В геометрии , orthocentric тетраэдра является тетраэдр , где все три пары противоположных ребер перпендикулярно . Он также известен как ортогональный тетраэдр, поскольку ортогональный означает перпендикулярный. Впервые он был исследован Саймоном Lhuilier в 1782 году и получил название orthocentric тетраэдра по Г. де Longchamps в 1890. [1]
В ортоцентрическом тетраэдре четыре высоты совпадают . Эта общая точка называется ортоцентром , и она обладает тем свойством, что она является симметричной точкой центра описанной сферы относительно центроида . [1] Следовательно, ортоцентр совпадает с точкой Монжа тетраэдра.
Характеристики
Все тетраэдры можно вписать в параллелепипед . Тетраэдр ортоцентрический тогда и только тогда, когда его описанный параллелепипед является ромбоэдром . Действительно, в любом тетраэдре пара противоположных ребер перпендикулярна тогда и только тогда, когда соответствующие грани описанного параллелепипеда являются ромбами. Если четыре грани параллелепипеда ромбовидны, то все ребра равны по длине и все шесть граней являются ромбами; Отсюда следует, что если две пары противоположных ребер в тетраэдре перпендикулярны, то перпендикулярна и третья пара, и тетраэдр ортоцентрический. [1]
Тетраэдр ABCD ортоцентрический тогда и только тогда, когда сумма квадратов противоположных ребер одинакова для трех пар противоположных ребер: [2] [3]
Фактически, чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, достаточно, чтобы только две пары противоположных ребер удовлетворяли этому условию.
Еще одно необходимое и достаточное условие для того, чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, - это то, что его три бимедиана имеют одинаковую длину. [3]
Объем
Характеристика ребер подразумевает, что если известны только четыре из шести ребер ортоцентрического тетраэдра, оставшиеся два могут быть вычислены, если они не противоположны друг другу. Следовательно, объем ортоцентрического тетраэдра можно выразить через четыре ребра a , b , c , d . Формула [4]
где c и d - противоположные ребра, а.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Б с суда, NA (октябрь 1934), "Заметки о orthocentric тетраэдра", Американского математического Monthly , 41 (8): 499-502, DOI : 10,2307 / 2300415 , JSTOR 2300415 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ↑ Рейман, Иштван, «Международная математическая олимпиада: 1976–1990», Anthem Press, 2005, стр. 175–176.
- ^ a b Hazewinkel, Michiel , "Энциклопедия математики: Приложение, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, с. 468.
- ^ Andreescu, Титу и Gelca, Разван, "Математические олимпиады вызовы", Birkhäuser, второе издание, 2009, стр. 30-31, 159.