Матрица экспоненциальная

В математике матричная экспонента представляет собой матричную функцию на квадратных матрицах, аналогичную обычной экспоненциальной функции . Он используется для решения систем линейных дифференциальных уравнений. В теории групп Ли матричная экспонента дает связь между матричной алгеброй Ли и соответствующей группой Ли .

Пусть $X$ - вещественная или комплексная матрица размера $n \times n$ . Экспонента $X$ , обозначаемая $e$ $X$ или $exp($ $X$ $)$ , представляет собой матрицу размера $n$ $\times$ $n$ , заданную степенным рядом

где определяется как единичная матрица с теми же размерностями, что и . ^[1] ${\ Displaystyle Х ^ {0}}$ ${\ Displaystyle я}$ ${\ Displaystyle Х}$

Приведенный выше ряд всегда сходится, поэтому экспонента $X$ определена корректно. Если $X$ является матрицей 1 × 1, матричная экспонента $X$ является матрицей 1 × 1, единственный элемент которой является обычной экспонентой единственного элемента $X$ .

Пусть $X$ и $Y$ — комплексные матрицы размера $n \times n , а$ $a$ и $b$ — произвольные комплексные числа. Обозначим единичную матрицу размера $n \times n$ через $I$ , а нулевую матрицу — через 0. Матричная экспонента обладает следующими свойствами. ^[2]

Доказательство этого тождества такое же, как стандартный аргумент степенного ряда для соответствующего тождества для экспоненты действительных чисел. Другими словами, до тех пор, пока и коммутируют ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle Y}$ , для аргумента не имеет значения, являются ли и числами или матрицами. Важно отметить, что это тождество обычно не выполняется, если и не коммутируют (см . Ниже неравенство Голдена-Томпсона ). ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle Y}$