В ветви абстрактной алгебры называется теорией колец , то Акизуки-Хопкинс-Левицкий теорема связывает условие цепи нисходящей и восходящая цепь состояние в модулях над полупримарными кольцами. Кольцо R (с 1) называется полупримарным, если R / J ( R ) полупросто и J ( R ) - нильпотентный идеал , где J ( R ) обозначает радикал Джекобсона . Теорема утверждает, что если Rявляется полупримарным кольцом, а M - R- модулем, три модульных условия нетеровы , артиновы и «имеет композиционный ряд » эквивалентны. Без полупервичного условия единственно верное следствие состоит в том, что если M имеет композиционный ряд, то M одновременно и нетерово, и артиново.
Текущая форма теоремы взята из статьи Чарльза Хопкинса и статьи Якоба Левицки , выпущенных в 1939 году. По этой причине ее часто называют теоремой Хопкинса – Левицки . Однако Ясуо Акизуки иногда включается, поскольку он доказал результат [1] для коммутативных колец несколькими годами ранее, в 1935 году.
Поскольку известно, что артиново справа кольцо полупримарно, прямое следствие теоремы таково: артиново справа кольцо также нётерово справа . Аналогичное утверждение верно и для артиновых левых колец. В целом это неверно для артинианских модулей, потому что есть примеры артиновых модулей, которые не являются нётерскими .
Другое прямое следствие состоит в том, что если R артиново справа, то R является артиновым слева тогда и только тогда, когда оно нётерово слева.
Эскиз доказательства
Вот доказательство следующего: пусть R - полупримарное кольцо, а M - левый R -модуль. Если M артиново или нетерово, то M имеет композиционный ряд. [2] (Обратное верно для любого кольца.)
Пусть J быть радикалом R . Набор. R модуль может тогда рассматриваться как модуль , поскольку J содержатся в аннуляторе из. Каждыйявляется полупрост -модуль, потому что - полупростое кольцо. Кроме того, поскольку J нильпотентен, только конечное числоотличны от нуля. Если M артиново (или нетерово), тоимеет конечный композиционный ряд. Укладка серии композиций изконец к концу, мы получим композиционный ряд для М .
В категориях Гротендика
Существует несколько обобщений и расширений теоремы. Один касается категорий Гротендика : если G является категорией Гротендика с артиновым генератором, то каждый артиновский объект в G является нётеровым. [3]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Акизуки, Ясуо (1935). "Teilerkettensatz und Vielfachensatz" . Proc. Физ.-мат. Soc. Jpn . 17 : 337–345.
- ^ Кон 2003 , теорема 5.3.9
- ^ Тома Альбу (2010). «Семидесятилетний юбилей: Теорема Хопкинса-Левицки» . В Тома Альбу (ред.). Теория колец и модулей . Springer. ISBN 9783034600071.
- Кон, PM (2003), Основная алгебра: группы, кольца и поля
- Чарльз Хопкинс (1939) Кольца с минимальным условием для левых идеалов , Ann. математики. (2) 40, страницы 712–730.
- TY Lam (2001) Первый курс некоммутативных колец , Springer-Verlag. стр.55 ISBN 0-387-95183-0
- Якоб Левицки (1939) О кольцах, удовлетворяющих условию минимума для правых идеалов , Compositio Mathematica, т. 7, стр. 214–222.