Ромбоэдр

Ромбоэдр

Тип	призма
Лица	6 ромбов
Края	12
Вершины	8
Группа симметрии	C _i , [2⁺ , 2⁺ ], (×), порядок 2
Характеристики	выпуклый , зоноэдр

В геометрии , A ромбоэдр (также называемый ромбические шестигранники ) представляет собой трехмерную фигуру как параллелепипеда (также называемый прямоугольный параллелепипед), за исключением того, что его грани не являются прямоугольниками , но ромбы . Это частный случай параллелепипеда, в котором все ребра имеют одинаковую длину. Его можно использовать для определения системы ромбоэдрической решетки , соты с ромбоэдрическими ячейками.

В общем, ромбоэдр может иметь до трех типов ромбических граней в конгруэнтных противоположных парах, симметрия C _i , порядок 2.

Четыре точки, образующие несмежные вершины ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра , и все ортоцентрические тетраэдры могут быть образованы таким образом. ^[1]

Ромбоэдрическая решетчатая система [ править ]

Система ромбоэдрической решетки имеет ромбоэдрические ячейки с 3 парами уникальных ромбических граней:

Особые случаи по симметрии [ править ]

Частные случаи ромбоэдра

Форма	Куб	Тригональный трапецоэдр	Правая ромбическая призма	Косая ромбическая призма
Угловые ограничения	α = β = γ = 90 °	α = β = γ	α = β = 90 °	α = β
Симметрия	О _ч порядка 48	D _3d заказ 12	D _2h порядка 8	C _2h порядка 4
Лица	6 квадратов	6 совпадающих ромбов	2 ромба, 4 квадрата	6 ромбов

Куб : ссимметрией O _h , порядок 48. Все грани квадраты.
Тригональная трапецоэдр (также называемый равногранный ромбоэдр ,^[2] или ромбические шестигранники ^[3] ): с D_3d симметрии, порядка 12. Все не тупые внутренние углы граней равны (все грани конгруэнтны ромбы). Это можно увидеть, растянув куб по диагональной оси тела. Например, правильный октаэдр с двумя правильными тетраэдрами, прикрепленными к противоположным граням, образует тригональный трапецоэдр под углом 60 градусов.
Правая ромбическая призма : симметрия D _2h , порядок 8. Она построена из двух ромбов и четырех квадратов. Это можно увидеть, растянув куб на его грань диагональной оси. Например, две правые призмы с правильными треугольными основаниями, соединенные вместе, образуют правую ромбическую призму под углом 60 градусов .
Косая ромбическая призма : с симметрией C _2h , порядок 4. У нее только одна плоскость симметрии через четыре вершины и шесть ромбических граней.

Solid Geometry [ править ]

Для единицы (т.е. с длиной стороны 1) равногранный ромбоэдр ^[2] с ромбическим острым углом , с одной вершиной в начале координат (0, 0, 0) и с одним ребром, лежащим вдоль оси x, три образующих векторы ${\ displaystyle \ theta ~}$

e ₁ :

{\ Displaystyle {\ biggl (} 1,0,0 {\ biggr)},}

e ₂ :

{\ Displaystyle {\ biggl (} \ соз \ тета, \ грех \ тета, 0 {\ biggr)},}

e ₃ :

{\ displaystyle {\ biggl (} \ cos \ theta, {\ cos \ theta - \ cos ^ {2} \ theta \ over \ sin \ theta}, {{\ sqrt {1-3 \ cos ^ {2} \ theta +2 \ cos ^ {3} \ theta}} \ over \ sin \ theta} {\ biggr)}.}

Другие координаты могут быть получены путем сложения векторов ^[4] трех векторов направления: e ₁ + e ₂ , e ₁ + e ₃ , e ₂ + e ₃ и e ₁ + e ₂ + e ₃ .

Объем равногранного ромбоэдра с точки зрения длины его стороны и его ромбического острого угла является упрощением объема параллелепипеда и определяется выражением ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ theta ~}$

V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.

Мы можем выразить объем по- другому: $V$

V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.

Поскольку площадь (ромбического) основания определяется выражением , а высота ромбоэдра определяется его объемом, деленным на площадь его основания, высота равногранного ромбоэдра определяется длиной его стороны и острым ромбическим углом. дан кем-то $a^{2}\sin \theta ~$ $h$ $a$ $\theta$

h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.

Примечание:

h=a~z

₃ , где₃ - третья координата e ₃ .

z

Диагональ тела между остроугольными вершинами самая длинная. По вращательной симметрии относительно этой диагонали все остальные три диагонали тела между тремя парами противоположных тупоугольных вершин имеют одинаковую длину.

См. Также [ править ]

Списки фигур

Ссылки [ править ]

^ Суд, Н. (октябрь 1934), "Записка о orthocentric тетраэдра", American Mathematical Monthly : 499-502, DOI : 10,2307 / 2300415 , JSTOR 2300415.
^ a b Линии, L (1965). Твердая геометрия: с разделами о пространственных решетках, сферах-пакетах и кристаллах . Dover Publications.
^ http://www.origamiheaven.com/rhombicpolyhedra.htm
^ "Сложение вектора" . Вольфрам. 17 мая 2016 . Дата обращения 17 мая 2016 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Ромбоэдр» . MathWorld .
Параллелепипед
Калькулятор объема https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php

[1] Суд, Н. (октябрь 1934), "Записка о orthocentric тетраэдра", American Mathematical Monthly : 499-502, DOI : 10,2307 / 2300415 , JSTOR 2300415.

[:0-2] Линии, L (1965). Твердая геометрия: с разделами о пространственных решетках, сферах-пакетах и кристаллах . Dover Publications.

[3] ttp://www.origamiheaven.com/rhombicpolyhedra.htm

[4] "Сложение вектора" . Вольфрам. 17 мая 2016 . Дата обращения 17 мая 2016 .

[1]