Кармайкл родился в Гудуотере, штат Алабама . Некоторое время он учился в колледже Лайнвилля и получил степень бакалавра в 1898 году, когда готовился к докторской степени. степень в Принстонском университете . Кармайкл выполнил требования для получения докторской степени. по математике в 1911 году. Доктор философии Кармайкла. исследования в области математики проводились под руководством известного американского математика Г. Дэвида Биркгофа и считаются первым значительным вкладом Америки в познание дифференциальных уравнений в математике.
Затем Кармайкл преподавал в Университете Индианы с 1911 по 1915 год. Затем он перешел в Университет Иллинойса , где оставался с 1915 года до выхода на пенсию в 1947 году.
Кармайкл известен своими исследованиями того, что сейчас называется числами Кармайкла (подмножество псевдопростых чисел Ферма , чисел, удовлетворяющих свойствам простых чисел, описанных в Малой теореме Ферма, хотя они и не являются простыми), гипотезой Кармайкла о тотиентной функции , теоремой Кармайкла и функцией Кармайкла . , все важные в теории чисел и в изучении простых чисел . Он нашел наименьшее число Кармайкла, 561, и более 50 лет спустя было доказано, что их бесконечно много. Кармайкл также описал систему Штейнера S (5,8,24) в своей статье 1931 года.Tactical Configurations of Rank 2 и его книгу 1937 года Introduction to the Theory of Groups of Finite Order , но структуру часто называют в честь Эрнста Витта , заново открывшего ее в 1938 году.