Система импримитивности
Понятие системы импримитивности используется в математике , в частности в алгебре и анализе , как в контексте теории представлений групп . Он был использован Джорджем Макки в качестве основы для его теории индуцированных унитарных представлений локально компактных групп .
Самый простой случай и контекст, в котором эта идея была впервые замечена, - это конечные группы (см. Примитивная группа перестановок ). Рассмотрим группу G и подгруппы H и K , где K содержится в H . Тогда каждый из левых смежных классов по H в G является объединением левых смежных классов по K . Не только это, но и перевод (с одной стороны) любым элементом g группы G соблюдает это разложение. Связь с индуцированными представлениями состоит в том, что перестановочное представлениена смежных классах - это частный случай индуцированного представления, в котором представление индуцируется из тривиального представления . Структура, в данном случае комбинаторная, соблюдаемая трансляцией, показывает, что либо K — максимальная подгруппа группы G , либо имеет место система импримитивности (грубо говоря, отсутствие полного «перемешивания»). Чтобы обобщить это на другие случаи, понятие переформулируется: сначала в терминах функций на G , постоянных на K -классах, а затем в терминах проекционных операторов (например, усреднение по K -классам классов элементов группы алгебра ).
Макки также использовал эту идею для объяснения теории квантования, основанной на сохранении групп относительности, действующих на конфигурационном пространстве . Эта обобщенная работа Юджина Вигнера и других часто считается одной из новаторских идей в каноническом квантовании .
Чтобы мотивировать общие определения, сначала формулируется определение для случая конечных групп и их представлений на конечномерных векторных пространствах .
Если G — конечная группа и U — представление группы G в конечномерном комплексном векторном пространстве H . Действие G на элементы H индуцирует действие G на векторные подпространства W пространства H следующим образом:
Если действие G на элементы X транзитивно , то мы говорим, что это транзитивная система импримитивности.
