Полугруппа
В математике полугруппа — это алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с ассоциативной внутренней бинарной операцией над ним.
Бинарная операция над полугруппой чаще всего обозначается мультипликативно : x · y или просто xy обозначает результат применения полугрупповой операции к упорядоченной паре ( x , y ) . Ассоциативность формально выражается как ( x · y ) · z = x · ( y · z ) для всех x , y и z в полугруппе.
Полугруппы можно рассматривать как частный случай магм , где операция ассоциативна, или как обобщение групп , не требуя существования элемента идентичности или инверсий. [примечание 1] Как и в случае с группами или магмами, полугрупповая операция не обязательно должна быть коммутативной , поэтому x · y не обязательно равно y · x ; хорошо известным примером ассоциативной, но некоммутативной операции является умножение матриц . Если полугрупповая операция коммутативна, то полугруппа называется коммутативной полугруппой или (реже, чем ваналогичный случай групп ) ее можно назвать абелевой полугруппой .
Моноид представляет собой алгебраическую структуру, промежуточную между полугруппами и группами, и представляет собой полугруппу, имеющую единичный элемент , таким образом подчиняясь всем аксиомам группы, кроме одной: существование инверсий не требуется от моноида. Естественным примером являются строки с конкатенацией в качестве бинарной операции и пустой строкой в качестве элемента идентификации. Ограничение непустыми строками дает пример полугруппы, которая не является моноидом. Положительные целые числа с добавлением образуют коммутативную полугруппу, которая не является моноидом, тогда как неотрицательные целые числаобразуют моноид. Полугруппу без элемента идентичности можно легко превратить в моноид, просто добавив элемент идентичности. Следовательно, моноиды изучаются в теории полугрупп, а не в теории групп. Полугруппы не следует путать с квазигруппами , которые представляют собой обобщение групп в другом направлении; операция в квазигруппе не обязательно должна быть ассоциативной, но квазигруппы сохраняют от групп понятие деления . Деление на полугруппы (или на моноиды) вообще невозможно.
Формальное изучение полугрупп началось в начале 20 века. Ранние результаты включают теорему Кэли для полугрупп , реализующую любую полугруппу как полугруппу преобразований , в которой произвольные функции заменяют роль биекций из теории групп. Глубоким результатом в классификации конечных полугрупп является теория Крона–Родса , аналогичная разложению Жордана–Гельдера для конечных групп. Некоторые другие методы изучения полугрупп, такие как отношения Грина , не похожи ни на что в теории групп.
Теория конечных полугрупп имеет особое значение в теоретической информатике с 1950-х годов из-за естественной связи между конечными полугруппами и конечными автоматами через синтаксический моноид . В теории вероятностей полугруппы связаны с марковскими процессами . [1] В других областях прикладной математики полугруппы являются фундаментальными моделями линейных стационарных систем . В уравнениях с частными производными полугруппа связана с любым уравнением, пространственное развитие которого не зависит от времени.
