В математике , в области полилинейной алгебры и теории представлений , в основных инвариантах второго ранга тензора - коэффициенты характеристического многочлена [1]
- ,
где является тождественным оператором и представляют собой собственные значения многочлена .
В более широком смысле любая скалярная функция инвариант если и только если для всех ортогональных . Это означает, что формула, выражающая инвариант через компоненты,, даст тот же результат для всех декартовых оснований. Например, даже если отдельные диагональные компоненты изменится при изменении базиса, сумма диагональных составляющих не изменится.
Характеристики
Основные инварианты не изменяются при поворотах системы координат (они объективны или, в более современной терминологии, удовлетворяют принципу материального безразличия каркаса ), и любая функция главных инвариантов также объективна.
Вычисление инвариантов тензоров второго ранга
В большинстве инженерных приложений ищутся главные инварианты (ранга два) тензоров размерности три, например, для правого тензора деформации Коши-Грина .
Основные инварианты
Для таких тензоров главные инварианты имеют вид:
Для симметричных тензоров эти определения сокращены. [2]
Соответствие между главными инвариантами и характеристическим многочленом тензора вместе с теоремой Кэли – Гамильтона показывает, что
где - тождественный тензор второго порядка.
Основные инварианты
Помимо основных инвариантов, перечисленных выше, можно также ввести понятие основных инвариантов [3] [4]
которые являются функциями основных инвариантов, указанных выше.
Смешанные инварианты
Кроме того, также могут быть определены смешанные инварианты между парами тензоров ранга два. [4]
Вычисление инвариантов тензоров второго порядка более высокой размерности
Они могут быть извлечены путем непосредственного вычисления характеристического полинома , например, с использованием алгоритма Фаддеева-Леверье .
Вычисление инвариантов тензоров высших порядков.
Также могут быть определены инварианты тензоров третьего, четвертого и более высоких порядков. [5]
Инженерные приложения
Скалярная функция которое полностью зависит от главных инвариантов тензора, объективно, т. е. не зависит от поворотов системы координат. Это свойство обычно используется при формулировании выражений в замкнутой форме для плотности энергии деформации или свободной энергии Гельмгольца нелинейного материала, обладающего изотропной симметрией. [6]
Этот метод был впервые представлен в изотропную турбулентность с помощью Говарда П. Робертсон в 1940 году , где он был в состоянии вывести уравнение Кармана-Ховарт из принципа инвариантности. [7] Джордж Бэтчелор и Субраманян Чандрасекар использовали этот метод и разработали расширенный подход к осесимметричной турбулентности. [8] [9] [10]
Инварианты несимметричных тензоров
Настоящий тензор в 3D (т.е. один с компонентной матрицей 3x3) имеет до шести независимых инвариантов, три из которых являются инвариантами его симметричной части, а три характеризуют ориентацию аксиального вектора кососимметричной части относительно главных направлений симметричная часть. Например, если декартовы компоненты находятся
первым шагом будет оценка аксиального вектора связанный с кососимметричной частью. В частности, аксиальный вектор имеет компоненты
На следующем шаге находятся главные значения симметричной части . Даже если собственные значения реального несимметричного тензора могут быть комплексными, собственные значения его симметричной части всегда будут действительными и, следовательно, могут быть упорядочены от наибольшего к наименьшему. Соответствующим ортонормированным направлениям главного базиса могут быть присвоены значения, чтобы гарантировать, что аксиальный векторточек в пределах первого октанта. Что касается этой особой основы, компоненты находятся
Первые три инварианта - диагональные компоненты этой матрицы: (равные упорядоченным главным значениям симметричной части тензора). Остальные три инварианта являются компонентами аксиального вектора в этом базисе:. Примечание: величина осевого вектора,, является единственным инвариантом косой части , тогда как эти различные три инварианта характеризуют (в некотором смысле) «выравнивание» между симметричной и косой частями . Между прочим, это миф, что тензор положительно определен, если его собственные значения положительны. Напротив, он положительно определен тогда и только тогда, когда собственные значения его симметричной части положительны.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Спенсер, AJM (1980). Механика сплошной среды . Лонгман. ISBN 0-582-44282-6.
- ^ Келли, Пенсильвания. «Конспект лекции: Введение в механику твердого тела» (PDF) . Проверено 27 мая 2018 .
- ^ Киндлманн, Г. "Тензорные инварианты и их градиенты" (PDF) . Дата обращения 24 января 2019 .
- ^ а б Шредер, Йорг; Нефф, Патрицио (2010). Поли-, квази- и ранговая выпуклость в прикладной механике . Springer.
- ^ Беттен, Дж. (1987). «Неприводимые инварианты тензоров четвертого порядка» . Математическое моделирование . 8 : 29–33. DOI : 10.1016 / 0270-0255 (87) 90535-5 .
- ^ Огден, Р.В. (1984). Нелинейные упругие деформации . Дувр.
- ^ Робертсон, HP (1940). «Инвариантная теория изотропной турбулентности». Математические труды Кембриджского философского общества . Издательство Кембриджского университета. 36 (2): 209–223. Bibcode : 1940PCPS ... 36..209R . DOI : 10.1017 / S0305004100017199 .
- ^ Бэтчелор, Г.К. (1946). «Теория осесимметричной турбулентности» . Proc. R. Soc. Лондон. . 186 (1007): 480–502. Bibcode : 1946RSPSA.186..480B . DOI : 10,1098 / rspa.1946.0060 .
- ^ Чандрасекхар, С. (1950). «Теория осесимметричной турбулентности». Философские труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 242 (855): 557–577. Bibcode : 1950RSPTA.242..557C . DOI : 10.1098 / rsta.1950.0010 . S2CID 123358727 .
- ^ Чандрасекхар, С. (1950). «Распад осесимметричной турбулентности». Proc. Рой. Soc. . 203 (1074): 358–364. Bibcode : 1950RSPSA.203..358C . DOI : 10.1098 / rspa.1950.0143 . S2CID 121178989 .