В математике , группа подстановок G действует на непустую конечное множество X называется примитивной , если G действует транзитивно на X и G не сохраняет не нетривиального разбиения на X , где нетривиальный раздел означает раздел , который не является разбиение на одноэлементные множества или разбиение на один установ X . В противном случае, если G транзитивна и G действительно сохраняет нетривиальное разбиение, G называется импримитивной .
Хотя примитивные группы перестановок транзитивны по определению, не все транзитивные группы перестановок примитивны. Требование транзитивности примитивной группы необходимо только тогда, когда X - 2-элементное множество и действие тривиально; в противном случае из условия, что G не сохраняет нетривиальное разбиение, следует, что G транзитивна. Это потому , что для не-транзитивные действия либо орбиты из G образуют ненулевую перегородку , сохраняемые G , или действие группы тривиально, и в этом случае любой нетривиальной разбиение X (который существует для | X | ≥ 3 ) сохраняется при G .
Эта терминология была введена Эваристом Галуа в его последнем письме, в котором он использовал французский термин équation primitive для уравнения, группа Галуа которого примитивна. [1]
В том же письме он сформулировал также следующую теорему.
Если G примитивная разрешимая группа, действующая на конечном множестве X , то порядок X является степенью простого числа p , X может быть отождествлен с аффинным пространством над конечным полем с p элементами, а G действует на X как подгруппа аффинной группы .
Импримитивная группа перестановок является примером индуцированного представления ; примеры включают представления смежных классов G / H в случаях, когда H не является максимальной подгруппой . Когда H максимальна, представление смежного класса примитивно.
Если множество X конечно, его мощность называется степень из G . Количество примитивных групп малой степени было определено Робертом Кармайклом в 1937 году:
Степень | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 год | 22 | 23 | 24 | OEIS |
Число | 1 | 2 | 2 | 5 | 4 | 7 | 7 | 11 | 9 | 8 | 6 | 9 | 4 | 6 | 22 | 10 | 4 | 8 | 4 | 9 | 4 | 7 | 5 | A000019 |
Существует большое количество примитивных групп степени 16. Как отмечает Кармайкл, все эти группы, за исключением симметрической и знакопеременной группы, являются подгруппами аффинной группы в 4-мерном пространстве над 2-элементным конечным полем .
Примеры [ править ]
- Рассмотрим симметрическую группу, действующую на множестве, и перестановку
Оба и группа, порожденная, являются примитивными.
- Теперь рассмотрим симметрическую группу, действующую на множестве, и перестановку
Группа, порожденная с помощью , не является примитивной, так как раздел, где и сохраняется под , т.е. и .
- Каждая транзитивная группа простой степени примитивна
- Симметрическая группа , действующая на множестве примитивно для каждого п и знакопеременной группы , действующая на множестве примитивно для каждого п > 2.
См. Также [ править ]
- Блок (теория групп перестановок)
- Теорема Жордана (симметрическая группа)
- Теорема О'Нана – Скотта , классификация конечных примитивных групп на различные типы.
Ссылки [ править ]
- ^ Последнее письмо Галуа: http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament
- Рони-Дугал, Колва М. Примитивные группы перестановок степени меньше 2500 , Журнал алгебры 292 (2005), вып. 1, 154–183.
- В GAP Библиотека данных «Примитивные группы подстановок» .
- Кармайкл, Роберт Д., Введение в теорию групп конечного порядка. Джинн, Бостон, 1937. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1956.
- Тодд Роуленд. «Первобытное групповое действие» . MathWorld .