Равномерный 5-многогранник

Графы правильных и равномерных многогранников .

5-симплекс	Ректифицированный 5-симплексный		Усеченный 5-симплексный
Сквозной 5-симплексный	Ранцинированный 5-симплексный		Стерилизованный 5-симплексный
5-ортоплекс	Усеченный 5-ортоплекс		Ректифицированный 5-ортоплекс
Кантеллированный 5-ортоплекс		Ранцинированный 5-ортоплекс
Сквозной 5-куб	Бегущий 5-куб		Стерилизованный 5 куб.
5-куб	Усеченный 5-куб		Ректифицированный 5-куб.
5-полукуб		Усеченный 5-полукуб
Сквозной 5-полукуб		Runcinated 5-demicube

В геометрии , A равномерный 5-многогранник является пятимерной равномерной многогранник . По определению равномерный 5-многогранник является вершинно-транзитивным и построен из граней равномерного 4-многогранника .

Полный набор выпуклых однородных 5-многогранников не определен, но многие из них могут быть построены как конструкции Уайтхоффа из небольшого набора групп симметрии . Эти операции построения представлены перестановками колец диаграмм Кокстера .

История открытия [ править ]

Правильные многогранники : (выпуклые грани)
- 1852 : Людвиг Шлефли доказал в своей рукописи Theorie der vielfachen Kontinuität, что существует ровно 3 правильных многогранника в 5 или более измерениях .
Выпуклые полуправильные многогранники : (Различные определения до равномерной категории Кокстера )
- 1900 : Торольд Госсет перечислил список непризматических полуправильных выпуклых многогранников с правильными гранями ( выпуклые правильные 4-многогранники ) в своей публикации « О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений» . ^[1]
Выпуклые равномерные многогранники :
- 1940-1988 : Поиск был систематически расширен HSM Coxeter в его публикации Regular and Semi-Regular Polytopes I, II, and III .
- 1966 : Норман У. Джонсон защитил докторскую диссертацию. Диссертация по Кокстеру, Теория однородных многогранников и сот , Университет Торонто.

Правильные 5-многогранники [ править ]

Правильные 5-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p, q, r, s} с гранями s {p, q, r} 4-многогранников вокруг каждой грани . Таких правильных многогранников ровно три, все выпуклые:

{3,3,3,3} - 5-симплекс
{4,3,3,3} - 5 куб.
{3,3,3,4} - 5-ортоплекс

Не существует невыпуклых правильных многогранников в 5,6,7,8,9,10,11 и 12 измерениях.

Выпуклые равномерные 5-многогранники [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Что такое полный набор однородных 5-многогранников?

(больше нерешенных задач по математике)

Существует 104 известных выпуклых однородных 5-многогранников, а также множество бесконечных семейств дуопризм и дуопризм многоугольников и многогранников. Все, кроме большой антипризмы , основаны на конструкциях Уайтхоффа , симметрия отражения генерируется группами Кокстера . ^{[ необходима цитата ]}

Симметрия однородных 5-многогранников в четырех измерениях [ править ]

5-симплекс является регулярной формой в А - ₅ семьи. 5-куба и 5-orthoplex являются регулярные формы в B ₅ семьи. Бифуркационный граф семейства D ₅ содержит 5-ортоплекс , а также 5-полукуб, который является чередующимся 5-кубом .

Каждый отражающий однородный 5-многогранник может быть построен в одной или нескольких группах отражающих точек в 5 измерениях с помощью конструкции Витхоффа , представленной кольцами вокруг перестановок узлов на диаграмме Кокстера . Зеркальные гиперплоскости могут быть сгруппированы по цветным узлам, разделенным четными ветвями. Группы симметрии вида [a, b, b, a] обладают расширенной симметрией [[a, b, b, a]], как и [3,3,3,3], удваивая порядок симметрии. Равномерные многогранники в этой группе с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.

Если в данном однородном многограннике все зеркала данного цвета не закручены (неактивны), он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией, удалив все неактивные зеркала. Если все узлы данного цвета обведены (активны), операция чередования может сгенерировать новый 5-многогранник с хиральной симметрией, показанный как «пустые» обведенные узлы », но геометрия обычно не регулируется для создания однородных решений.

Соответствия диаграмм Кокстера между семействами и высшая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы в переписке не активны.

Фундаментальные семьи ^[2]

Символ группы	Приказ	Обозначение скобок	Подгруппа коммутатора	Число Кокстера (h)	Отражения м = 5/2 ч ^[3]
А ₅	720	[3,3,3,3]	[3,3,3,3] ⁺	6		15
D ₅	1920 г.	[3,3,3 ^1,1 ]	[3,3,3 ^1,1 ] ⁺	8		20
В ₅	3840	[4,3,3,3]	[3,3,3 ^1,1 ] ⁺	10	5	20

Однородные призмы

Существует 5 конечных категориальных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках . Существует одно бесконечное семейство 5-многогранников, основанное на призмах равномерных дуопризм {p} × {q} × {}.

Группа Коксетера	Приказ	Обозначение Кокстера	Подгруппа коммутатора	Размышления
А ₄ А ₁	120	[3,3,3,2] = [3,3,3] × []	[3,3,3] ⁺			10		1
D ₄ A ₁	384	[3 ^1,1,1 , 2] = [3 ^1,1,1 ] × []	[3 ^1,1,1 ] ⁺			12		1
В ₄ А ₁	768	[4,3,3,2] = [4,3,3] × []	[3 ^1,1,1 ] ⁺		4	12		1
F ₄ A ₁	2304	[3,4,3,2] = [3,4,3] × []	[3 ⁺ , 4,3 ⁺ ]		12	12		1
H ₄ A ₁	28800	[5,3,3,2] = [3,4,3] × []	[5,3,3] ⁺			60		1
Дуопризматический (используйте 2p и 2q для равнин)
I ₂ ( p ) I ₂ ( q ) A ₁	8 шт.	[p, 2, q, 2] = [p] × [q] × []	[p ⁺ , 2, q ⁺ ]		п	q		1
I ₂ (2 p ) I ₂ ( q ) A ₁	16 шт.	[2p, 2, q, 2] = [2p] × [q] × []		п	п	q		1
I ₂ (2 п. ) I ₂ (2 кв. ) A ₁	32 чел.	[2p, 2,2q, 2] = [2p] × [2q] × []		п	п	q	q	1

Однородные дуопризмы

Есть 3 категорного однородное duoprismatic семейства многогранников на основе декартовых произведений в равномерных многогранниках и правильных многоугольников : { д , г } × { р }.

Группа Коксетера	Приказ	Обозначение Кокстера	Подгруппа коммутатора	Размышления
Призматические группы (используйте 2p для четных)
A ₃I ₂ ( p )	48 п.	[3,3,2, p ] = [3,3] × [ p ]	[(3,3) ⁺ , 2, p ⁺ ]		6	п
A ₃I ₂ ( 2p )	96 с.	[3,3,2,2 p ] = [3,3] × [2 p ]			6	п	п
В ₃И ₂ ( р )	96 с.	[4,3,2, p ] = [4,3] × [ p ]		3	6	п
B ₃I ₂ ( 2р )	192 с.	[4,3,2,2 p ] = [4,3] × [2 p ]		3	6	п	п
H ₃I ₂ ( p )	240 с.	[5,3,2, p ] = [5,3] × [ p ]	[(5,3) ⁺ , 2, p ⁺ ]		15	п
H ₃I ₂ ( 2p )	480 с.	[5,3,2,2 p ] = [5,3] × [2 p ]	[(5,3) ⁺ , 2, p ⁺ ]		15	п	п

Перечисление выпуклых равномерных 5-многогранников [ править ]

Семейство симплексных : A ₅ [3 ⁴ ]
- 19 однородных 5-многогранников
Семейство Hypercube / Orthoplex : BC ₅ [4,3 ³ ]
- 31 равномерный 5-многогранник
Семейство Demihypercube D ₅ / E ₅ : [3 ^2,1,1 ]
- 23 однородных 5-многогранников (8 уникальных)
Призмы и дуопризмы:
- 56 однородных 5-многогранников (45 уникальных) построений на основе призматических семейств: [3,3,3] × [], [4,3,3] × [], [5,3,3] × [], [3 ^1,1,1 ] × [].
- Один не-Витоффиан. Большая антипризменная призма - единственный известный невыпуклый однородный 5-многогранник, не относящийся к Витоффу, состоящий из двух больших антипризм, соединенных многогранными призмами.

В результате получается: 19 + 31 + 8 + 45 + 1 = 104.

Дополнительно есть:

Бесконечно много равномерных 5-многогранников, построенных на основе призматических семейств дуопризм: [p] × [q] × [].
Бесконечно много равномерных 5-многогранников, построенных на основе дуопризматических семейств: [3,3] × [p], [4,3] × [p], [5,3] × [p].

Аналого ₅ семья [ править ]

Существует 19 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера с одним или несколькими кольцами. (16 + 4-1 ящика)

Они названы Норманом Джонсоном из операций по построению Wythoff на регулярном 5-симплексе (гексатероне).

5 семейство имеет симметрию порядка 720 (6 факториала ). 7 из 19 рисунков с симметрично окольцованными диаграммами Кокстера имеют двойную симметрию порядка 1440.

Координаты однородных 5-многогранников с 5-симплексной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 6-пространстве, все в гиперплоскостях с вектором нормали (1,1,1,1,1,1).

#	Базовая точка	Система имен Джонсона Имя Бауэрса и (аббревиатура) диаграмма Кокстера	количество элементов k-face					Фигура вершины	Подсчет фасетов по местоположению: [3,3,3,3]
#	Базовая точка		4	3	2	1	0	Фигура вершины	[3,3,3] (6)	[3,3,2] (15)	[3,2,3] (20)	[2,3,3] (15)	[3,3,3] (6)
1	(0,0,0,0,0,1) или (0,1,1,1,1,1)	5-симплексный гексатерон (hix)	6	15	20	15	6	{3,3,3}	(5) {3,3,3}	-	-	-	-
2	(0,0,0,0,1,1) или (0,0,1,1,1,1)	Ректифицированный 5-симплексный выпрямленный гексатерон (rix)	12	45	80	60	15	т {3,3} × {}	(4) г {3,3,3}	-	-	-	(2) {3,3,3}
3	(0,0,0,0,1,2) или (0,1,2,2,2,2)	Усеченный 5-симплексный усеченный гексатерон (tix)	12	45	80	75	30	Tetrah.pyr	(4) т {3,3,3}	-	-	-	(1) {3,3,3}
4	(0,0,0,1,1,2) или (0,1,1,2,2,2)	Скошенный 5-симплексный малый ромбовидный гексатерон (саркс)	27	135	290	240	60	призматический клин	(3) р-р {3,3,3}	-	-	(1) × {} × {3,3}	(1) г {3,3,3}
5	(0,0,0,1,2,2) или (0,0,1,2,2,2)	Bitruncated 5-симплексный bitruncated hexateron (bittix)	12	60	140	150	60		(3) 2т {3,3,3}	-	-	-	(2) т {3,3,3}
6	(0,0,0,1,2,3) или (0,1,2,3,3,3)	Укороченный 5-симплексный большой ромбовидный гексатерон (garx)	27	135	290	300	120		tr {3,3,3}	-	-	× {} × {3,3}	т {3,3,3}
7	(0,0,1,1,1,2) или (0,1,1,1,2,2)	Гексатерон гексатерон гексатерон гексатеронный (спикс) 5-симплексный	47	255	420	270	60		(2) t 0,3 {3,3,3}	-	(3) {3} × {3}	(3) × {} × r {3,3}	(1) г {3,3,3}
8	(0,0,1,1,2,3) или (0,1,2,2,3,3)	Усеченный 5-симплексный призматический гексатерон (pattix)	47	315	720	630	180		т 0,1,3 {3,3,3}	-	× {6} × {3}	× {} × г {3,3}	рр {3,3,3}
9	(0,0,1,2,2,3) или (0,1,1,2,3,3)	Гексатерон с гранулированной звездочкой 5-симплексной призмой (пиркс)	47	255	570	540	180		т 0,1,3 {3,3,3}	-	{3} × {3}	× {} × t {3,3}	2т {3,3,3}
10	(0,0,1,2,3,4) или (0,1,2,3,4,4)	Рунцикантитусеченный 5-симплексный большой призматический гексатерон (гиппикс)	47	315	810	900	360	Irr. 5-элементный	т 0,1,2,3 {3,3,3}	-	× {3} × {6}	× {} × t {3,3}	рр {3,3,3}
11	(0,1,1,1,2,3) или (0,1,2,2,2,3)	Стеритоусеченный 5-симплексный гексатерон с призматической структурой (cappix)	62	330	570	420	120		т {3,3,3}	× {} × t {3,3}	× {3} × {6}	× {} × {3,3}	т 0,3 {3,3,3}
12	(0,1,1,2,3,4) или (0,1,2,3,3,4)	Стерикантитусеченный 5-симплексный гексатерон или гомомбированный гексатерон (cograx)	62	480	1140	1080	360		tr {3,3,3}	× {} × tr {3,3}	× {3} × {6}	× {} × rr {3,3}	т 0,1,3 {3,3,3}

#	Базовая точка	Система имен Джонсона Имя Бауэрса и (аббревиатура) диаграмма Кокстера	количество элементов k-face					Фигура вершины	Подсчет фасетов по местоположению: [3,3,3,3]
#	Базовая точка		4	3	2	1	0	Фигура вершины	[3,3,3] (6)	[3,3,2] (15)	[3,2,3] (20)	[2,3,3] (15)	[3,3,3] (6)
13	(0,0,0,1,1,1)	Биректифицированный 5-симплексный додекатерон (точка)	12	60	120	90	20	{3} × {3}	(3) г {3,3,3}	-	-	-	(3) г {3,3,3}
14	(0,0,1,1,2,2)	Бикантеллированный 5-симплексный малый биомбированный додекатерон (сибрид)	32	180	420	360	90		(2) р-р {3,3,3}	-	(8) {3} × {3}	-	(2) р-р {3,3,3}
15	(0,0,1,2,3,3)	Бикантитусеченный 5-симплексный большой биомбированный додекатерон (гибрид)	32	180	420	450	180		tr {3,3,3}	-	{3} × {3}	-	tr {3,3,3}
16	(0,1,1,1,1,2)	Стерилизованный 5-симплексный додекатерон с малыми ячейками (scad)	62	180	210	120	30	Irr. 16 ячеек	(1) {3,3,3}	(4) × {} × {3,3}	(6) {3} × {3}	(4) × {} × {3,3}	(1) {3,3,3}
17	(0,1,1,2,2,3)	Простерикантеллированный 5-симплексный малая клетка, совмещенный додекатерон (карта)	62	420	900	720	180		рр {3,3,3}	× {} × rr {3,3}	{3} × {3}	× {} × rr {3,3}	рр {3,3,3}
18	(0,1,2,2,3,4)	Стерино-усеченная 5-симплексная клетка, призматотрезанный додекатерон (каптид)	62	450	1110	1080	360		т 0,1,3 {3,3,3}	× {} × t {3,3}	{6} × {6}	× {} × t {3,3}	т 0,1,3 {3,3,3}
19	(0,1,2,3,4,5)	Омнитусеченный 5-симплексный большой клеточный додекатерон (gocad)	62	540	1560	1800	720	Irr. {3,3,3}	(1) t 0,1,2,3 {3,3,3}	(1) × {} × tr {3,3}	(1) {6} × {6}	(1) × {} × tr {3,3}	(1) t 0,1,2,3 {3,3,3}

B ₅ семьи [ править ]

B 5 семейство имеет симметрию порядка 3840 (5! × 2 ⁵ ).

Это семейство имеет 2 ⁵ -1 = 31 однородных многогранников Витоффа, порожденных маркировкой одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера .

Для простоты он разделен на две подгруппы, в каждой по 12 форм, и 7 «средних» форм, которые в равной степени принадлежат обеим.

Семейство 5-кубов из 5-многогранников задается выпуклыми оболочками базовых точек, перечисленных в следующей таблице, со всеми перестановками координат и знаков. Каждая базовая точка порождает отдельный однородный 5-многогранник. Все координаты соответствуют однородным 5-многогранникам с длиной ребра 2.

#	Базовая точка	Название Диаграмма Кокстера	Количество элементов					Фигура вершины	Подсчет фасетов по местоположению: [4,3,3,3]
#	Базовая точка	Название Диаграмма Кокстера	4	3	2	1	0	Фигура вершины	[4,3,3] (10)	[4,3,2] (40)	[4,2,3] (80)	[2,3,3] (80)	[3,3,3] (32)
20	(0,0,0,0,1) √2	5-ортоплекс (так)	32	80	80	40	10	{3,3,4}	{3,3,3}	-	-	-	-
21 год	(0,0,0,1,1) √2	Ректифицированный 5-ортоплекс (крыса)	42	240	400	240	40	{} × {3,4}	{3,3,4}	-	-	-	г {3,3,3}
22	(0,0,0,1,2) √2	Усеченный 5-ортоплекс (tot)	42	240	400	280	80	(Octah.pyr)	т {3,3,3}	{3,3,3}	-	-	-
23	(0,0,1,1,1) √2	Биректифицированный 5-куб (нит) (Биректифицированный 5-ортоплекс)	42	280	640	480	80	{4} × {3}	г {3,3,4}	-	-	-	г {3,3,3}
24	(0,0,1,1,2) √2	Кантеллированный 5-ортоплекс (сарт)	82	640	1520	1200	240	Призматический клин	г {3,3,4}	{} × {3,4}	-	-	рр {3,3,3}
25	(0,0,1,2,2) √2	Bitruncated 5-ортоплекс (bittit)	42	280	720	720	240		т {3,3,4}	-	-	-	2т {3,3,3}
26 год	(0,0,1,2,3) √2	Cantitruncated 5-ортоплекс (gart)	82	640	1520	1440	480		рр {3,3,4}	{} × r {3,4}	{6} × {4}	-	т 0,1,3 {3,3,3}
27	(0,1,1,1,1) √2	Ректификованный 5-куб (рин)	42	200	400	320	80	{3,3} × {}	г {4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
28 год	(0,1,1,1,2) √2	Ранцинированный 5-ортоплекс (спат)	162	1200	2160	1440	320		г {4,3,3}	-	{3} × {4}		т 0,3 {3,3,3}
29	(0,1,1,2,2) √2	Бикантеллированный 5-куб (сибрант) (Бикантеллированный 5-ортоплекс)	122	840	2160	1920 г.	480		рр {4,3,3}	-	{4} × {3}	-	рр {3,3,3}
30	(0,1,1,2,3) √2	Runcitruncated 5-ортоплекс (pattit)	162	1440	3680	3360	960		рр {3,3,4}	{} × r {3,4}	{6} × {4}	-	т 0,1,3 {3,3,3}
31 год	(0,1,2,2,2) √2	Bitruncated 5-cube (загар)	42	280	720	800	320		2т {4,3,3}	-	-	-	т {3,3,3}
32	(0,1,2,2,3) √2	Runcicantellated 5-ортоплекс (пирт)	162	1200	2960	2880	960		{} × t {3,4}	2т {3,3,4}	{3} × {4}	-	т 0,1,3 {3,3,3}
33	(0,1,2,3,3) √2	Бикантитроусеченный 5-куб (гигрант) (Бикантитусеченный 5-ортоплекс)	122	840	2160	2400	960		рр {4,3,3}	-	{4} × {3}	-	рр {3,3,3}
34	(0,1,2,3,4) √2	Ранцикантитусеченный 5-ортоплекс (гиппит)	162	1440	4160	4800	1920 г.		tr {3,3,4}	{} × t {3,4}	{6} × {4}	-	т 0,1,2,3 {3,3,3}
35 год	(1,1,1,1,1)	5-куб (пент)	10	40	80	80	32	{3,3,3}	{4,3,3}	-	-	-	-
36	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,0,1) √2	Стерилизованный 5-кубик (скудный) (Стерилизованный 5-ортоплекс)	242	800	1040	640	160	Tetr.antiprm	{4,3,3}	{4,3} × {}	{4} × {3}	{} × {3,3}	{3,3,3}
37	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,1) √2	Бегущий 5-куб (пролет)	202	1240	2160	1440	320		т 0,3 {4,3,3}	-	{4} × {3}	{} × r {3,3}	{3,3,3}
38	(1,1,1,1,1) + (0,0,0,1,2) √2	Стеритоусеченный 5-ортоплекс (каппин)	242	1520	2880	2240	640		т _0,3 {3,3,4}	{} × {4,3}	-	-	т {3,3,3}
39	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,1) √2	Сквозной 5-куб (сирн)	122	680	1520	1280	320	Призматический клин	рр {4,3,3}	-	-	{} × {3,3}	г {3,3,3}
40	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,1,2) √2	Стерикантеллированный 5-куб (карнит) (Stericantellated 5-orthoplex)	242	2080 г.	4720	3840	960		рр {4,3,3}	rr {4,3} × {}	{4} × {3}	{} × rr {3,3}	рр {3,3,3}
41 год	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,2) √2	Runcicantellated 5-куб (прин)	202	1240	2960	2880	960		т 0,1,3 { 4,3,3 }	-	{4} × {3}	{} × t {3,3}	2т {3,3,3}
42	(1,1,1,1,1) + (0,0,1,2,3) √2	Стерикантитусеченный 5-ортоплекс (когарт)	242	2320	5920	5760	1920 г.		{} × rr {3,4}	т 0,1,3 {3,3,4}	{6} × {4}	{} × t {3,3}	tr {3,3,3}
43 год	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,1) √2	Усеченный 5-куб (загар)	42	200	400	400	160	Tetrah.pyr	т {4,3,3}	-	-	-	{3,3,3}
44 год	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,1,2) √2	Стеритоусеченный 5-кубик (capt)	242	1600	2960	2240	640		т {4,3,3}	т {4,3} × {}	{8} × {3}	{} × {3,3}	т 0,3 {3,3,3}
45	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,2) √2	Беги усеченный 5-кубик (паттин)	202	1560	3760	3360	960		т 0,1,3 { 4,3,3 }	{} × t {4,3}	{6} × {8}	{} × t {3,3}	t _0,1,3 {3,3,3}]]
46	(1,1,1,1,1) + (0,1,1,2,3) √2	Стерино-усеченный 5-куб (каптинт) (Стериро-усеченный 5-ортоплекс)	242	2160	5760	5760	1920 г.		т 0,1,3 { 4,3,3 }	т {4,3} × {}	{8} × {6}	{} × t {3,3}	т 0,1,3 {3,3,3}
47	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,2) √2	Укороченный 5-куб (гирн)	122	680	1520	1600	640		tr {4,3,3}	-	-	{} × {3,3}	т {3,3,3}
48	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,2,3) √2	Стериканитусеченный 5-кубик (когрин)	242	2400	6000	5760	1920 г.		tr {4,3,3}	tr {4,3} × {}	{8} × {3}	{} × t 0,2 {3,3}	т 0,1,3 {3,3,3}
49	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,3) √2	Рунический усеченный 5-кубик (гиппин)	202	1560	4240	4800	1920 г.		т 0,1,2,3 { 4,3,3 }	-	{8} × {3}	{} × t {3,3}	tr {3,3,3}
50	(1,1,1,1,1) + (0,1,2,3,4) √2	Омнитусеченный 5-куб (gacnet) (полностью усеченный 5-ортоплекс)	242	2640	8160	9600	3840	Irr. {3,3,3}	tr {4,3} × {}	tr {4,3} × {}	{8} × {6}	{} × tr {3,3}	т 0,1,2,3 {3,3,3}

D ₅ семьи [ править ]

D 5 семейство имеет симметрию порядка 1920 (5! Х 2 ⁴ ).

Это семейство состоит из 23 однородных многогранников Витоффа из 3x8-1 перестановок диаграммы Кокстера D ₅ с одним или несколькими кольцами. 15 (2x8-1) повторяются из семейства B _5, а 8 являются уникальными для этого семейства.

#	Диаграмма Кокстера Символы символа Шлефли имена Джонсона и Бауэрса	Количество элементов					Фигура вершины	Фасеты по местоположению: [3 ^1,2,1 ]
#		4	3	2	1	0	Фигура вершины	[3,3,3] (16)	[3 ^1,1,1 ] (10)	[3,3] × [] (40)	[] × [3] × [] (80)	[3,3,3] (16)
51	знак равно h {4,3,3,3}, 5-полукубовый полуфабрикат (hin)	26 год	120	160	80	16	т 1 {3,3,3}	{3,3,3}	т ₀ (1 ₁₁ )	-	-	-
52	знак равно h ₂ {4,3,3,3}, кантик 5-куб. Усеченный гемипентеракт (тонкий)	42	280	640	560	160
53	знак равно h ₃ {4,3,3,3}, рунский 5-куб. Малый ромбовидный гемипентракт (сирхин)	42	360	880	720	160
54	знак равно h ₄ {4,3,3,3}, стерический 5-кубический малый призматический полуобъектив (сифин)	82	480	720	400	80
55	знак равно h _2,3 {4,3,3,3}, рунический 5-кубический большой ромбовидный гемипентракт (гирхин)	42	360	1040	1200	480
56	знак равно h _2,4 {4,3,3,3}, стерический 5-кубический призматоусеченный гемипентеракт (питин)	82	720	1840 г.	1680	480
57	знак равно h _3,4 {4,3,3,3}, стеринный 5-кубический призматический гемипентеракт (пирхин)	82	560	1280	1120	320
58	знак равно h _2,3,4 {4,3,3,3}, стерилизующий 5-кубический большой призматический гемипентеракт (гипин)	82	720	2080 г.	2400	960

Однородные призматические формы [ править ]

Существует 5 конечных категориальных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках :

A ₄ × A ₁[ править ]

Это призматическое семейство состоит из 9 форм :

1 х А 4 семейство имеет симметрию порядка 240 (2 * 5!).

#	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя	Грани	Клетки	Лица	Края	Вершины
59	= {3,3,3} × {} 5-элементная призма	7	20	30	25	10
60	= r {3,3,3} × {} Выпрямленная 5-элементная призма	12	50	90	70	20
61	= t {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма	12	50	100	100	40
62	= rr {3,3,3} × {} Сквозная 5-элементная призма	22	120	250	210	60
63	= t _0,3 {3,3,3} × {} Плоская 5-элементная призма	32	130	200	140	40
64	= 2t {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма	12	60	140	150	60
65	= tr {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма	22	120	280	300	120
66	= t _0,1,3 {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма	32	180	390	360	120
67	= t _0,1,2,3 {3,3,3} × {} Усеченная 5-элементная призма	32	210	540	600	240

B ₄ × A ₁[ править ]

Это призматическое семейство насчитывает 16 форм . (Три из них делятся с семьей [3,4,3] × [])

1 × B 4 семейство имеет симметрию порядка 768 (2 ⁵ 4!).

#	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя	Грани	Клетки	Лица	Края	Вершины
[16]	= {4,3,3} × {} Тессерактическая призма (То же, что и 5-куб )	10	40	80	80	32
68	= r {4,3,3} × {} Выпрямленная тессерактическая призма	26 год	136	272	224	64
69	= t {4,3,3} × {} Усеченная тессератическая призма	26 год	136	304	320	128
70	= rr {4,3,3} × {} Скошенная тессерактическая призма	58	360	784	672	192
71	= t _0,3 {4,3,3} × {} Свернутая тессерактическая призма	82	368	608	448	128
72	= 2t {4,3,3} × {} Усеченная тессерактическая призма	26 год	168	432	480	192
73	= tr {4,3,3} × {} Углово-усеченная тессератическая призма	58	360	880	960	384
74	= t _0,1,3 { _4,3,3 } × {} Усеченная тессерактическая призма	82	528	1216	1152	384
75	= t _0,1,2,3 { _4,3,3 } × {} Усеченная тессерактическая призма	82	624	1696	1920 г.	768
76	= {3,3,4} × {} 16-элементная призма	18	64	88	56	16
77	= r {3,3,4} × {} Выпрямленная 16-элементная призма (такая же, как 24-элементная призма )	26 год	144	288	216	48
78	= t {3,3,4} × {} Усеченная призма с 16 ячейками	26 год	144	312	288	96
79	= rr {3,3,4} × {} Скошенная 16-элементная призма ( такая же, как выпрямленная 24-элементная призма )	50	336	768	672	192
80	= tr {3,3,4} × {} Усеченная 16-элементная призма (То же, что и усеченная 24-элементная призма )	50	336	864	960	384
81 год	= t _0,1,3 {3,3,4} × {} Усеченная призма с 16 ячейками	82	528	1216	1152	384
82	= sr {3,3,4} × {} плоскодонная 24-элементная призма	146	768	1392	960	192

F ₄ × A ₁[ править ]

Это призматическое семейство состоит из 10 форм .

1 х Р 4 семейство имеет симметрию порядка 2304 (2 * 1152). Три многогранника 85, 86 и 89 (зеленый фон) имеют двойную симметрию [[3,4,3], 2], порядок 4608. Последний, плоскодонная 24-элементная призма (синий фон) имеет [3 ⁺ , 4, 3,2] симметрии порядка 1152.

#	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя	Грани	Клетки	Лица	Края	Вершины
[77]	= {3,4,3} × {} 24-элементная призма	26 год	144	288	216	48
[79]	= r {3,4,3} × {} выпрямленная 24-элементная призма	50	336	768	672	192
[80]	= t {3,4,3} × {} усеченная призма с 24 ячейками	50	336	864	960	384
83	= rr {3,4,3} × {} наклонная 24-элементная призма	146	1008	2304	2016 г.	576
84	= t _0,3 {3,4,3} × {} призма с 24 ячейками	242	1152	1920 г.	1296	288
85	= 2t {3,4,3} × {} 24-элементная призма с усеченным битом	50	432	1248	1440	576
86	= tr {3,4,3} × {} усеченная 24-элементная призма	146	1008	2592	2880	1152
87	= t _0,1,3 {3,4,3} × {} усеченная 24-элементная призма	242	1584	3648	3456	1152
88	= t _0,1,2,3 {3,4,3} × {} полностью усеченная призма с 24 ячейками	242	1872 г.	5088	5760	2304
[82]	= s {3,4,3} × {} плоскодонная 24-элементная призма	146	768	1392	960	192

H ₄ × A ₁[ редактировать ]

Это призматическое семейство насчитывает 15 форм :

1 х 4 семейство имеет симметрию порядка 28800 (2 * 14400).

#	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя	Количество элементов
#	Диаграмма Кокстера и символы Шлефли Имя	Грани	Клетки	Лица	Края	Вершины
89	= {5,3,3} × {} 120-элементная призма	122	960	2640	3000	1200
90	= r {5,3,3} × {} Выпрямленная 120-элементная призма	722	4560	9840	8400	2400
91	= t {5,3,3} × {} Усеченная призма из 120 ячеек	722	4560	11040	12000	4800
92	= rr {5,3,3} × {} Скошенная призма из 120 ячеек	1922 г.	12960	29040	25200	7200
93	= t _0,3 {5,3,3} × {} Спиральная призма из 120 клеток	2642	12720	22080	16800	4800
94	= 2t {5,3,3} × {} Усеченная 120-элементная призма	722	5760	15840	18000	7200
95	= tr {5,3,3} × {} усеченная призма из 120 ячеек	1922 г.	12960	32640	36000	14400
96	= t _0,1,3 {5,3,3} × {} Усеченная призма из 120 ячеек	2642	18720	44880	43200	14400
97	= t _0,1,2,3 {5,3,3} × {} Усеченная 120-элементная призма	2642	22320	62880	72000	28800
98	= {3,3,5} × {} призма на 600 ячеек	602	2400	3120	1560	240
99	= r {3,3,5} × {} Выпрямленная призма на 600 ячеек	722	5040	10800	7920	1440
100	= t {3,3,5} × {} Усеченная призма на 600 ячеек	722	5040	11520	10080	2880
101	= rr {3,3,5} × {} Скошенная призма на 600 ячеек	1442	11520	28080	25200	7200
102	= tr {3,3,5} × {} Усеченная призма с 600 ячейками	1442	11520	31680	36000	14400
103	= t _0,1,3 {3,3,5} × {} Усеченная призма с 600 ячейками	2642	18720	44880	43200	14400

Большая призма антипризмы [ править ]

Большая призма антипризмы является единственным известным выпуклым невитоффовским однородным 5-многогранником. Он имеет 200 вершин, 1100 ребер, 1940 граней (40 пятиугольников, 500 квадратов, 1400 треугольников), 1360 ячеек (600 тетраэдров , 40 пятиугольных антипризм , 700 треугольных призм , 20 пятиугольных призм ) и 322 гиперячейки (2 большие антипризмы , 20 пятиугольных призм ). призмы антипризмы и 300 тетраэдрических призм ).

#	Имя	Количество элементов
#	Имя	Грани	Клетки	Лица	Края	Вершины
104	большая антипризменная призма Gappip	322	1360	1940 г.	1100	200

Замечания о конструкции Витхоффа для равномерных 5-многогранников [ править ]

Построение отражающих 5-мерных однородных многогранников выполняется с помощью процесса построения Wythoff и представляется через диаграмму Кокстера , где каждый узел представляет собой зеркало. Узлы обведены кружком, чтобы обозначить, какие зеркала активны. Сгенерированный полный набор однородных многогранников основан на уникальных перестановках кольцевых узлов. Равномерные 5-многогранники называются по отношению к правильным многогранникам в каждом семействе. У некоторых семейств есть два обычных конструктора, поэтому их можно назвать двумя способами.

Вот основные операторы, доступные для построения и наименования однородных 5-многогранников.

Последняя операция, пренебрежение и, в более общем смысле, чередование - это операция, которая может создавать неотражающие формы. Они нарисованы «полыми кольцами» в узлах.

Призматические формы и бифуркационные графы могут использовать ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.

Операция	Расширенный символ Шлефли		Описание
Родитель	t ₀ {p, q, r, s}	{p, q, r, s}	Любой правильный 5-многогранник
Исправленный	t ₁ {p, q, r, s}	г {р, д, г, с}	Края полностью обрезаются на отдельные точки. 5-многогранник теперь имеет комбинированные грани родительского и двойственного.
Биректифицированный	t ₂ {p, q, r, s}	2r {p, q, r, s}	Биректификация превращает лица в точки, клетки - в их двойники .
Триректифицированный	t ₃ {p, q, r, s}	3r {p, q, r, s}	Триректификация сводит клетки к точкам. (Двойное выпрямление)
Квадриректифицированный	t ₄ {p, q, r, s}	4r {p, q, r, s}	Квадриректификация сводит 4 лица к точкам. (Двойной)
Усеченный	t _0,1 {p, q, r, s}	т {р, д, г, с}	Каждая исходная вершина обрезается, и пробел заполняется новой гранью. У усечения есть степень свободы, которая имеет одно решение, которое создает однородный усеченный 5-многогранник. 5-многогранник имеет свои исходные грани, удвоенные по сторонам, и содержит грани двойственного.
Собранный	t _0,2 {p, q, r, s}	rr {p, q, r, s}	В дополнение к усечению вершин, каждое исходное ребро скошено, и на их месте появляются новые прямоугольные грани.
Runcinated	t _0,3 {p, q, r, s}		Runcination уменьшает ячейки и создает новые ячейки на вершинах и краях.
Стерилизованный	t _0,4 {p, q, r, s}	2r2r {p, q, r, s}	Стерилизация уменьшает грани и создает новые грани (гиперячейки) на вершинах и ребрах в зазорах. (То же, что и операция расширения для 5-многогранников.)
Усеченный	т _0,1,2,3,4 {p, q, r, s}		Применяются все четыре оператора: усечение, кантелляция, ранцинирование и стерилизация.
Половина	h {2p, 3, q, r}		Чередование , как
Кантик	h ₂ {2p, 3, q, r}		Такой же как
Runcic	h ₃ {2p, 3, q, r}		Такой же как
Runcicantic	h _2,3 {2p, 3, q, r}		Такой же как
Стерический	h ₄ {2p, 3, q, r}		Такой же как
Рунцистерический	h _3,4 {2p, 3, q, r}		Такой же как
Стерикантный	h _2,4 {2p, 3, q, r}		Такой же как
Стерильность	h _2,3,4 {2p, 3, q, r}		Такой же как
Курносый	s {p, 2q, r, s}		Альтернативное усечение
Курносый исправленный	sr {p, q, 2r, s}		Переменное усеченное выпрямление
	ht _0,1,2,3 {p, q, r, s}		Чередование runcicantitruncation
Полный пренебрежение	ht _0,1,2,3,4 {p, q, r, s}		Альтернативное омнитусечение

Обычные и однородные соты [ править ]

Соответствия диаграмм Кокстера между семействами и высшая симметрия внутри диаграмм. Узлы одного цвета в каждом ряду представляют собой одинаковые зеркала. Черные узлы в переписке не активны.

Есть пять фундаментальных аффинных групп Кокстера и 13 призматических групп, которые порождают регулярные и однородные мозаики в евклидовом 4-пространстве. ^[4]^[5]

Фундаментальные группы
#	Группа Коксетера			Диаграмма Кокстера	Формы
1	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$	[3 ^[5] ]	[(3,3,3,3,3)]		7
2	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {4}}$	[4,3,3,4]			19
3	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {4}}$	[4,3,3 ^1,1 ]	[4,3,3,4,1 ⁺ ]	знак равно	23 (8 новых)
4	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$	[3 ^1,1,1,1 ]	[1 ⁺ , 4,3,3,4,1 ⁺ ]	знак равно	9 (0 новых)
5	${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$	[3,4,3,3]			31 (21 новых)

Есть три правильных соты евклидова 4-мерного пространства:

тессератические соты с символами {4,3,3,4}, знак равно . В этом семействе 19 однородных сот.
24-элементный сотовый , с символами {3,4,3,3},. В этом семействе 31 отражающий однородный сот и одна чередующаяся форма.
- Усеченные 24- ячеечные соты с символами t {3,4,3,3},
- Сотовый элемент из 24 ячеек с символами s {3,4,3,3}, и состоит из четырех плоскодонных 24-ячеек , одной 16- ячеечной и пяти 5-ячеек в каждой вершине.
16- ячеечные соты с символами {3,3,4,3},

Другие семейства, образующие однородные соты:

Всего насчитывается 23 однозначно окольцованных формы, 8 новых в семействе 16-ячеечных сот . С символами h {4,3 ² , 4} он геометрически идентичен 16-ячеечной соте , знак равно
Есть 7 уникально окольцованных форм из , ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {4}}$ семья, все новое, в том числе:
- 4-х симплексные соты
- Усеченные 4-симплексные соты
- Омнитусеченные 4-симплексные соты
Есть 9 однозначно окольцованных форм в : [3 ^1,1,1,1 ] ${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {4}}$ семья, две новые, в том числе четверть тессерактическая сотовая , знак равно , и усеченные тессерактические соты , знак равно .

Невитофианские однородные мозаики в четырехмерном пространстве также существуют за счет удлинения (вставка слоев) и вращения (вращение слоев) из этих отражающих форм.

Призматические группы
#	Группа Коксетера
1	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {3}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3,4,2, ∞]
2	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {3}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,3 ^1,1 , 2, ∞]
3	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {3}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 ^[4] , 2, ∞]
4	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ {2}}$ × х ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[4,4,2, ∞, 2, ∞]
5	${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {2}}$ × х ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[6,3,2, ∞, 2, ∞]
6	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ × х ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[3 ^[3] , 2, ∞, 2, ∞]
7	${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ × х х ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[∞, 2, ∞, 2, ∞, 2, ∞]
8	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ Икс ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[3 ^[3] , 2,3 ^[3] ]
9	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[3 ^[3] , 2,4,4]
10	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[3 ^[3] , 2,6,3]
11	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[4,4,2,4,4]
12	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[4,4,2,6,3]
13	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[6,3,2,6,3]

Компактные регулярные мозаики гиперболического 4-мерного пространства [ править ]

В пространстве H ⁴ есть пять видов выпуклых регулярных сот и четыре типа сот в форме звезды : ^[6]

Имя соты	Символ Шлефли {p, q, r, s}	Тип фасета {p, q, r}	Тип ячейки {p, q}	Тип лица {p}	Фигура (а) лица	Края фигура {r, s}	Фигура вершины {q, r, s}	Двойной
Заказ-5 5-элементный	{3,3,3,5}	{3,3,3}	{3,3}	{3}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,3}
Заказ-3 120-ячеечный	{5,3,3,3}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{3}	{3,3}	{3,3,3}	{3,3,3,5}
Тессерактика порядка-5	{4,3,3,5}	{4,3,3}	{4,3}	{4}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	{5,3,3,4}
Заказ-4 120-ячеечный	{5,3,3,4}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{4}	{3,4}	{3,3,4}	{4,3,3,5}
Заказ-5 120-ячеечный	{5,3,3,5}	{5,3,3}	{5,3}	{5}	{5}	{3,5}	{3,3,5}	Самодвойственный

В пространстве H ⁴ есть четыре правильных звезды-соты :

Имя соты	Символ Шлефли {p, q, r, s}	Тип фасета {p, q, r}	Тип ячейки {p, q}	Тип лица {p}	Фигура (а) лица	Края фигура {r, s}	Фигура вершины {q, r, s}	Двойной
Заказ-3 малые звездчатые 120-ячеечные	{5 / 2,5,3,3}	{5 / 2,5,3}	{5 / 2,5}	{5}	{5}	{3,3}	{5,3,3}	{3,3,5,5 / 2}
Заказ-5/2 600 ячеек	{3,3,5,5 / 2}	{3,3,5}	{3,3}	{3}	{5/2}	{5,5 / 2}	{3,5,5 / 2}	{5 / 2,5,3,3}
Икосаэдрический 120-элементный заказ-5	{3,5,5 / 2,5}	{3,5,5 / 2}	{3,5}	{3}	{5}	{5 / 2,5}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2,5,3}
Орден-3 большой 120-элементный	{5,5 / 2,5,3}	{5,5 / 2,5}	{5,5 / 2}	{5}	{3}	{5,3}	{5 / 2,5,3}	{3,5,5 / 2,5}

Регулярные и однородные гиперболические соты [ править ]

Существует 5 компактных гиперболических групп Кокстера ранга 5, каждая из которых порождает однородные соты в гиперболическом 4-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера. Есть также 9 паракомпактных гиперболических групп Кокстера ранга 5 , каждая из которых порождает однородные соты в 4-пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера. Паракомпактные группы образуют соты с бесконечными гранями или фигурами вершин .

Компактные гиперболические группы
${\ displaystyle {\ widehat {AF}} _ {4}}$ = [(3,3,3,3,4)]:	${\bar {DH}}_{4}$ = [5,3,3 ^1,1 ]:	${\bar {H}}_{4}$ = [3,3,3,5]: ${\bar {BH}}_{4}$ = [4,3,3,5]: ${\bar {K}}_{4}$ = [5,3,3,5]:

Паракомпактные гиперболические группы
${\bar {P}}_{4}$ = [3,3 ^[4] ]: ${\bar {BP}}_{4}$ = [4,3 ^[4] ]: ${\bar {FR}}_{4}$ = [(3,3,4,3,4)]: ${\bar {DP}}_{4}$ = [3 ^{[3] × []} ]:	${\bar {N}}_{4}$ = [4, / 3 \, 3,4]: ${\bar {O}}_{4}$ = [3,4,3 ^1,1 ]: ${\bar {S}}_{4}$ = [4,3 ^2,1 ]: ${\bar {M}}_{4}$ = [4,3 ^1,1,1 ]:	${\bar {R}}_{4}$ = [3,4,3,4]:

Заметки [ править ]

^ Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
^ Регулярные и полурегулярные многогранники III, стр. 315 Три конечные группы 5-мерности
^ Косетер , регулярные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12,61
^ Регулярные многогранники, p.297. Таблица IV, Фундаментальные области для неприводимых групп, порожденных отражениями.
^ Правильные и полуправильные многогранники, II, стр. 298-302. Четырехмерные соты.
^ Кокстер, Красота геометрии: Двенадцать эссе, Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы IV p213

Ссылки [ править ]

Т. Госсет : О правильных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Macmillan, 1900 (3 правильных и один полуправильный 4-многогранник)
А. Буль Стотт : Геометрическая дедукция полуправильных из правильных многогранников и заполнения пространства , Верханделинген из академии Koninklijke van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910
HSM Coxeter :
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973 (стр. 297 Фундаментальные области для неприводимых групп, порожденных отражениями, сферическими и евклидовыми)
- HSM Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays (Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы IV, стр. 213)
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Документ 23) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (стр. 287 5D Евклидовы группы, стр. 298 Четырехмерные соты)
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Джеймс Э. Хамфрис, Группы отражения и группы Кокстера , Кембриджские исследования по высшей математике, 29 (1990) (стр. 141, 6.9 Список гиперболических групп Кокстера, рис. 2) [2]

Внешние ссылки [ править ]

Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (многогранники)» .

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и равномерные многогранники размерностей 2–10
Семья	А п	B n	I ₂ (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-угольник	Шестиугольник	Пентагон
Равномерный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный 4-многогранник	5-элементный	16 ячеек • Тессеракт	Demitesseract	24-элементный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб.	5-полукуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб.	6-полукуб	1 22 • 2 21
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-полукруглый	1 32 • 2 31 • 3 21
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-полукруглый	1 42 • 2 41 • 4 21
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-полукруглый
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-полукуб
Равномерное n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - demicube	1 к2 • 2 к1 • к 21	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\tilde {E}}_{n-1}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ ₉	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 ^[10] }	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21

[1] Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900

[2] Регулярные и полурегулярные многогранники III, стр. 315 Три конечные группы 5-мерности

[3] Косетер , регулярные многогранники , §12.6 Число отражений, уравнение 12,61

[4] Регулярные многогранники, p.297. Таблица IV, Фундаментальные области для неприводимых групп, порожденных отражениями.

[5] Правильные и полуправильные многогранники, II, стр. 298-302. Четырехмерные соты.

[6] Кокстер, Красота геометрии: Двенадцать эссе, Глава 10: Регулярные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы IV p213