Кольцо с градуировкой

---

В математике , в частности в абстрактной алгебре , градуированное кольцо — это такое кольцо , что базовая аддитивная группа представляет собой прямую сумму абелевых групп , таких что . Набор индексов обычно представляет собой набор неотрицательных целых чисел или набор целых чисел, но может быть любым моноидом . Разложение прямой суммы обычно называют градацией или градацией .${\ Displaystyle R_ {я}}$${\ displaystyle R_ {i} R_ {j} \ subseteq R_ {i + j}}$

Подобным образом определяется градуированный модуль (точное определение см. ниже). Он обобщает градуированные векторные пространства . Градуированный модуль, который также является градуированным кольцом, называется градуированной алгеброй . Градуированное кольцо также можно рассматривать как градуированную -алгебру.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Ассоциативность не важна (фактически вообще не используется) в определении градуированного кольца ; следовательно, это понятие применимо и к неассоциативным алгебрам ; например, можно рассмотреть градуированную алгебру Ли .

Как правило, набор индексов градуированного кольца считается набором неотрицательных целых чисел, если явно не указано иное. Это случай в этой статье.

для всех неотрицательных целых чисел и .${\ Displaystyle м}$${\ Displaystyle п}$

Ненулевой элемент называется однородным степени . По определению прямой суммы каждый ненулевой элемент можно однозначно записать в виде суммы, где каждый равен 0 или однороден степени . Отличные от нуля однородные компоненты  .${\ Displaystyle R_ {п}}$ ${\ Displaystyle п}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$

---