Категория Гротендика

В математике , категории Гротендик определенный вид абелевой категории , введенный в Гротендик «s Тохоку бумаги 1957 ^[1] для того , чтобы развить аппарат гомологической алгебры для модулей и для пучков в унифицированном виде. Теория этих категорий получила дальнейшее развитие в основополагающей диссертации Пьера Габриэля в 1962 году ^[2].

Каждому алгебраическому многообразию можно сопоставить категорию Гротендика , состоящую из квазикогерентных пучков на . Эта категория кодирует всю релевантную геометрическую информацию и может быть восстановлена из ( теоремы реконструкции Габриэля – Розенберга ). Этот пример дает начало одному подходу к некоммутативной алгебраической геометрии : тогда изучение «некоммутативных многообразий» есть не что иное, как изучение (определенных) категорий Гротендика. ^[3] ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Qcoh} (V)}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Qcoh} (V)}$

Определение [ править ]

По определению, категория Гротендика - это категория AB5 с образующей . По буквам это означает, что ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ - абелева категория ;
каждое (возможно бесконечное) семейство объектов в имеет копроизведение (также известное как прямая сумма) в ; ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$
прямые пределы из коротких точных последовательностей являются точными; это означает, что если дана прямая система коротких точных последовательностей в , то индуцированная последовательность прямых пределов также является короткой точной последовательностью. (Прямые пределы всегда точны по правому краю ; здесь важно то, что мы требуем, чтобы они также были точными по левому краю .) ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$
${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ обладает генератор, т.е. есть объект в таким образом, что является верным функтор из к категории множеств . (В нашем случае, это равносильно тому, что каждый объект из допускает эпиморфизм , где обозначает прямую сумму копий , по одному для каждого элемента (возможно , бесконечного) множества .) ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (G, -)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle G ^ {(I)} \ rightarrow X}$ ${\ Displaystyle G ^ {(I)}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle I}$

Название «категория Гротендика» не появлялось ни в статье Гротендика «Тохоку» ^[1], ни в диссертации Габриэля; ^[2] он стал использоваться во второй половине 1960-х годов в работах нескольких авторов, в том числе Яна-Эрика Рооса, Бо Стенстрёма, Ульриха Оберста и Бодо Парейгиса. (Некоторые авторы используют другое определение в том смысле, что они не требуют наличия генератора.)

Примеры [ править ]

Типичным примером категории Гротендика является категория абелевых групп ; абелева группа целых чисел может служить генератором. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
В более общем смысле, для любого кольца (ассоциативного, с коммутативным, но не обязательно) категория всех правых (или альтернативно: левых) модулей над является категорией Гротендика; сам может служить генератором. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Mod} (R)}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R}$
Для топологического пространства категория всех пучков абелевых групп на является категорией Гротендика. ^[1] (В более общем смысле: категория всех пучков правых -модулей на является категорией Гротендика для любого кольца .) ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle R}$
Для кольцевого пространства категория пучков O X -модулей является категорией Гротендика. ^[1] ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$
Учитывая (аффинное или проективное) алгебраическое многообразие (или , более общо: любая схема ), категория из квазикогерентных пучков на это категория Гротендика. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Qcoh} (V)}$ ${\ displaystyle V}$
Учитывая небольшой сайт ( C , J ) (т. Е. Небольшую категорию C вместе с топологией Гротендика J ), категория всех пучков абелевых групп на сайте является категорией Гротендика.

Построение дополнительных категорий Гротендика [ править ]

Любая категория, эквивалентная категории Гротендика, сама по себе является категорией Гротендика.
Учитывая Гротендик категорию , то категория продукта является категорией Гротендик. ${\ displaystyle {\ mathcal {A_ {1}}}, \ ldots, {\ mathcal {A_ {n}}}}$ ${\mathcal {A_{1}}}\times \ldots \times {\mathcal {A_{n}}}$
Учитывая небольшую категорию и категорию Гротендик , в категории функтора , состоящую из всех ковариантных функторов из к , является категорией Гротендик. ^[1] ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}$ $\operatorname {Funct} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}$
Учитывая небольшую предаддитивную категорию и категорию Гротендика, категория функторов всех аддитивных ковариантных функторов из в является категорией Гротендика. ^[4] ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}$ $\operatorname {Add} ({\mathcal {C}},{\mathcal {A}})$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}$
Если является категорией Гротендика и является локализующей подкатегорией в , то обе и фактор-категория Серра являются категориями Гротендика. ^[2] ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$

Свойства и теоремы [ править ]

Каждая категория Гротендика содержит инъективный когенератор . Например, инъективным когенератором категории абелевых групп является фактор-группа . $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$

Каждый объект в категории Гротендик имеет инъективный корпус в . ^[1]^[2] Это позволяет строить инъективные резольвенты и тем самым использовать инструменты гомологической алгебры в , чтобы определять производные функторы . (Обратите внимание, что не все категории Гротендика допускают проективные разрешения для всех объектов; примерами являются категории пучков абелевых групп во многих топологических пространствах, например в пространстве действительных чисел.) ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$

В категории Гротендика любое семейство подобъектов данного объекта имеет верхнюю грань (или «сумму»), а также нижнюю грань (или «пересечение») , оба из которых снова являются подобъектами . Кроме того, если семейство является направленным (т.е. для любых двух объектов в семействе существует третий объект в семействе, который содержит эти два объекта) и является другим подобъектом , мы имеем ^[5] $(U_{i})$ $X$ ${\textstyle \sum _{i}U_{i}}$ $\cap _{i}U_{i}$ $X$ $(U_{i})$ $V$ $X$

\sum _{i}(U_{i}\cap V)=\left(\sum _{i}U_{i}\right)\cap V.

Категории Гротендика хорошо развиты (иногда их называют локально малыми , хотя этот термин также используется для другой концепции), т. Е. Совокупность подобъектов любого данного объекта образует набор (а не собственный класс ). ^[4]

Это довольно глубокий результат , что каждая категория Гротендика является полной , ^[6] то , что произвольные ограничения (и в частности , продукты ) существует . Напротив, это непосредственно следует из определения, что является кополным , т. Е. Что в. Существуют произвольные копределы и копроизведения (прямые суммы) . Копродукции в категории Гротендика точны (т. Е. Копроизведение семейства коротких точных последовательностей снова является короткой точной последовательностью), но продукты не обязательно должны быть точными. ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$

Функтор из категории Гротендика в произвольную категорию имеет сопряженный слева тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми пределами, и имеет сопряженный справа тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми копределами. Это следует из специальной теоремы Питера Дж. Фрейда о присоединенном функторе и двойственной ей. ^[7] $F\colon {\cal {A}}\to {\cal {X}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {X}}$

Теорема Габриэля – Попеску утверждает, что любая категория Гротендика эквивалентна полной подкатегории категории правых модулей над некоторым кольцом с единицей (которое можно принять за кольцо эндоморфизмов генератора ) и может быть получена как фактор Габриэля. из некоторой подкатегории локализации . ^[8] ${\mathcal {A}}$ $\operatorname {Mod} (R)$ $R$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ $\operatorname {Mod} (R)$

Как следствие Габриэля-Попеску, можно показать, что каждая категория Гротендика локально представима . ^[9] Кроме того, Габриэль-Попеска может быть использована , чтобы видеть , что каждая категория Гротендик завершена, будучи отражающими подкатегориями полной категории для некоторых . $\operatorname {Mod} (R)$ $R$

Каждую малую абелеву категорию можно вложить в категорию Гротендика следующим образом. Категория в левой точной аддитивных (ковариантных) функторов (где обозначает категорию абелевых групп ) является категорией Гротендика и функтор , с , полный, верным и точным. Генератор представляет собой совместное произведение всех , с . ^[2] К категории эквивалентна категории из IND-объектов из и вложения соответствует естественному вложению . Поэтому мы можем рассматривать как совместное завершение . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}:=\operatorname {Lex} ({\mathcal {C}}^{op},\mathrm {Ab} )$ ${\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathrm {Ab}$ $\mathrm {Ab}$ $h\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}$ $C\mapsto h_{C}=\operatorname {Hom} (-,C)$ ${\mathcal {A}}$ $h_{C}$ $C\in {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ ${\mathcal {C}}$ $h$ ${\mathcal {C}}\to {\text{Ind}}({\mathcal {C}})$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {C}}$

Особые виды объектов и категории Гротендика [ править ]

Объект в категории Гротендика называется конечно порожденным, если всякий раз, когда он записывается как сумма семейства подобъектов , то он уже является суммой конечного подсемейства. (В случае категорий модулей это понятие эквивалентно известному понятию конечно порожденных модулей .) Эпиморфные образы конечно порожденных объектов снова конечно порождены. Если и оба и конечно порождены, то так и есть . Объект конечно порождена , если, и только если, для любой направленной системы в , в которой каждый морфизм является мономорфизмом, естественный морфизм является изоморфизмом. ^[10] $X$ $X$ $X$ ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$ $U\subseteq X$ $U$ $X/U$ $X$ $X$ $(A_{i})$ ${\cal {A}}$ $\varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})$ Категория Гротендика не обязательно должна содержать ненулевые конечно порожденные объекты.

Категория Гротендика называется локально конечно порожденной, если она имеет набор конечно порожденных порождающих (т. Е. Если существует такое семейство конечно порожденных объектов, что для каждого объекта существует и ненулевой морфизм ; эквивалентно: является эпиморфным образом прямого сумма копий ). В такой категории каждый объект представляет собой сумму своих конечно порожденных подобъектов. ^[4] Каждая категория локально конечно порождена. $(G_{i})_{i\in I}$ $X$ $i\in I$ $G_{i}\rightarrow X$ $X$ $G_{i}$ ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$

Объект в категории Гротендика называется конечно представимым, если он конечно порожден и если каждый эпиморфизм с конечно порожденной областью имеет конечно порожденное ядро. Опять же, это обобщает понятие конечно представленных модулей . Если и оба и конечно представлены, то так и есть . В локально конечно порожденной категории Гротендика конечно представленные объекты могут быть охарактеризованы следующим образом: ^[11] in конечно представима тогда и только тогда, когда для любой направленной системы in естественный морфизм является изоморфизмом. $X$ $W\to X$ $W$ $U\subseteq X$ $U$ $X/U$ $X$ ${\cal {A}}$ $X$ ${\cal {A}}$ $(A_{i})$ ${\cal {A}}$ $\varinjlim \mathrm {Hom} (X,A_{i})\to \mathrm {Hom} (X,\varinjlim A_{i})$

Объект в категории Гротендика называется когерентным, если он конечно представим и если каждый из его конечно порожденных подобъектов также конечно представим. ^[12] (Это обобщает понятие когерентных пучков на окольцованном пространстве.) Полная подкатегория всех когерентных объектов в абелева, а функтор включения точен . ^[12] $X$ ${\cal {A}}$ ${\cal {A}}$

Объект в категории Гротендика называется нётеровым, если набор его подобъектов удовлетворяет условию возрастающей цепочки , т.е. если каждая последовательность подобъектов в конечном итоге становится стационарной. Это так, если и только если каждый подобъект X конечно порожден. (В данном случае это понятие эквивалентно известному понятию нётеровых модулей .) Категория Гротендика называется локально нётеровой, если она имеет набор нётеровых генераторов; пример - категория левых модулей над нётеровым слева кольцом . $X$ $X_{1}\subseteq X_{2}\subseteq \cdots$ $X$ ${\cal {A}}=\operatorname {Mod} (R)$

Заметки [ править ]

^ Б с д е е Гротендиком, Alexander (1957), "Sur Quelques точек d'algèbre гомологической" , Tohoku математический журнал , (2), 9 (2): 119-221, DOI : 10.2748 / TMJ / 1178244839 , MR 0102537. Английский перевод .
^ a b c d e Габриэль, Пьер (1962), "Абсолютные категории" (PDF) , Bull. Soc. Математика. Пт. , 90 : 323-448, DOI : 10,24033 / bsmf.1583
^ Изура Mori (2007). «Квантовые линейчатые поверхности» (PDF) .
^ a b c Вера, Карл (1973). Алгебра: кольца, модули и категория I . Springer. С. 486–498. ISBN 9783642806346.
^ Stenström, Prop. V.1.1
^ Stenström, Cor. X.4.4
Перейти ↑ Mac Lane, Saunders (1978). Категории для рабочего математика, 2-е издание . Springer. п. 130.
^ Попеско, Николае ; Габриэль, Пьер (1964). "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites индуктивно точные". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 258 : 4188–4190.
^ Šťovíček Ян (2013-01-01). «Деконструируемость и лемма Хилла в категориях Гротендика». Форум Mathematicum . 25 (1). arXiv : 1005,3251 . Bibcode : 2010arXiv1005.3251S . DOI : 10.1515 / FORM.2011.113 . S2CID 119129714 .
^ Stenström, Prop. V.3.2
^ Stenström, Prop. V.3.4
^ a b Герцог, I. (1997). "Спектр Циглера локально когерентной категории Гротендика" . Труды Лондонского математического общества . 74 (3): 503–558. DOI : 10.1112 / S002461159700018X .

Ссылки [ править ]

Попеску, Николае (1973). Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям . Академическая пресса.
Стенстрём, Бо Т. (1975). Кольца частных: введение в методы теории колец . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07117-6.

Внешние ссылки [ править ]

Цаленко, М.Ш. (2001) [1994], "Категория Гротендика" , Энциклопедия математики , EMS Press
Абелевы категории , примечания Даниэля Мерфета. Раздел 2.3 охватывает категории Гротендика.

[tohoku-1] Б с д е е Гротендиком, Alexander (1957), "Sur Quelques точек d'algèbre гомологической" , Tohoku математический журнал , (2), 9 (2): 119-221, DOI : 10.2748 / TMJ / 1178244839 , MR 0102537. Английский перевод .

[gabriel-these-2] Габриэль, Пьер (1962), "Абсолютные категории" (PDF) , Bull. Soc. Математика. Пт. , 90 : 323-448, DOI : 10,24033 / bsmf.1583

[3] Изура Mori (2007). «Квантовые линейчатые поверхности» (PDF) .

[:0-4] Вера, Карл (1973). Алгебра: кольца, модули и категория I . Springer. С. 486–498. ISBN 9783642806346.

[5] Stenström, Prop. V.1.1

[6] Stenström, Cor. X.4.4

[7] Перейти ↑ Mac Lane, Saunders (1978). Категории для рабочего математика, 2-е издание . Springer. п. 130.

[8] Попеско, Николае ; Габриэль, Пьер (1964). "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites индуктивно точные". Comptes rendus de l'Académie des Sciences . 258 : 4188–4190.

[9] Šťovíček Ян (2013-01-01). «Деконструируемость и лемма Хилла в категориях Гротендика». Форум Mathematicum . 25 (1). arXiv : 1005,3251 . Bibcode : 2010arXiv1005.3251S . DOI : 10.1515 / FORM.2011.113 . S2CID 119129714 .

[10] Stenström, Prop. V.3.2

[11] Stenström, Prop. V.3.4

[herzog-12] Герцог, I. (1997). "Спектр Циглера локально когерентной категории Гротендика" . Труды Лондонского математического общества . 74 (3): 503–558. DOI : 10.1112 / S002461159700018X .

[1]