Аксиома зависимого выбора

В математике , то аксиома зависимого выбора , обозначается , слабая форма аксиомы выбора ( ) , что по - прежнему достаточно , чтобы развить большую часть реального анализа . Он был введен Полом Бернейсом в статье 1942 года, в которой исследуются теоретико-множественные аксиомы , необходимые для развития анализа. ^[а]${\ displaystyle {\ mathsf {DC}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {AC}}}$

Официальное заявление [ править ]

Бинарное отношение на называется всем , если для каждого существует некоторые такие , что это правда. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a \ in X}$${\ displaystyle b \ in X}$${\ displaystyle a \, R ~ b}$

Аксиома зависимого выбора может быть сформулирована следующим образом: для каждого непустого множества и каждого целого бинарного отношения на существует последовательность в такой, что ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle x_ {n} \, R ~ x_ {n + 1}}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

Если набор выше ограничен набором всех действительных чисел , то результирующая аксиома обозначается как${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.}$

Используйте [ редактировать ]

Даже без такой аксиомы для любого человека можно использовать обычную математическую индукцию, чтобы сформировать первые члены такой последовательности. Аксиома зависимого выбора гласит, что таким образом мы можем образовать целую (счетно бесконечную) последовательность.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Аксиома является фрагмент , который требуется , чтобы показать существование последовательности , построенную трансфинитной рекурсией из счетной длины, если необходимо сделать выбор на каждый шаг , и если некоторые из этих вариантов не могут быть сделаны независимо от предыдущих вариантов.${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$

Эквивалентные утверждения [ править ]

Более теории множеств Цермело-Френкеля , эквивалентна категории теоремы Бэра для полных метрических пространств. ^[1]${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$

Это также эквивалентно более чем в теореме Löwenheim-сколемовской . ^{[b] [2]}${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$также эквивалентно утверждению, что каждое обрезанное дерево с уровнями имеет ветвь ( доказательство ниже ).${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$${\displaystyle \omega }$

Доказательство того, что каждое обрезанное дерево с ω уровнями имеет ветвь${\displaystyle \,{\mathsf {DC}}\iff }$

${\displaystyle (\,\Longleftarrow \,)}$Позвольте быть целым бинарным отношением на . Стратегия заключается в том, чтобы определить дерево на конечных последовательностей, соседние элементы удовлетворяют Тогда ветвь через бесконечная последовательность которого соседние элементы удовлетворяют Начните с определения , если для С является целой, является обрезке деревьев с уровнями. Таким образом, есть ветвь So, для всего, что подразумевает Следовательно, верно.${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle R.}$${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T}$${\displaystyle x_{k}R\,x_{k+1}}$${\displaystyle 0\leq k<n.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .}$${\displaystyle n\geq 0\!:}$ ${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,}$${\displaystyle x_{n}R\,x_{n+1}.}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\displaystyle (\,\Longrightarrow \,)}$Позвольте быть обрезанным деревом с уровнями. Стратегия заключается в том, чтобы определить бинарное отношение на так , что создает последовательность где и является строго возрастающей функцией. Тогда бесконечная последовательность - это ветвь. (Это доказательство нужно только для того, чтобы доказать это для ). Начнем с определения , является ли исходной подпоследовательностью и Поскольку обрезанное дерево с уровнями является целым. Следовательно, означает, что существует бесконечная последовательность такая, что Now for some Let будет последним элементом Then${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle }$${\displaystyle t_{n}R\,t_{n+1}}$${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$${\displaystyle f(n)=m+n.}$${\displaystyle u\,R\,v}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v,\operatorname {length} (u)>0,\,}$${\displaystyle \operatorname {length} (v)=}$ ${\displaystyle \operatorname {length} (u)+1.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$${\displaystyle t_{n}}$${\displaystyle t_{n}\,R\,t_{n+1}.}$${\displaystyle t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle }$${\displaystyle m\geq 0.}$${\displaystyle x_{m+n}}$${\displaystyle t_{n}.}$${\displaystyle t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .}$Для всех последовательность принадлежит, потому что она является начальной подпоследовательностью или она является Следовательно, является ветвью.${\displaystyle k\geq 0,}$${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle }$${\displaystyle T}$${\displaystyle t_{0}\,(k\leq m)}$${\displaystyle t_{n}\,(k\geq m).}$${\displaystyle \langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle }$

Связь с другими аксиомами [ править ]

В отличие от полного , недостаточно для доказательства (данного ) того, что существует неизмеримый набор действительных чисел или что существует набор действительных чисел без свойства Бэра или без свойства совершенного набора . Это следует потому, что модель Соловея удовлетворяет , и каждый набор действительных чисел в этой модели измерим по Лебегу, обладает свойством Бэра и имеет свойство совершенного множества.${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}}$

Аксиома зависимого выбора влечет аксиому счетного выбора и является строго более сильной. ^{[3] [4]}

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Jech, Томас (2003). Теория множеств (изд. Третьего тысячелетия). Springer-Verlag . ISBN 3-540-44085-2. OCLC  174929965 . Zbl  1007.03002 .