2-х мерный квадрат | 3-х мерный октаэдр |
4 размера, 16 ячеек | 5 размеров 5-ортоплекс |
В геометрии , в поперечном многогранника , [1] гипероктаэдра , orthoplex , [2] или cocube является регулярным , выпуклый многогранник , который существует в п - размеры . Двумерный кросс-многогранник - это квадрат, трехмерный кросс-многогранник - это правильный октаэдр , а четырехмерный кросс-многогранник - это 16-элементный . Его грани - это симплексы предыдущего измерения, а фигура вершины кросс-многогранника - это еще один кросс-многогранник из предыдущего измерения.
Вершины кросс-многогранника могут быть выбраны в качестве единичных векторов, указывающих вдоль каждой координатной оси - т.е. все перестановки (± 1, 0, 0,…, 0) . Кросс-многогранник - это выпуклая оболочка его вершин. П - мерное кроссполитоп также может быть определен как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, ее граничных) в ℓ 1 -норме на R н :
В одномерном измерении кросс-политоп - это просто отрезок [−1, +1], в двух измерениях - квадрат (или ромб) с вершинами {(± 1, 0), (0, ± 1)}. В трех измерениях это октаэдр - один из пяти выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела . Это может быть обобщено на более высокие измерения с n-ортоплексом, построенным как бипирамида с (n-1) -ортоплексным основанием.
Кроссполитоп является двойной многогранник из гиперкуба . 1- скелет из п - мерного кросс-многогранника является Туран граф Т (2 н , п ).
4 измерения [ править ]
Четырехмерный кросс-многогранник также известен под названием гексадекахорон или 16-элементный . Это один из шести выпуклых правильных 4-многогранников . Эти 4-многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века.
Высшие измерения [ править ]
Семейство кросс-политопов является одним из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Кокстером как β n , два других - это семейство гиперкубов , обозначенных как γ n , и симплексов , обозначенных как α n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , он обозначил как δ n . [3]
П - мерный кроссполитоп имеет 2 п вершин, и 2 н граней ( п -1 номерных узлов) , все из которых являются п -1 симплекс . Эти цифры вершинных все п - 1 кросс-многогранники. Символ Шлефли кросс-многогранника равен {3,3, ..., 3,4}.
Двугранный угол из п - мерного поперечного многогранника . Это дает: δ 2 = arccos (0/2) = 90 °, δ 3 = arccos (-1/3) = 109,47 °, δ 4 = arccos (-2/4) = 120 °, δ 5 = arccos (- 3/5) = 126,87 °, ... δ ∞ = arccos (-1) = 180 °.
Гиперобъем n -мерного кросс-многогранника равен
Для каждой пары не противоположных вершин есть ребро, соединяющее их. В более общем смысле, каждый набор из k + 1 ортогональных вершин соответствует отдельному k -мерному компоненту, который их содержит. Количество k -мерных компонентов (вершин, ребер, граней, ..., фасет) в n- мерном кросс-многограннике, таким образом, определяется выражением (см. Биномиальный коэффициент ):
- [4]
Существует множество возможных орфографических проекций, которые могут отображать кросс-многогранники в виде двумерных графов. Проекции многоугольника Петри отображают точки в правильный 2n -угольник или регулярные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция берет 2 (n-1) -угольный многоугольник Петри нижнего измерения, рассматриваемый как бипирамида , спроецированный вниз по оси, с двумя вершинами, отображенными в центре.
п | β н к 11 | Имя (я) График | График 2n-угольник | Schläfli | Кокстер-Дынкин диаграмма | Вершины | Края | Лица | Клетки | 4 лица | 5- граней | 6 -граней | 7 -граней | 8 -граней | 9 -граней | 10 -лицы |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | β 0 | Точка 0-ортоплекс | . | () | 1 | |||||||||||
1 | β 1 | Отрезок 1-ортоплекс | {} | 2 | 1 | |||||||||||
2 | β 2 −1 11 | квадратный 2-ортоплекс Bicross | {4} 2 {} = {} + {} | 4 | 4 | 1 | ||||||||||
3 | β 3 0 11 | октаэдр 3-ортоплекс Трикросс | {3,4} {3 1,1 } 3 {} | 6 | 12 | 8 | 1 | |||||||||
4 | β 4 1 11 | 16-секционный 4-х ортоплексный тетракросс | {3,3,4} {3,3 1,1 } 4 {} | 8 | 24 | 32 | 16 | 1 | ||||||||
5 | β 5 2 11 | 5-ортоплекс Пентакросс | {3 3 , 4} {3,3,3 1,1 } 5 {} | 10 | 40 | 80 | 80 | 32 | 1 | |||||||
6 | β 6 3 11 | 6-ортоплекс Hexacross | {3 4 , 4} {3 3 , 3 1,1 } 6 {} | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 | 1 | ||||||
7 | β 7 4 11 | 7-ортоплекс Гептакросс | {3 5 , 4} {3 4 , 3 1,1 } 7 {} | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 | 1 | |||||
8 | β 8 5 11 | 8-ортоплекс Octacross | {3 6 , 4} {3 5 , 3 1,1 } 8 {} | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 | 1 | ||||
9 | β 9 6 11 | 9-ортоплекс Эннеакросс | {3 7 , 4} {3 6 , 3 1,1 } 9 {} | 18 | 144 | 672 | 2016 г. | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | 1 | |||
10 | β 10 7 11 | 10-ортоплекс Decacross | {3 8 , 4} {3 7 , 3 1,1 } 10 {} | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 | 1 | ||
... | ||||||||||||||||
п | β н к 11 | п -orthoplex п -cross | {3 n - 2 , 4} {3 n - 3 , 3 1,1 } n {} | ... ... ... | 2 п 0-граней , ... к -граней ..., 2 п (п-1) -граней |
Все вершины выровненного по осям поперечного многогранника находятся на равном расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии ( норма L 1 ). Гипотеза Куснера утверждает, что этот набор из 2 d точек является наибольшим из возможных эквидистантных наборов для этого расстояния. [5]
Обобщенный ортоплекс [ править ]
Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными ортоплексами (или кросс-многогранниками), βп
п= 2 {3} 2 {3} ... 2 {4} p , или... Реальные решения существуют с p = 2, т. Е. Β2
п= β n = 2 {3} 2 {3} ... 2 {4} 2 = {3,3, .., 4}. При p > 2 они существуют в . Р -generalized п -orthoplex имеет р - п вершин. Обобщенные ортоплексы имеют правильные симплексы (действительные) как фасеты . [6] Обобщенные ортоплексы составляют полные многодольные графы , βп
2сделаем K p , p для полного двудольного графа , βстр.
3сделайте K p , p , p для полных трехчастных графов. βп
псоздает K p n . Ортогональная проекция может быть определена , что отображает все вершины равномерно разнесенных по кругу, со всеми парами вершин , соединенных, за исключением кратных п . Правильный многоугольник периметр в этих ортогональных проекций называется Petrie многоугольник .
р = 2 | р = 3 | р = 4 | р = 5 | р = 6 | р = 7 | р = 8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 {4} 2 = {4} = К 2,2 | 2 {4} 3 = К 3,3 | 2 {4} 4 = К 4,4 | 2 {4} 5 = К 5,5 | 2 {4} 6 = К 6,6 | 2 {4} 7 = К 7,7 | 2 {4} 8 = К 8,8 | ||
2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = К 2,2,2 | 2 {3} 2 {4} 3 = К 3,3,3 | 2 {3} 2 {4} 4 = К 4,4,4 | 2 {3} 2 {4} 5 = К 5,5,5 | 2 {3} 2 {4} 6 = К 6,6,6 | 2 {3} 2 {4} 7 = К 7,7,7 | 2 {3} 2 {4} 8 = К 8,8,8 | ||
2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = К 2,2,2,2 | 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3 | 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4 | 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5 | 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6 | 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7 | 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8 | ||
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = К 2,2,2,2,2 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3,3 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4,4 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5,5 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6,6 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7,7 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8,8 | ||
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = К 2,2,2,2,2,2 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 К 3,3,3,3,3,3 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 К 4,4,4,4,4,4 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 К 5,5,5,5,5,5 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 К 6,6,6,6,6,6 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 К 7,7,7,7,7,7 | 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 К 8,8,8,8,8,8 |
Связанные семейства многогранников [ править ]
Кросс-многогранники можно комбинировать со своими двойными кубами для образования составных многогранников:
- В двух измерениях, мы получаем octagrammic звезды фигуры { 8 / 2 },
- В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра ,
- В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16 ячеек .
См. Также [ править ]
- Список правильных многогранников
- Группа гипероктаэдра, группа симметрии кросс-политопа
Цитаты [ править ]
- ^ Косетер 1973 , стр. 121-122, §7.21. иллюстрации рис 7-2 Б .
- ^ Конвей называет это н- ортоплексом для ортантного комплекса .
- ^ Косетер 1973 , стр. 120-124, §7.2.
- Перейти ↑ Coxeter 1973 , p. 121, §7.2.2 ..
- ^ Гай, Ричард К. (1983), «Олла-подрида открытых проблем, часто странно поставленных», American Mathematical Monthly , 90 (3): 196–200, doi : 10.2307 / 2975549 , JSTOR 2975549.
- ^ Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, стр. 108
Ссылки [ править ]
- Кокстер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
- С. 121-122, §7.21. см. иллюстрацию Рис. 7.2 B
- п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерном пространстве (n≥5)
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы, связанные с графами кросс-многогранников . |
- Вайсштейн, Эрик В. «Кросс-многогранник» . MathWorld .
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадрат | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный 4-многогранник | 5-элементный | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб. | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Регулярный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |