Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Чтобы узнать о других значениях, см. Эффект бабочки (значения) .
График странного аттрактора Лоренца для значений ρ = 28, σ = 10, β = 8/3. Эффект бабочки или чувствительная зависимость от начальных условий - это свойство динамической системы, что, начиная с любого из различных произвольно близких альтернативных начальных условий на аттракторе, повторяемые точки будут произвольно удалены друг от друга.
Экспериментальная демонстрация эффекта бабочки с разными записями одного и того же двойного маятника. В каждой записи маятник начинается почти с одинакового начального состояния. Со временем различия в динамике растут от почти незаметных до резких.

В теории хаоса , то эффект бабочки является чувствительной зависимостью от начальных условий , в которых небольшое изменение одного состояния детерминированной нелинейной системы может привести к большим различиям в более позднем состоянии.

Термин « эффект бабочки» тесно связан с работами Эдварда Лоренца . Он получен из метафорического примера того, как детали торнадо (точное время образования, точный путь) находились под влиянием незначительных возмущений, таких как далекая бабочка, хлопающая крыльями несколькими неделями ранее. Лоренц обнаружил эффект, когда он наблюдал прогоны своей модели погоды с данными начальных условий, которые были округлены, казалось бы, несущественным образом. Он отметил, что погодная модель не сможет воспроизвести результаты прогонов с необоснованными данными о начальных условиях. Очень небольшое изменение начальных условий привело к существенно иному результату. [1]

Идея о том, что небольшие причины могут иметь большое влияние на погоду, была ранее признана французским математиком и инженером Анри Пуанкаре . Американский математик и философ Норберт Винер также внес свой вклад в эту теорию. Эдвард Лоренц работа «s поместил понятие нестабильности земной атмосферы на количественной основе и связано понятие неустойчивости свойств больших классов динамических систем, подвергающихся нелинейную динамику и детерминированный хаос . [2]

История [ править ]

В «Призвании человека» (1800) Иоганн Готлиб Фихте говорит, что «невозможно удалить ни одной песчинки с ее места, не изменив тем самым что-то во всех частях неизмеримого целого».

Теория хаоса и чувствительная зависимость от начальных условий описаны во множестве литературных источников. Об этом свидетельствует случай задачи трех тел по Анри Пуанкаре в 1890 году [3] Позже он предположил , что такие явления могут быть распространены, например, в метеорологии. [4]

В 1898 году Жак Адамар отметил общее расхождение траекторий в пространствах отрицательной кривизны. Пьер Дюгем обсуждал возможное общее значение этого в 1908 г. [3]

Идея о том, что смерть одной бабочки может в конечном итоге оказать далеко идущее влияние на последующие исторические события, впервые появилась в рассказе Рэя Брэдбери « Звук грома » 1952 года . «Звук грома» обсуждал вероятность путешествия во времени. [5]

В 1961 году Лоренц запускал числовую компьютерную модель, чтобы сократить прогноз погоды из середины предыдущего запуска. Он ввел начальное условие 0,506 из распечатки вместо того, чтобы ввести значение 0,506127 с полной точностью. В результате получился совершенно другой сценарий погоды. [6]

Лоренц писал:

«В какой-то момент я решил повторить некоторые вычисления, чтобы изучить происходящее более подробно. Я остановил компьютер, набрал строку чисел, которую он распечатал некоторое время назад, и снова запустил его. спустился в холл за чашкой кофе и вернулся примерно через час, за это время компьютер смоделировал около двух месяцев погоды. Напечатанные числа не были похожи на старые. Я сразу заподозрил слабую вакуумную лампу или что-то еще. проблемы с компьютером, что было нередко, но перед тем, как обратиться в сервисную службу, я решил посмотреть, где именно произошла ошибка, зная, что это может ускорить процесс обслуживания. Вместо внезапного сбоя я обнаружил, что новые значения сначала повторяли старые, но вскоре отличающиеся на одну, а затем на несколько единиц в последнем десятичном разряде,а затем стали отличаться предпоследним местом, а затем местом перед этим. Фактически, разница более или менее стабильно удваивалась каждые четыре дня или около того, пока все сходство с исходным результатом не исчезло где-то во втором месяце. Этого было достаточно, чтобы сказать мне, что произошло: числа, которые я ввел, не были точными исходными числами, а были округленными значениями, появившимися в исходной распечатке. Виноваты первоначальные ошибки округления; они неуклонно усиливались, пока не стали доминировать над решением »(EN Lorenz,Этого было достаточно, чтобы сказать мне, что произошло: числа, которые я ввел, не были точными исходными числами, а были округленными значениями, появившимися в исходной распечатке. Виноваты первоначальные ошибки округления; они неуклонно усиливались, пока не стали доминировать над решением »(EN Lorenz,Этого было достаточно, чтобы сказать мне, что произошло: числа, которые я ввел, не были точными исходными числами, а были округленными значениями, появившимися в исходной распечатке. Виноваты первоначальные ошибки округления; они неуклонно усиливались, пока не стали доминировать над решением »(EN Lorenz,Сущность Хаоса , Вашингтон Пресс, Сиэтл (1993), стр. 134) [7]

В 1963 году Лоренц опубликовал теоретическое исследование этого эффекта в широко цитируемой основополагающей статье под названием « Детерминированный непериодический поток» [8] [9] (расчеты были выполнены на компьютере Royal McBee LGP-30 ). [10] [11] В другом месте он заявил:

Один метеоролог заметил, что, если теория верна, одного взмаха крыльев чайки было бы достаточно, чтобы навсегда изменить ход погоды. Противоречие еще не урегулировано, но самые последние свидетельства, кажется, говорят в пользу чаек. [11]

Следуя предложениям коллег, в более поздних выступлениях и статьях Лоренц использовал более поэтичную бабочку . По словам Лоренца, когда ему не удалось придумать название для выступления, которое он должен был представить на 139-м заседании Американской ассоциации содействия развитию науки в 1972 году, Филип Меррилес придумал, вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо. в Техасе? как заголовок. [12] Хотя бабочка, машущая крыльями, оставалась неизменной в выражении этой концепции, местоположение бабочки, последствия и место последствий сильно различались. [13]

Эта фраза относится к идее, что крылья бабочки могут создавать крошечные изменения в атмосфере, которые в конечном итоге могут изменить путь торнадо или задержать, ускорить или даже предотвратить возникновение торнадо в другом месте. Бабочка не приводит в действие и не создает торнадо напрямую, но этот термин предназначен для обозначения того, что взмах крыльев бабочки может вызвать торнадо: в том смысле, что взмах крыльев является частью начальных условий взаимодействия. связная сложная паутина; один набор условий приводит к торнадо, а другой - нет. Хлопающее крыло представляет собой небольшое изменение начального состояния системы, которое ведет к крупномасштабным изменениям событий (сравните: эффект домино). Если бы бабочка не махала крыльями, траектория движения системы могла бы сильно отличаться - но также в равной степени возможно, что набор условий без махающей крыльями бабочки - это набор, который приводит к торнадо.

Эффект бабочки представляет собой очевидную проблему для прогнозирования, поскольку начальные условия для системы, такие как погода, никогда не могут быть известны с полной точностью. Эта проблема побудила к развитию ансамблевого прогнозирования , в котором ряд прогнозов делается на основе возмущенных начальных условий. [14]

Некоторые ученые с тех пор утверждали, что погодная система не так чувствительна к начальным условиям, как считалось ранее. [15] Дэвид Оррелл утверждает, что основной причиной ошибки прогноза погоды является ошибка модели, при этом чувствительность к начальным условиям играет относительно небольшую роль. [16] [17] Стивен Вольфрам также отмечает, что уравнения Лоренца сильно упрощены и не содержат членов, которые представляют вязкие эффекты; он считает, что эти члены будут иметь тенденцию гасить небольшие возмущения. [18]

В то время как «эффект бабочки» часто объясняется как синоним чувствительной зависимости от начальных условий, описанной Лоренцем в его статье 1963 года (и ранее наблюдавшейся Пуанкаре), метафора бабочки первоначально применялась [19] к работе, которую он опубликовал в 1969 [20]что продвинуло идею дальше. Лоренц предложил математическую модель того, как крошечные движения в атмосфере влияют на более крупные системы. Он обнаружил, что системы в этой модели могут быть предсказаны только до определенной точки в будущем, и кроме того, уменьшение ошибки в начальных условиях не повысит предсказуемость (пока ошибка не равна нулю). Это продемонстрировало, что детерминированная система может быть «неотличима с наблюдений» от недетерминированной с точки зрения предсказуемости. Недавние пересмотры этой статьи показывают, что она бросила серьезный вызов идее о детерминированности нашей Вселенной, сравнимую с проблемами, предлагаемыми квантовой физикой. [21] [22]

Иллюстрация [ править ]

Эффект бабочки в аттракторе Лоренца
время 0 ≤  t  ≤ 30 (больше)координата z (больше)
На этих рисунках показаны два сегмента трехмерной эволюции двух траекторий (одна синяя, а другая желтая) за один и тот же период времени в аттракторе Лоренца, начиная с двух начальных точек, которые отличаются только на 10 −5 в x -координат. Первоначально две траектории кажутся совпадающими, на что указывает небольшая разница между координатой z синей и желтой траекторий, но для t  > 23 разница равна значению траектории. Окончательное положение конусов указывает на то, что две траектории больше не совпадают при t  = 30.
Анимация аттрактора Лоренца показывает непрерывную эволюцию.

Теория и математическое определение [ править ]

Повторяемость , приблизительное возвращение системы к ее начальным условиям, вместе с чувствительной зависимостью от начальных условий, являются двумя основными составляющими хаотического движения. Они имеют практическое следствие того, что сложные системы , такие как погоду , трудно предсказать за определенный период времени (примерно неделю в случае погоды), поскольку невозможно полностью точно измерить начальные атмосферные условия.

Динамическая система отображает чувствительная зависимость от начальных условий , если точки , сколь угодно близко друг к другу отдельно с течением времени с экспоненциальной скоростью. Определение не топологическое, а по сути метрическое.

Если M - пространство состояний для карты , то показывает чувствительную зависимость от начальных условий, если для любого x в M и любого δ> 0 есть y в M с расстоянием d (.,.), Такое что и такое, что

для некоторого положительного параметра a . Определение не требует, чтобы все точки из окрестности были отделены от базовой точки x , но требует одного положительного показателя Ляпунова .

Простейшая математическая структура, показывающая чувствительную зависимость от начальных условий, обеспечивается определенной параметризацией логистической карты :

которая, в отличие от большинства хаотических карт, имеет решение в замкнутой форме :

где начальное условие параметр задается . Для рациональных , после конечного числа итераций отображается в периодическую последовательность . Но почти все иррациональны, а, иррациональным , никогда не повторяется - это непериодическое. Это уравнение решения ясно демонстрирует две ключевые особенности хаоса - растяжение и сворачивание: множитель 2 n показывает экспоненциальный рост растяжения, что приводит к чувствительной зависимости от начальных условий (эффект бабочки), в то время как функция квадрата синуса остается свернутой в пределах диапазон [0, 1].

В физических системах [ править ]

В погоду [ править ]

Эффект бабочки наиболее известен с точки зрения погоды ; это может быть легко продемонстрировано, например, в стандартных моделях прогнозирования погоды. Ученые-климатологи Джеймс Аннан и Уильям Коннолли объясняют, что хаос важен в развитии методов прогнозирования погоды; модели чувствительны к начальным условиям. Они добавляют предостережение: «Конечно, существование неизвестной бабочки, машущей крыльями, не имеет прямого отношения к прогнозам погоды, так как такое небольшое возмущение займет слишком много времени, чтобы вырасти до значительных размеров, а у нас есть еще много более непосредственных результатов. неопределенности, о которых нужно беспокоиться. Так что прямое влияние этого явления на прогноз погоды часто несколько неверно ". [23]

В квантовой механике [ править ]

Возможность чувствительной зависимости от начальных условий (эффект бабочки) изучалась в ряде случаев в полуклассической и квантовой физике, включая атомы в сильных полях и анизотропную проблему Кеплера . [24] [25] Некоторые авторы утверждали, что экстремальная (экспоненциальная) зависимость от начальных условий не ожидается в чисто квантовых подходах; [26] [27], однако, чувствительная зависимость от начальных условий, продемонстрированная в классическом движении, включена в полуклассические методы, разработанные Мартином Гуцвиллером [28] и Делосом с сотрудниками. [29]Теория случайных матриц и моделирование с помощью квантовых компьютеров доказывают, что некоторых версий эффекта бабочки в квантовой механике не существует. [30]

Другие авторы предполагают, что эффект бабочки можно наблюдать в квантовых системах. Каркушевский и др. рассмотрим временную эволюцию квантовых систем, имеющих несколько разные гамильтонианы . Они исследуют уровень чувствительности квантовых систем к небольшим изменениям данных гамильтонианов. [31] Poulin et al. представили квантовый алгоритм для измерения распада верности, который «измеряет скорость, с которой идентичные начальные состояния расходятся, когда они подвергаются немного разной динамике». Они считают распад верности «ближайшим квантовым аналогом (чисто классического) эффекта бабочки».[32] В то время как классический эффект бабочки рассматривает эффект небольшого изменения положения и / или скорости объекта в данной гамильтоновой системе, эффект квантовой бабочки учитывает эффект небольшого изменения гамильтоновой системы с заданными начальным положением и скоростью. [33] [34] Этот эффект квантовой бабочки был продемонстрирован экспериментально. [35] Квантовые и полуклассические трактовки чувствительности системы к начальным условиям известны как квантовый хаос . [26] [33]

В популярной культуре [ править ]

Основная статья: Эффект бабочки в популярной культуре

Журналист Питер Дизикес, писавший в The Boston Globe в 2008 году, отмечает, что популярной культуре нравится идея эффекта бабочки, но она ошибается. В то время как Лоренц правильно предположил с помощью своей метафоры с бабочкой, что предсказуемость «по своей сути ограничена», популярная культура предполагает, что каждое событие можно объяснить, найдя небольшие причины, которые его вызвали. Дизикес объясняет: «Это говорит о нашем более широком ожидании того, что мир должен быть понятным - что все происходит по определенной причине, и что мы можем точно определить все эти причины, какими бы незначительными они ни были. Но сама природа бросает вызов этому ожиданию». [36]

См. Также [ править ]

  • Актуальность и потенциальность
  • Эффект лавины
  • Поведенческий куспид
  • Эффект бабочки в массовой культуре
  • Каскадный отказ
  • Причинно-следственная связь
  • Цепная реакция
  • Клапотис
  • Детерминизм
  • эффект домино
  • Динамические системы
  • Фрактал
  • Великая полемика
  • Инновационная бабочка
  • Синдром Кесслера
  • Закон непредвиденных последствий
  • Купол Нортона
  • Точка расхождения
  • Положительный отзыв
  • Эвристика репрезентативности
  • Волновой эффект
  • Эффект снежного кома
  • Заторы на дорогах
  • Тропический циклогенез

Ссылки [ править ]

  1. ^ Лоренц, Эдвард Н. (март 1963 г.). «Детерминированный непериодический поток» . Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode : 1963JAtS ... 20..130L . DOI : 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: dnf> 2.0.co; 2 .
  2. ^ "Эффект бабочки - Scholarpedia" . www.scholarpedia.org . Архивировано 2 января 2016 года . Проверено 2 января 2016 .
  3. ^ Б Некоторые исторические примечания: История теории хаоса архивации 2006-07-19 в Wayback Machine
  4. ^ Стивс, Бонни; Мацеевский, AJ (сентябрь 2001 г.). Беспокойная Вселенная. Приложения динамики гравитационных N-тел к планетным звездным и галактическим системам . США: CRC Press. ISBN 0750308222. Проверено 6 января 2014 года .
  5. ^ Флам, Фэй (2012-06-15). "Физика" Рэя Брэдбери "Звук грома " " . The Philadelphia Inquirer . Архивировано 24 сентября 2015 года . Проверено 2 сентября 2015 .
  6. ^ Глейк, Джеймс (1987). Хаос: создание новой науки . Викинг. п. 16. ISBN 0-8133-4085-3.
  7. ^ Motter, Adilson E .; Кэмпбелл, Дэвид К. (2013). «Хаос в пятьдесят». Физика сегодня . 66 (5): 27–33. arXiv : 1306,5777 . Bibcode : 2013PhT .... 66e..27M . DOI : 10.1063 / PT.3.1977 . S2CID 54005470 . 
  8. ^ Лоренц, Эдвард Н. (март 1963 г.). «Детерминированный непериодический поток» . Журнал атмосферных наук . 20 (2): 130–141. Bibcode : 1963JAtS ... 20..130L . DOI : 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 . ISSN 1520-0469 . 
  9. ^ Запись цитирования Google Scholar
  10. ^ "Part19" . Cs.ualberta.ca. 1960-11-22. Архивировано 17 июля 2009 года . Проверено 8 июня 2014 .
  11. ^ a b Лоренц, Эдвард Н. (1963). «Предсказуемость гидродинамического потока» (PDF) . Труды Нью-Йоркской академии наук . 25 (4): 409–432. DOI : 10.1111 / j.2164-0947.1963.tb01464.x . Архивировано 10 октября 2014 года (PDF) . Проверено 1 сентября 2014 года .
  12. ↑ Лоренц: «Предсказуемость», 139-е собрание AAAS, 1972 г. Архивировано 12 июня 2013 г. на Wayback Machine. Проверено 22 мая 2015 г.
  13. ^ «Эффекты бабочки: вариации на тему мема» . AP42 ... и все такое . Архивировано из оригинального 11 ноября 2011 года . Проверено 3 августа 2011 года .
  14. ^ Вудс, Остин (2005). Среднесрочный прогноз погоды: европейский подход; Рассказ Европейского центра среднесрочных прогнозов погоды . Нью-Йорк: Спрингер. п. 118 . ISBN 978-0387269283.
  15. ^ Оррелл, Дэвид; Смит, Леонард; Баркмейер, Ян; Палмер, Тим (2001). «Модельная ошибка в прогнозировании погоды» . Нелинейные процессы в геофизике . 9 (6): 357–371. Bibcode : 2001NPGeo ... 8..357O . DOI : 10.5194 / NPG-8-357-2001 .
  16. ^ Оррелл, Дэвид (2002). «Роль метрики в росте ошибок прогнозов: насколько хаотична погода?» . Теллус . 54А (4): 350–362. Bibcode : 2002TellA..54..350O . DOI : 10.3402 / tellusa.v54i4.12159 .
  17. ^ Оррелл, Дэвид (2012). Правда или красота: наука и поиски порядка . Нью-Хейвен: издательство Йельского университета. п. 208. ISBN 978-0300186611.
  18. ^ Вольфрам, Стивен (2002). Новый вид науки . Wolfram Media. п. 998 . ISBN 978-1579550080.
  19. ↑ Лоренц: «Предсказуемость», 139-е собрание AAAS, 1972 г. Архивировано 12 июня 2013 г. на Wayback Machine. Проверено 22 мая 2015 г.
  20. ^ Лоренц, Эдвард Н. (июнь 1969). «Предсказуемость потока, обладающего многими масштабами движения». Теллус . XXI (3): 289–297. Bibcode : 1969TellA..21..289L . DOI : 10.1111 / j.2153-3490.1969.tb00444.x .
  21. ↑ Тим, Палмер (19 мая 2017 г.). "Эффект бабочки - что он на самом деле означает?" . Канал на Youtube кафедры математики Оксфордского университета . Проверено 13 февраля 2019 .
  22. ↑ Эмануэль, Керри (26 марта 2018 г.). «Эдвард Н. Лоренц и конец картезианской вселенной» . Канал Департамента наук о Земле, атмосфере и планетах Массачусетского технологического института на Youtube . Проверено 13 февраля 2019 .
  23. ^ «Хаос и климат» . RealClimate. Архивировано 2 июля 2014 года . Проверено 8 июня 2014 .
  24. ^ Heller, EJ; Томсович, С. (июль 1993 г.). «Постмодернистская квантовая механика». Физика сегодня . 46 (7): 38–46. Bibcode : 1993PhT .... 46g..38H . DOI : 10.1063 / 1.881358 .
  25. ^ Gutzwiller, Martin C. (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97173-4.
  26. ^ a b Рудник, Зеев (январь 2008 г.). «Что такое ... квантовый хаос» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . Архивировано (PDF) из оригинала на 2009-10-02.
  27. ^ Берри, Майкл (1989). «Квантовая хаология, а не квантовый хаос». Physica Scripta . 40 (3): 335–336. Bibcode : 1989PhyS ... 40..335B . DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 40/3/013 .
  28. ^ Gutzwiller, Martin C. (1971). «Периодические орбиты и классические условия квантования». Журнал математической физики . 12 (3): 343. Bibcode : 1971JMP .... 12..343G . DOI : 10.1063 / 1.1665596 .
  29. Перейти ↑ Gao, J. & Delos, JB (1992). «Замкнутая теория колебаний в сечениях фотопоглощения атомов в сильном электрическом поле. II. Вывод формул». Physical Review . 46 (3): 1455–1467. Bibcode : 1992PhRvA..46.1455G . DOI : 10.1103 / PhysRevA.46.1455 . PMID 9908268 . 
  30. ^ Ян, Бен; Синицын, Николай А. (2020). «Восстановление поврежденной информации и несвоевременные корреляторы». Письма с физическим обзором . 125 (4): 040605. arXiv : 2003.07267 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.125.040605 . PMID 32794812 . S2CID 212725801 .  
  31. ^ Каркушевский, Збышек П .; Ярзинский, Кристофер; Журек, Войцех Х. (2002). «Квантовые хаотические среды, эффект бабочки и декогеренция». Письма с физическим обзором . 89 (17): 170405. Arxiv : колич-фот / 0111002 . Bibcode : 2002PhRvL..89q0405K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.89.170405 . PMID 12398653 . S2CID 33363344 .  
  32. ^ Пулин, Дэвид; Блюм-Когоут, Робин; Лафламм, Раймонд и Оливье, Гарольд (2004). «Экспоненциальное ускорение с помощью одного бита квантовой информации: измерение среднего спада точности». Письма с физическим обзором . 92 (17): 177906. Arxiv : колич-фот / 0310038 . Bibcode : 2004PhRvL..92q7906P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.92.177906 . PMID 15169196 . S2CID 6218604 .  
  33. ^ a b Пулен, Дэвид. «Грубый путеводитель по квантовому хаосу» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 04.11.2010.
  34. Перейти ↑ Peres, A. (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Дордрехт: Kluwer Academic.
  35. Перейти ↑ Lee, Jae-Seung & Khitrin, AK (2004). «Квантовый усилитель: Измерение с запутанными спинами». Журнал химической физики . 121 (9): 3949–51. Bibcode : 2004JChPh.121.3949L . DOI : 10.1063 / 1.1788661 . PMID 15332940 . 
  36. ^ Dizikes, Petyer (8 июня 2008). «Значение бабочки» . Бостон Глоуб . Архивировано 18 апреля 2016 года . Проверено 8 июня +2016 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Джеймс Глейк , Хаос: создание новой науки , Нью-Йорк: Викинг, 1987. 368 с.
  • Девани, Роберт Л. (2003). Введение в хаотические динамические системы . Westview Press. ISBN 0670811785.
  • Хилборн, Роберт С. (2004). «Чайки, бабочки и кузнечики: краткая история эффекта бабочки в нелинейной динамике». Американский журнал физики . 72 (4): 425–427. Bibcode : 2004AmJPh..72..425H . DOI : 10.1119 / 1.1636492 .
  • Брэдбери, Рэй. «Звук грома». Кольера. 28 июня 1952 г.

Внешние ссылки [ править ]

  • Погода и хаос: работа Эдварда Н. Лоренца . Короткий документальный фильм, объясняющий «эффект бабочки» в контексте работы Лоренца.
  • Гипертекстовый книгу Хаоса . Введение в хаос и фракталы
  • Значение бабочки: почему поп-культура любит «эффект бабочки» и понимает это совершенно неправильно , Питер Дизикес, The Boston Globe , 8 июня 2008 г.
  • Институт сложных систем Новой Англии - Концепции: эффект бабочки
  • Гипертекстовый книгу Хаоса . Введение в хаос и фракталы
  • ChaosBook.org . Учебник для выпускников по хаосу (без фракталов)
  • Вайсштейн, Эрик В. «Эффект бабочки» . MathWorld .