Сильное двойное пространство

В функциональном анализе , то сильные сопряженное из топологического векторного пространства (ТВС) X является непрерывным сопряженным пространством из X оснащен сильной топологией или топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах X , где эта топология обозначаются или . Сильно дуальное пространство играет такую ​​важную роль в современном функциональном анализе, что обычно предполагается, что непрерывное двойственное пространство имеет сильную дуальную топологию, если не указано иное. Чтобы подчеркнуть, что непрерывное двойственное пространство,, имеет сильную двойственную топологию, или может быть записано. ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$

Сильная двойная топология [ править ]

Всюду, все векторные пространства будут считаться над полем либо на действительных чисел или комплексных чисел${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Определение из дуальной системы [ править ]

Позвольте быть двойственной системой векторных пространств над полем. Обратите внимание, что ни, ни не имеет топологии, поэтому мы определяем подмножество как ограниченное тогда и только тогда, когда для всех . Это эквивалентно обычному понятию ограниченных подмножеств, когда задана слабая топология, индуцированная которой является локально выпуклой топологией Хаусдорфа . Теперь определение сильной дуальной топологии продолжается так же, как и в случае TVS. ${\displaystyle (X,Y,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle )}$${\displaystyle \mathbb {F} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle \sup _{x\in B}\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|<\infty }$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$

Обратите внимание, что if является TVS, чье непрерывное двойственное пространство разделяет точку на then, является частью канонической дуальной системы, где .${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)}$${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$

Определение на TVS [ править ]

Предположим, что это топологическое векторное пространство (TVS) над полем. Позвольте быть любой фундаментальной системой ограниченных множеств из (т.е. набор ограниченных подмножеств таких, что каждое ограниченное подмножество является подмножеством некоторого ); множество всех ограниченных подмножеств образует фундаментальную систему ограниченных множеств базис замкнутых окрестностей нуля в задается полярам : ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} .}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X^{\prime }}$

${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x^{\prime }\in X^{\prime }:\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }\left(x\right)\right|\leq 1\right\}}$

как колеблется ). Это локально выпуклая топология, которая задается множеством полунорм на : as пробегает${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left|x^{\prime }\right|_{B}:=\sup _{x\in B}\left|x^{\prime }\left(x\right)\right|}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Если это нормируемым то так и будет на самом деле быть банахово пространство . Если - нормированное пространство с нормой, то имеет каноническую норму ( операторную норму ), задаваемую формулой ; топология, которую индуцирует эта норма , идентична сильной дуальной топологии.${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle \left\|x^{\prime }\right\|:=\sup _{\|x\|\leq 1}\left|x^{\prime }(x)\right|}$${\displaystyle X^{\prime }}$

Свойства [ править ]

Позвольте быть локально выпуклой TVS. ${\displaystyle X}$

• Выпуклое сбалансированное слабо компактное подмножество в ограничено в . ^[1]${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$
• Каждое слабо ограниченное подмножество сильно ограничено. ^[2]${\displaystyle X^{\prime }}$
• Если это бочкообразное пространство, то топология идентична сильной дуальной топологии и топологии Макки на .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}$${\displaystyle X}$
• Если метризуемое локально выпуклое пространство, то сильное сопряженное является борнологическим тогда и только тогда , когда оно infrabarreled , тогда и только тогда , когда он ствол . ^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• Если отделимо локально выпуклое ТВС , то есть метризуемый тогда и только тогда , когда существует счетное множество ограниченных подмножеств таким образом, что каждое ограниченное подмножество содержится в некотором элементе ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
• Если локально выпуклая, то эта топология тоньше, чем все другие -топологии на, если рассматривать только 's, множества которых являются подмножествами${\displaystyle X}$ G {\displaystyle {\mathcal {G}}} ${\displaystyle X^{\prime }}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X.}$
• Если - борнологическое пространство (например, метризуемое или LF-пространство ), то является полным.${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{b(X^{\prime },X)}^{\prime }}$

См. Также [ править ]

• Двойная топология
• Двойная система
• Список топологий
• Полярная топология  - топология двойного пространства с равномерной сходимостью на некотором поднаборе ограниченных подмножеств.
• Сильная топология
• Сильная топология (полярная топология)  - топология двойного пространства с равномерной сходимостью на ограниченных подмножествах
• Топологии на пространствах линейных отображений

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC  5126158 .