Фильтрованная алгебра

В математике , фильтрованная алгебра является обобщением понятия градуированной алгебры . Примеры появляются во многих разделах математики , особенно в гомологической алгебре и теории представлений .

Отфильтрованная алгебра над полем - это алгебра над, которая имеет возрастающую последовательность подпространств таких, что ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle (А, \ cdot)}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ {0 \} \ substeq F_ {0} \ substeq F_ {1} \ substeq \ cdots \ substeq F_ {i} \ substeq \ cdots \ substeq A}$ ${\ displaystyle A}$

{\ Displaystyle А = \ bigcup _ {я \ в \ mathbb {N}} F_ {я}}

и это совместимо с умножением в следующем смысле:

{\ displaystyle \ forall m, n \ in \ mathbb {N}, \ qquad F_ {m} \ cdot F_ {n} \ substeq F_ {n + m}.}

Ассоциированная градуированная алгебра [ править ]

В общем, существует следующая конструкция, которая производит градуированную алгебру из фильтрованной алгебры.

Если это фильтрованная алгебра, то соответствующая градуированная алгебра определяется следующим образом: ${\ displaystyle A}$ ${\mathcal {G}}(A)$

Как векторное пространство
${\mathcal {G}}(A)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }G_{n}\,,$
где,
$G_{0}=F_{0},$ а также
$\forall n>0,\quad G_{n}=F_{n}/F_{n-1}\,,$
умножение определяется как
$(x+F_{n-1})(y+F_{m-1})=x\cdot y+F_{n+m-1}$
для всех и . (Точнее, карта умножения складывается из карт $x\in F_{n}$ $y\in F_{m}$ ${\mathcal {G}}(A)\times {\mathcal {G}}(A)\to {\mathcal {G}}(A)$
$(F_{n}/F_{n-1})\times (F_{m}/F_{m-1})\to F_{n+m}/F_{n+m-1},\ \ \ \ \ \left(x+F_{n-1},y+F_{m-1}\right)\mapsto x\cdot y+F_{n+m-1}$
для всех и .) $n\geq 0$ $m\geq 0$

Умножение корректно определено и жертвует со структурой градуированной алгебры, с градацией Кроме того , если есть ассоциативные то и . Также, если он унитальный, то есть в нем лежит единица , то он тоже будет единым. ${\mathcal {G}}(A)$ $\{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }.$ $A$ ${\mathcal {G}}(A)$ $A$ $F_{0}$ ${\mathcal {G}}(A)$

Как алгебры и различны (за исключением градуированного тривиального случая ), но как векторные пространства они изоморфны . ^[^{необходима цитата}^] $A$ ${\mathcal {G}}(A)$ $A$

Примеры [ править ]

Любая градуированная алгебра , например , градуированная , имеет фильтрацию, заданную как . ${\textstyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$ ${\textstyle F_{n}=\bigoplus _{i=0}^{n}A_{i}}$

Пример фильтрованной алгебры является алгебра Клиффорда векторного пространства , наделенного квадратичной формы ассоциированной градуированной алгебры , тем внешняя алгебра из $\operatorname {Cliff} (V,q)$ $V$ $q.$ $\bigwedge V$ $V.$

Симметричная алгебра на сопряженном из аффинного пространства является фильтрованной алгеброй многочленов; в векторном пространстве вместо этого получается градуированная алгебра.

Универсальная обертывающая из алгебры Ли также , естественно , фильтруется. Теорема PBW утверждает, что ассоциированная градуированная алгебра проста . ${\mathfrak {g}}$ $\mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}})$

Скалярные дифференциальные операторы на многообразии образуют фильтрованную алгебру, где фильтрация задается степенью дифференциальных операторов. Ассоциированная градуированная алгебра - это коммутативная алгебра гладких функций на кокасательном расслоении , полиномиальных вдоль слоев проекции . $M$ $T^{*}M$ $\pi \colon T^{*}M\rightarrow M$

Групповая алгебра группы с функцией длиной является фильтрованной алгеброй.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Абэ, Эйити (1980). Алгебры Хопфа . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-22240-0.

Эта статья включает материал из Filtered algebra on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .