Унитарность (физика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: Физика «единства» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( февраль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В квантовой физике , унитарность является условием , что временная эволюция квантового состояния в соответствии с уравнением Шредингера математически представлена унитарным оператором . Обычно это воспринимается как аксиома или основной постулат квантовой механики, в то время как обобщения или отклонения от унитарности являются частью рассуждений о теориях, которые могут выходить за рамки квантовой механики. ^[1] унитарности связан любое неравенство, вытекающее из унитарности оператора эволюции , то есть из утверждения , что эволюция времени варенье скалярные произведения в гильбертовом пространстве .

Гамильтонова эволюция [ править ]

Временная эволюция описывается не зависящее от времени гамильтониана представлена однопараметрическом семейством унитарных операторов , для которых гамильтониан является генератором: . В картине Шредингера унитарные операторы используются для воздействия на квантовое состояние системы, тогда как в картине Гейзенберга временная зависимость вместо этого включается в наблюдаемые . ^[2] ${\ Displaystyle U (т) = е ^ {- я {\ hat {H}} т / \ hbar}}$

Влияние унитарности на результаты измерений [ править ]

В квантовой механике каждое состояние описывается как вектор в гильбертовом пространстве . Когда выполняется измерение, удобно описывать это пространство, используя векторный базис, в котором каждый базисный вектор имеет определенный результат измерения - например, векторный базис с определенным импульсом в случае измерения импульса. Оператор измерения диагонален в этом базисе. ^[3]

Вероятность получить конкретный результат измерения зависит от амплитуды вероятности, которая дается внутренним произведением физического состояния с базисными векторами, которые диагонализируют оператор измерения. Для физического состояния, которое измеряется после того, как оно эволюционировало во времени, амплитуда вероятности может быть описана либо внутренним произведением физического состояния после временной эволюции с соответствующими базисными векторами , либо, что эквивалентно, внутренним произведением физического состояния с базисные векторы, эволюционирующие назад во времени. Используя оператор временной эволюции , мы имеем: ^[4] ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ {| \ phi _ {я} \ rangle \}}$ ${\ displaystyle e ^ {- я {\ hat {H}} т / \ hbar}}$

{\ displaystyle \ left \ langle \ phi _ {i} \ left | e ^ {- i {\ hat {H}} t / \ hbar} \ psi \ right. \ right \ rangle = \ left \ langle \ left. e ^ {- i {\ hat {H}} (- t) / \ hbar} \ phi _ {i} \ right | \ psi \ right \ rangle}

Но по определению эрмитова спряжения это также:

\left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle

Поскольку эти равенства верны для любых двух векторов, получаем

{\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}

Это означает , что гамильтониан является эрмитовым и оператор эволюции времени является унитарным . $e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }$

Поскольку по правилу Борна норма определяет вероятность получения определенного результата в измерении, унитарность вместе с правилом Борна гарантирует, что сумма вероятностей всегда равна единице. Кроме того, унитарность вместе с правилом Борна подразумевает, что операторы измерения в картине Гейзенберга действительно описывают, как ожидается, что результаты измерений будут развиваться во времени. Этот момент дополнительно подчеркивается гипотетическим контрпримером: рассмотрим случай неунитарности, когда при измерении некоторого оператора (на изображении Гейзенберга) в момент времени t ₁ получается другая вероятность, по сравнению с выполнением того же измерения с учетом учитывать эволюцию во времени в момент t ₂ , так что в это время ${\cal {{O}(t_{1})}}$ ${\cal {{O}(t_{2})}}$ измеряется. Посредством нескольких таких измерений можно затем построить эксперимент, в котором вероятность одного результата R ₁ будет произвольно близка к 100%, если его проводить в момент времени t ₁ , но вероятность другого результата R ₂ будет произвольно близка к 100%, если взято в момент времени t ₂ . Это приводит к несогласованности, по крайней мере, в некоторых интерпретациях квантовой механики.

Например, скажем, Алиса и Боб проводят измерения в одной и той же системе в разное время. Алиса выполняет измерения в момент времени t _1, а Боб - в момент времени t ₂ . согласно многомировой интерпретации , Боб почти наверняка окажется в мире, где результатом было R ₂ . Но затем, когда Боб встречает Алису, Алиса, должно быть, также измерила R ₂ . Таким образом, Алиса скажет Бобу, что она измерила очень нереалистичный результат с вероятностью, произвольно близкой к 0%. Таким образом, при таком сценарии физики сообщают, что они получили очень нереалистичные результаты, и понятие вероятности не работает.

Последствия для формы гамильтониана [ править ]

Унитарность оператора временной эволюции эквивалентна эрмитовости гамильтониана . Эквивалентно это означает, что возможные измеренные энергии, которые являются собственными значениями гамильтониана, всегда являются действительными числами.

Амплитуда рассеяния и оптическая теорема [ править ]

S-матрица используется для описания того, как физическая система изменяется в процессе рассеяния. Фактически он равен оператору временной эволюции в течение очень длительного времени (приближающемуся к бесконечности), действующему на состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности. Таким образом, это тоже должен быть унитарный оператор; расчет, дающий неунитарную S-матрицу, часто подразумевает, что связанное состояние было упущено.

Оптическая теорема [ править ]

Унитарность S-матрицы влечет, среди прочего, оптическую теорему . Это можно увидеть следующим образом: ^[5]

S-матрицу можно записать как:

S=1+iT

где - часть S-матрицы, обусловленная взаимодействиями; например, просто подразумевает, что S-матрица равна 1, никакого взаимодействия не происходит и все состояния остаются неизменными. $T$ $T=0$

Унитарность S-матрицы:

S^{\dagger }S=1

тогда эквивалентно:

-i\left(T-T^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T

Левая часть - это удвоенная мнимая часть S-матрицы. Чтобы увидеть, что такое правая часть, давайте посмотрим на любой конкретный элемент этой матрицы, например, между некоторым начальным состоянием и конечным состоянием , каждое из которых может включать в себя множество частиц. Тогда матричный элемент будет: $I\rangle$ $\langle F$

\left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F\left|T^{\dagger }A_{i}\right|\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle

где {A _i } - это набор возможных состояний на оболочке, т.е. состояния импульса частиц (или связанного комплекса частиц) на бесконечности.

Таким образом, удвоенная мнимая часть S-матрицы равна сумме, представляющей произведения вкладов от всех разбросов начального состояния S-матрицы в другое физическое состояние на бесконечности, с разбросами последнего до конечного состояние S-матрицы. Поскольку мнимая часть S-матрицы может быть вычислена с помощью виртуальных частиц, появляющихся в промежуточных состояниях диаграмм Фейнмана , из этого следует, что эти виртуальные частицы должны состоять только из реальных частиц, которые также могут появляться как конечные состояния. Математический аппарат, который используется для этого, включает калибровочную симметрию, а иногда и призраков Фаддеева-Попова .

Границы унитарности [ править ]

Согласно оптической теореме амплитуда вероятности M любого процесса рассеяния должна подчиняться

|M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)

Подобные границы унитарности подразумевают, что амплитуды и сечение не могут слишком сильно увеличиваться с увеличением энергии или они должны уменьшаться так же быстро, как определенная формула ^{[ какая? ]} диктует.

См. Также [ править ]

Антиунитарный оператор
Родившееся правило
Аксиомы вероятности
Квантовый канал
Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах
Теорема Вигнера

Ссылки [ править ]

^ Уэллетт, Дженнифер . «Алиса и Боб встречаются со стеной огня» . Журнал Quanta . Проверено 8 июля +2016 .
^ «Лекция 5: Временная эволюция» (PDF) . 22.51 Квантовая теория радиационных взаимодействий . MIT OpenCourseWare . Проверено 21 августа 2019 .
^ Cohen-Таннуджа, К., Ий, Б., Laloe Ф., и дуйте, B. (2006). Квантовая механика (2 тома).
Перейти ↑ Paris, MG (2012). Современные инструменты квантовой механики. Специальные темы Европейского физического журнала, 203 (1), 61-86.
^ Пескин, М. (2018). Введение в квантовую теорию поля , гл. 7.3. CRC Press.

Эта статья о физике незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Уэллетт, Дженнифер . «Алиса и Боб встречаются со стеной огня» . Журнал Quanta . Проверено 8 июля +2016 .

[2] «Лекция 5: Временная эволюция» (PDF) . 22.51 Квантовая теория радиационных взаимодействий . MIT OpenCourseWare . Проверено 21 августа 2019 .

[Cohen-Tannoudji-3] Cohen-Таннуджа, К., Ий, Б., Laloe Ф., и дуйте, B. (2006). Квантовая механика (2 тома).

[Paris-4] Перейти ↑ Paris, MG (2012). Современные инструменты квантовой механики. Специальные темы Европейского физического журнала, 203 (1), 61-86.

[5] Пескин, М. (2018). Введение в квантовую теорию поля , гл. 7.3. CRC Press.

[1]