В теории матриц , формула Сильвестра или теорема Сильвестра матрицы (названный в честь JJ Сильвестра ) или Лагранжа-Сильвестра интерполяция выражает аналитическую функцию F ( A ) в виде матрицы A в виде многочлена А , в терминах собственных значений и собственных векторов из А . [1] [2] В нем говорится, что [3]
где λ i - собственные значения матрицы A , а матрицы
являются соответствующие фробениусовы коварианты из А , которые (проекции) матрица Лагранжа многочлены от A .
Условия
Формула Сильвестра применима к любой диагонализуемой матрице A с k различными собственными значениями, λ 1 ,…, λ k , и к любой функции f, определенной на некотором подмножестве комплексных чисел , так что f ( A ) корректно определена. Последнее условие означает, что каждое собственное значение λ i находится в области определения f , и что каждое собственное значение λ i с кратностью m i > 1 находится внутри области, причем f является ( m i - 1 ) раз дифференцируемым в λ i . [1] : По умолчанию 6.4
Пример
Рассмотрим матрицу два на два:
Эта матрица имеет два собственных значения: 5 и −2. Его коварианты Фробениуса таковы:
Тогда формула Сильвестра составляет
Например, если f определяется как f ( x ) = x −1 , то формула Сильвестра выражает матрицу, обратную f ( A ) = A −1, как
Обобщение
Формула Сильвестра действительна только для диагонализуемых матриц ; расширение, разработанное А. Буххеймом, основанное на интерполяционных полиномах Эрмита , охватывает общий случай: [4]
- ,
где .
Краткая форма далее дана Швердтфегером, [5]
- ,
где я являюсь соответствующими фробениусовыми ковариант из A
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b / Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-46713-1
- ^ Джон Ф. Клаербут (1976), матричная теорема Сильвестра , раздел Основы обработки геофизических данных . Онлайн-версия на сайте sepwww.stanford.edu, доступ осуществлен 14 марта 2010 г.
- ^ Сильвестр, Дж. Дж. (1883). «XXXIX. Об уравнении вековых неравенств в планетарной теории» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 16 (100): 267–269. DOI : 10.1080 / 14786448308627430 . ISSN 1941-5982 .
- ^ Буххайм, А. (1884). «К теории матриц» . Труды Лондонского математического общества . s1-16 (1): 63–82. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s1-16.1.63 . ISSN 0024-6115 .
- ^ Швердтфегер, Ганс (1938). Les fonctions de matrices: Les fonctions univalentes. I, Том 1 . Париж, Франция: Германн.
- Ф. Р. Гантмахер , Теория матриц v I (Chelsea Publishing, NY, 1960) ISBN 0-8218-1376-5 , стр 101-103
- Хайэм, Николас Дж. (2008). Функции матриц: теория и вычисления . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). ISBN 9780898717778. OCLC 693957820 .
- Мерцбахер, Э (1968). «Матричные методы в квантовой механике». Являюсь. J. Phys . 36 (9): 814–821. DOI : 10.1119 / 1.1975154 .