По математике мечта второкурсника - это пара тождеств (особенно первая)
обнаружен в 1697 году Иоганном Бернулли .
Числовые значения этих констант приблизительно равны 1,291285997 ... и 0,7834305107 ... соответственно.
Название «мечта второкурсника» [1] контрастирует с названием « мечта первокурсника », которое дается неверной [примечание 1] идентичности ( x + y ) n = x n + y n . Второкурсник мечта «s имеет сходную слишком хорошо, чтобы быть правдой чувствовать, но это правда.
Доказательство
Доказательства двух тождеств полностью аналогичны, поэтому здесь представлено только доказательство второго. Ключевые ингредиенты доказательства:
- записать x x = exp ( x ln x ) (используя обозначение exp ( t ) для экспоненциальной функции e t с основанием e );
- разложить exp ( x ln x ), используя степенной ряд для exp; а также
- почленно интегрировать, используя интегрирование подстановкой .
В деталях, x x расширяется как
Следовательно,
Путем равномерной сходимости степенного ряда можно поменять местами суммирование и интегрирование, чтобы получить
Чтобы оценить указанные выше интегралы, можно изменить переменную в интеграле с помощью замены При такой замене границы интегрирования преобразуются к давая личность
По интегральному тождеству Эйлера для гамма-функции имеем
чтобы
Суммируя их (и изменяя индексирование так, чтобы оно начиналось с n = 1 вместо n = 0), получаем формулу.
Историческое доказательство
Первоначальное доказательство, данное Бернулли [2] и представленное в модернизированной форме в Данхэме [3], отличается от приведенного выше тем, что почленный интегралвычисляется, но в остальном остается тем же самым, без технических деталей для обоснования шагов (таких как почленное интегрирование). Вместо того, чтобы интегрировать путем подстановки, получая гамма-функцию (которая еще не была известна), Бернулли использовал интегрирование по частям для итеративного вычисления этих членов.
Интегрирование по частям происходит следующим образом, при этом два показателя степени меняются независимо для получения рекурсии. Первоначально вычисляется неопределенный интеграл без учета постоянной интегрирования. как потому, что это было сделано исторически, так и потому, что оно выпадает при вычислении определенного интеграла. Можно интегрироватьвзяв u = (ln x ) n и dv = x m dx , что дает:
(также в списке интегралов логарифмических функций ). Это уменьшает степень логарифма подынтегрального выражения на 1 (с к ) и, таким образом, можно вычислить интеграл индуктивно , как
где ( n ) i обозначает падающий факториал ; существует конечная сумма, потому что индукция останавливается на 0, поскольку n - целое число.
В этом случае m = n , и они целые числа, поэтому
Интегрируя от 0 до 1, все члены обращаются в нуль, кроме последнего члена в 1, [примечание 2], что дает:
Это эквивалентно вычислению интегрального тождества Эйлера для гамма-функции в другой области (соответствующей изменению переменных путем подстановки), поскольку само тождество Эйлера также может быть вычислено посредством аналогичного интегрирования по частям.
Смотрите также
Заметки
- ^ В общем случае неверно, но верно, когда кто-то работает в коммутативном кольце с простой характеристикой p, где n является степенью p . Правильный результат в общем коммутативном контексте дает биномиальная теорема .
- ^ Все члены исчезают в 0, потому чтопо правилу Лопиталя (Бернулли опускал эту техническую деталь), и все члены, кроме последнего, обращаются в нуль в точке 1, поскольку ln 1 = 0 .
Рекомендации
Формула
- Бернулли, Иоганн (1697). Опера омния . 3 . С. 376–381.
- Борвейн, Джонатан ; Бейли, Дэвид Х .; Гиргенсон, Роланд (2004). Эксперименты в математике: вычислительные пути к открытиям . С. 4, 44. ISBN 9781568811369.
- Данэм, Уильям (2005). "Глава 3: Бернулли (Иоганн и) ». The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue . Princeton University Press. Pp. 46–51. ISBN. 9780691095653.
- OEIS , (последовательность A083648 в OEIS ) и (последовательность A073009 в OEIS )
- Полиа, Джордж ; Сегё, Габор (1998), "Часть I, проблема 160", Проблемы и теоремы анализа , с. 36 , ISBN 9783540636403
- Вайсштейн, Эрик В. «Сон второкурсника» . MathWorld .
- Макс Р.П. Гроссманн (2017): мечта второкурсника. 1000000 цифр первой константы
Функция
- Литература для x ^ x и Sophomore's Dream , Tetration Forum, 02.03.2010
- Связанная экспонента , Джей А. Фантини, Гилберт К. Клопфер, 1998 г.
- Функция сна второкурсницы , Жан Жаклен, 2010, 13 стр.
- Лемер, Д.Х. (1985). «Числа, связанные с числами Стирлинга и x x » . Журнал математики Роки-Маунтин . 15 : 461. DOI : 10,1216 / RMJ-1985-15-2-461 .
- Гулд, HW (1996). «Набор многочленов, связанных с высшими производными y = x x » . Журнал математики Роки-Маунтин . 26 : 615. DOI : 10,1216 / RMJM / 1181072076 .
Сноски
- ↑ Он появляется в Borwein, Bailey & Girgensohn 2004 .
- ^ Бернулли 1697 .
- Перейти ↑ Dunham 2005 .