Гребень Дирака

Гребень Дирака - это бесконечная серия дельта-функций Дирака, расположенных на интервалах T

В математике , А гребенки Дирака (также известные как импульсные и функция выборки в области электротехники ) являются периодическим закаленным распределением ^{[1] [2]} построено из дельта - функций Дирака

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)\ \triangleq \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \left({\frac {t}{T}}\right)}$

в течение некоторого заданного периода Т . Символ , в котором точка опущена, представляет гребенку Дирака с единичным периодом. Некоторые авторы, особенно Брейсвелл , а также некоторые авторы учебников по электротехнике и теории цепей, называют ее функцией Шаха (возможно, потому, что ее график напоминает кириллическую букву sha Ø). Поскольку гребенчатая функция Дирака является периодической, ее можно представить в виде ряда Фурье :${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (t)}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$

Гребневая функция Дирака позволяет представить как непрерывные, так и дискретные явления, такие как дискретизация и наложение спектров, в единой структуре непрерывного анализа Фурье на распределениях Шварца, без какой-либо ссылки на ряды Фурье. Благодаря формуле суммирования Пуассона при обработке сигналов гребенка Дирака позволяет моделировать выборку путем умножения на нее, но также позволяет моделировать периодизацию путем свертки с ней. ^[3]

Тождество Дирака и гребня [ править ]

Гребень Дирака может быть сконструирован двумя способами: либо с помощью оператора гребня (выполнение выборки ), применяемого к функции, которая выполняется постоянно , либо, в качестве альтернативы, с помощью оператора rep (выполнения периодизации ), применяемого к дельте Дирака . Формально это дает ( Woodward 1953 ; Brandwood 2003 )${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{1\}=\operatorname {\text{Ш}} _{T}=\operatorname {rep} _{T}\{\delta \},}$

куда

${\displaystyle \operatorname {comb} _{T}\{f(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,f(kT)\,\delta (t-kT)}$   и   ${\displaystyle \operatorname {rep} _{T}\{g(t)\}\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\,g(t-kT).}$

В обработке сигналов , это свойство с одной стороны , позволяет дискретизации функцию путем умножения с , а с другой стороны , она также позволяет периодизацию из путем свертки с ( Bracewell 1986 ). Тождество гребешка Дирака является частным случаем теоремы о свертке для умеренных распределений.${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

Масштабирование [ править ]

Свойство масштабирования гребенки Дирака следует из свойств дельта-функции Дирака . Поскольку ^[4] для положительных действительных чисел , отсюда следует, что:${\displaystyle \delta (t)={\frac {1}{a}}\delta \left({\frac {t}{a}}\right)}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} \left({\frac {t}{T}}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{aT}\left(t\right)={\frac {1}{aT}}\operatorname {\text{Ш}} \left({\frac {t}{aT}}\right)={\frac {1}{a}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}\left({\frac {t}{a}}\right).}$

Обратите внимание, что требование положительных масштабных чисел вместо отрицательных не является ограничением, потому что отрицательный знак только изменит порядок суммирования внутри , что не влияет на результат.${\displaystyle a}$${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}}$

Ряд Фурье [ править ]

Понятно, что периодичен с периодом . То есть,${\displaystyle \ \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t+T)=\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)}$

для всех т . Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции есть

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}},}$

где коэффициенты Фурье (символически)

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}\delta (t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\\&={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n{\frac {0}{T}}}\\&={\frac {1}{T}}.\end{aligned}}}$

Все коэффициенты Фурье равны 1 / T, что дает

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi n{\frac {t}{T}}}.}$

Когда период равен одной единице, это упрощается до

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nx}.}$

Замечание : строго говоря, интегрирование Римана или Лебега по любым произведениям, включая дельта-функцию Дирака, дает ноль. По этой причине приведенное выше интегрирование (определение коэффициентов ряда Фурье) следует понимать «в смысле обобщенных функций». Это означает, что вместо использования характеристической функции интервала, примененной к гребенке Дирака, в качестве функции вырезания используется так называемая унитарная функция Лайтхилла , подробности см. Лайтхилл 1958 , стр.62, теорема 22.

Преобразование Фурье [ править ]

Преобразование Фурье гребенки Дирака также является гребенкой Дирака. Это очевидно, если учесть, что все компоненты Фурье конструктивно складываются всякий раз, когда целое число кратно .${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {1}{T}}}$

Унитарное преобразование в обычную частотную область (Гц):

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}.}$

Примечательно, что гребенка Дирака с единичным периодом преобразуется сама в себя:

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} (t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\operatorname {\text{Ш}} (f).}$

Конкретное правило зависит от формы используемого преобразования Фурье. При использовании унитарного преобразования угловой частоты (радиан / с) правило

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}{\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {2\pi }{T}}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}.}$

Выборка и псевдоним [ править ]

Умножение любой функции на гребенку Дирака превращает ее в последовательность импульсов с интегралами, равными значению функции в узлах гребенки. Эта операция часто используется для представления выборки.

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{T}x)(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(kT)\delta (t-kT).}$

Благодаря свойству самопреобразования гребенки Дирака и теореме о свертке , это соответствует свертке с гребенкой Дирака в частотной области.

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{T}x\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X}$

Поскольку свертка с дельта-функцией эквивалентна сдвигу функции на , свертка с гребенкой Дирака соответствует репликации или периодическому суммированию :${\displaystyle \delta (t-kT)}$${\displaystyle kT}$

${\displaystyle (\operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{T}}*X)(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right)}$

Это приводит к естественной формулировке теоремы выборки Найквиста – Шеннона . Если спектр функции не содержит частот выше B (т. Е. Его спектр отличен от нуля только в интервале ), то выборок исходной функции через интервалы достаточно для восстановления исходного сигнала. Достаточно умножить спектр дискретизированной функции на подходящую функцию прямоугольника , что эквивалентно применению кирпичного фильтра нижних частот .${\displaystyle x}$${\displaystyle (-B,B)}$${\displaystyle 1/2B}$

${\displaystyle \operatorname {\text{Ш}} _{\frac {1}{2B}}x\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad 2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{2B}*X}$

${\displaystyle {\frac {1}{2B}}\Pi \left({\frac {t}{2B}}\right)(2B\,\operatorname {\text{Ш}} _{2B}*X)=X}$

Во временной области это «умножение на функцию rect» эквивалентно «свертке с функцией sinc» ( Woodward 1953 , стр.33-34). Следовательно, он восстанавливает исходную функцию из своих образцов. Это известно как интерполяционная формула Уиттекера – Шеннона .

Замечание : Строго говоря, умножение прямой функции на обобщенную функцию, такую ​​как гребешок Дирака, не удается. Это происходит из-за неопределенных результатов произведения умножения на границах интервала. В качестве обходного пути вместо функции rect используется унитарная функция Lighthill. Он гладкий на границах интервалов, следовательно, он дает определенные произведения умножения всюду, см. Lighthill 1958 , стр.62, теорема 22 для подробностей.

Использование в направленной статистике [ править ]

В направленной статистике , Дирака гребенчатый периода 2 П эквивалентно обернутой дельта - функции Дирака и является аналогом дельта - функции Дирака в линейных статистик.

В линейной статистике случайная величина ( x ) обычно распределяется по линии действительных чисел или некоторому ее подмножеству, а плотность вероятности x - это функция, область определения которой является набором действительных чисел, а интеграл от до равен единице. . В направленной статистике случайная величина (θ) распределена по единичной окружности, а плотность вероятности θ - это функция, область определения которой представляет собой некоторый интервал действительных чисел длиной 2π, а интеграл по этому интервалу равен единице. Подобно тому, как интеграл произведения дельта-функции Дирака на произвольную функцию по прямой с действительными числами дает значение этой функции в нуле, так и интеграл от произведения гребенки Дирака периода 2 π${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$с произвольной функцией периода 2 π по единичной окружности дает значение этой функции в нуле.

См. Также [ править ]

• Частотная гребенка
• Формула суммирования Пуассона

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Брандвуд, Д. (2003), Преобразования Фурье в радиолокации и обработке сигналов , Artech House, Бостон, Лондон.
• Кордова, A (1989), "Dirac combs", Letters in Mathematical Physics , 17 (3): 191–196, Bibcode : 1989LMaPh..17..191C , doi : 10.1007 / BF00401584
• Вудворд, PM (1953), Теория вероятностей и информации, с приложениями к радарам , Pergamon Press, Оксфорд, Лондон, Эдинбург, Нью-Йорк, Париж, Франкфурт.
• Лайтхилл, MJ (1958), Введение в анализ Фурье и обобщенные функции , Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания.