства и тетраэдрической соты порядка 6 {3, 3,6} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрические ячейки.

Он является первым в последовательности квазирегулярных многогранников и сот h {4, p, q} и последовательности полусимметрии для регулярных форм {p, 3,4}.

См. Также [ править ]

• 24-элементный
• 4-многогранник

Ссылки [ править ]

• Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
• HSM Coxeter :
  • Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  • Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
    • (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Hemicubes: 1 _n1 ) 
• Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик У. «16 ячеек» . MathWorld .
• Der 16-Zeller (16-клеточные) Регулярные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (немецкий)
• Описание и схемы 16-ячеечной проекции
• Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихоры) x3o3o4o - hex» .