Обыкновенное дифференциальное уравнение
В математике обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) — это дифференциальное уравнение , содержащее одну или несколько функций одной независимой переменной и производные этих функций. [1] Термин « обычное » используется в отличие от термина « уравнение в частных производных», которое может относиться к более чем одной независимой переменной. [2]
Линейное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое определяется линейным многочленом от неизвестной функции и ее производных, то есть уравнение вида
где , ... и - произвольные дифференцируемые функции , которые не обязательно должны быть линейными, и являются последовательными производными неизвестной функции y от переменной x .
Среди обыкновенных дифференциальных уравнений линейные дифференциальные уравнения играют заметную роль по нескольким причинам. Большинство элементарных и специальных функций, встречающихся в физике и прикладной математике , являются решениями линейных дифференциальных уравнений (см. Голономическая функция ). Когда физические явления моделируются нелинейными уравнениями, они обычно аппроксимируются линейными дифференциальными уравнениями для более простого решения. Несколько нелинейных ОДУ, которые можно решить явно, обычно решаются путем преобразования уравнения в эквивалентное линейное ОДУ (см., например, уравнение Риккати ).
Некоторые ОДУ могут быть решены явно через известные функции и интегралы . Когда это невозможно, может быть полезно уравнение для вычисления ряда Тейлора решений. Для прикладных задач численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений могут дать аппроксимацию решения.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) возникают во многих контекстах математики, социальных и естественных наук. Математические описания изменений используют дифференциалы и производные. Различные дифференциалы, производные и функции связываются через уравнения, так что дифференциальное уравнение является результатом, описывающим динамически изменяющиеся явления, эволюцию и вариации. Часто величины определяются как скорость изменения других величин (например, производных смещения по времени) или градиенты величин, так они входят в дифференциальные уравнения.
