Плезиоэдр

В геометрии , A plesiohedron представляет собой особый вид заполняющей пространство многогранника , определяется как ячейки Вороного симметричного множества Делоне . Трехмерное евклидово пространство может быть полностью заполнено копиями любой из этих форм без наложений. Полученные соты будут иметь симметрии, которые преобразуют любую копию плезиоэдра в любую другую копию.

Плезиоэдры включают такие известные формы, как куб , гексагональную призму , ромбический додекаэдр и усеченный октаэдр . Наибольшее количество граней, которое может иметь плезиоэдр, - 38.

Определение [ править ]

17-гранный плезиоэдр и его соты

Множество точек в евклидовом пространстве является множеством Делоне, если существует такое число , что каждые две точки находятся по крайней мере на расстоянии друг от друга и такое, что каждая точка пространства находится на расстоянии по крайней мере одной точки в . Так заполняет пространство, но его точки никогда не подходят слишком близко друг к другу. Чтобы это было правдой, должно быть бесконечно. Кроме того, множество симметрично (в смысле необходимого для определения plesiohedron) , если для любых двух точек и из , существует жесткое движение пространства , которое занимает в и к . То есть симметрии ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle 1 / \ varepsilon}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle S}$ транзитивно на . ^[1] ${\ displaystyle S}$

Диаграмма Вороного любого множества точек перегородок пространства в регионах называют Вороного клетки, которые ближе к одной заданной точке , чем любой другой. Когда - множество Делоне, ячейка Вороного каждой точки в представляет собой выпуклый многогранник . Грани этого многогранника лежат на плоскостях, которые перпендикулярно делят пополам отрезки прямой от других близлежащих точек . ^[2] ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle S}$

Когда является симметричным, а также является Делоне, все ячейки Вороного должны быть конгруэнтны друг другу, поскольку симметрии должны также быть симметриями диаграммы Вороного. В этом случае диаграмма Вороного образует соты, в которых есть только одна прототипная форма, форма этих ячеек Вороного. Эта форма называется плезиоэдром. Сгенерированная таким образом мозаика является изоэдральной , что означает, что она не только имеет один прототип («моноэдрический»), но также и любую копию этой плитки можно перенести на любую другую копию за счет симметрии мозаики. ^[1] ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

Как и в случае любого многогранника, заполняющего пространство, инвариант Дена плезиоэдра обязательно равен нулю. ^[3]

Примеры [ править ]

Плезиоэдры включают пять параллелоэдров . Это многогранники, которые могут размещать мозаику в пространстве таким образом, чтобы каждая плитка была симметричной по отношению к любой другой плитке по трансляционной симметрии без вращения. Эквивалентно, они являются ячейками Вороного решеток , поскольку это трансляционно-симметричные множества Делоне. Плезиоэдры - это частный случай стереоэдров , прототипов изоэдральных мозаик в более общем смысле. ^[1] По этой причине (и поскольку диаграммы Вороного также известны как мозаики Дирихле) их также называли «стереоэдрами Дирихле» ^[4]

Комбинаторных типов плезиоэдров конечное число. Известные отдельные плезиоэдры включают:

Пять параллелоэдров: куб (или, в более общем смысле, параллелепипед ), шестиугольная призма , ромбический додекаэдр , удлиненный додекаэдр и усеченный октаэдр . ^[5]
Треугольная призма , то prototile из треугольных призматических сот . ^{[6] В} более общем смысле, каждый из 11 типов мозаики Лавеса на плоскости конгруэнтными выпуклыми многоугольниками (и каждый из подтипов этих мозаик с разными группами симметрии) может быть реализован как ячейки Вороного симметричного множества Делоне на плоскости . ^[7] Отсюда следует, что призмы над каждой из этих форм являются плезиоэдрами. Помимо треугольных призм, к ним относятся призмы над определенными четырехугольниками, пятиугольниками и шестиугольниками.
Gyrobifastigium является стереоэдром , но не plesiohedron, так как точки в центрах клеток его лицом к лицу черепицы (где они вынуждены идти по симметрии) имеют по- разному формы клеток Вороных. Однако уплощенная версия gyrobifastigium с гранями, состоящими из равнобедренных прямоугольных треугольников и серебряных прямоугольников , представляет собой плезиоэдр.
Тройнозубые акулы усеченного тетраэдра , то prototile из тройнозубых акул усеченная четырехгранной соты и plesiohedron , порожденная решеткой алмаза ^[1]
Trapezo-ромбический додекаэдр , то prototile из trapezo-ромбического двенадцатигранной соты и plesiohedron , порожденный гексагональной плотной упаковкой
17-сторонние ячейки Вороного графа Лавеса ^[8]

Известно много других плезиоэдров. Кристаллограф Питер Энгель открыл два разных объекта с наибольшим известным числом граней - 38. ^[1]^{[9] В} течение многих лет максимальное количество граней плезиоэдра было открытой проблемой , ^[10]^[4], но анализ возможных симметрий трехмерного пространства показал, что это число не превышает 38. ^{[ 11]}

Ячейки Вороного точек, равномерно расположенных на пространстве заполнения спирали , все конгруэнтны друг другу и могут иметь произвольно большое количество граней. ^[12] Однако точки на спирали не являются множеством Делоне, и их ячейки Вороного не являются ограниченными многогранниками.

Современный обзор дан Шмиттом. ^[11]

Ссылки [ править ]

^ a b c d e Грюнбаум, Бранко ; Шеппард, GC (1980), "Замощение с конгруэнтной плиткой", Бюллетень Американского математического общества , Новой серия, 3 (3): 951-973, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1980-14827-2 , MR 0585178.
^ Aurenhammer, Franz (сентябрь 1991), "Вороного-опрос фундаментальной геометрической структуры данных", ACM Computing Surveys , 23 (3): 345-405, DOI : 10,1145 / 116873,116880. См. Особенно раздел 1.2.1 «Регулярно размещаемые сайты», стр. 354–355.
^ Лагариас, JC ; Moews, D. (1995), "многогранники , что наполнитель и ножницы конгруэнтность", Дискретная и Вычислительная геометрия , 13 (3-4): 573-583, DOI : 10.1007 / BF02574064 , МР 1318797 ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ .
^ a b Сабариего, Пилар; Сантос, Франциско (2011), «О числе граней трехмерных стереоэдров Дирихле IV: четверть кубические группы», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 52 (2): 237–263, arXiv : 0708.2114 , doi : 10.1007 / s13366 -011-0010-5 , Руководство по ремонту 2842627 .
^ Эрдал, RM (1999), "Zonotopes, dicings и гипотеза Вороного на параллелоэдров", Европейский журнал комбинаторике , 20 (6): 527-549, DOI : 10,1006 / eujc.1999.0294 , MR 1703597 . Вороной предположил, что все мозаики многомерных пространств сдвигами одного выпуклого многогранника комбинаторно эквивалентны мозаикам Вороного, и Эрдал доказывает это в частном случае зонотопов . Но, как он пишет (стр. 429), гипотеза Вороного о размерностях не более четырех была уже доказана Делоне. Для классификации трехмерных параллелоэдров на эти пять типов см. Grünbaum & Shephard (1980) .
^ Пью, Энтони (1976), "Многогранники с плотной упаковкой" , Многогранники: визуальный подход , University of California Press, Беркли, Калифорния-Лондон, стр. 48–50, MR 0451161 .
^ Делоне, BN ; Долбилин, Н.П .; Штогрин М.И. (1978), "Комбинаторная и метрическая теория планигонов", Труды Математического института имени В.А. Стеклова , 148 : 109–140, 275, MR 0558946 .
^ Schoen, Алан Х. (июнь – июль 2008 г.), «На графике (10,3) -a» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (6): 663 .
^ Engel, Питер (1981), "Über Wirkungsbereichsteilungen фон kubischer Symmetrie", Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie , 154 (3-4): 199-215, Bibcode : 1981ZK .... 154..199E , дои : 10.1524 / zkri.1981.154.3-4.199 , MR 0598811 .
^ Шеппард, GC (1985), "69,14 Пространство Заполнение Идентичные Симметричный Solids", Математическая газета , 69 (448): 117-120, DOI : 10,2307 / 3616930 , JSTOR 3616930 .
^ a b Шмитт, Мориц (2016), О пространственных группах и стереоэдрах Дирихле-Вороного.
^ Эриксон, Джефф; Ким, Скотт (2003), "Произвольно большие соседние семейства конгруэнтных симметричных выпуклых 3-многогранников", Дискретная геометрия , Моногр. Учебники Pure Appl. Math., 253 , Dekker, New York, стр. 267–278, arXiv : math / 0106095 , Bibcode : 2001math ...... 6095E , MR 2034721 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , "Многогранник , заполняющий пространство" , MathWorld

[gs80-1] Грюнбаум, Бранко ; Шеппард, GC (1980), "Замощение с конгруэнтной плиткой", Бюллетень Американского математического общества , Новой серия, 3 (3): 951-973, DOI : 10,1090 / S0273-0979-1980-14827-2 , MR 0585178.

[2] Aurenhammer, Franz (сентябрь 1991), "Вороного-опрос фундаментальной геометрической структуры данных", ACM Computing Surveys , 23 (3): 345-405, DOI : 10,1145 / 116873,116880. См. Особенно раздел 1.2.1 «Регулярно размещаемые сайты», стр. 354–355.

[3] Лагариас, JC ; Moews, D. (1995), "многогранники , что наполнитель и ножницы конгруэнтность", Дискретная и Вычислительная геометрия , 13 (3-4): 573-583, DOI : 10.1007 / BF02574064 , МР 1318797 ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ .

[ss11-4] Сабариего, Пилар; Сантос, Франциско (2011), «О числе граней трехмерных стереоэдров Дирихле IV: четверть кубические группы», Beiträge zur Algebra und Geometrie , 52 (2): 237–263, arXiv : 0708.2114 , doi : 10.1007 / s13366 -011-0010-5 , Руководство по ремонту 2842627 .

[5] Эрдал, RM (1999), "Zonotopes, dicings и гипотеза Вороного на параллелоэдров", Европейский журнал комбинаторике , 20 (6): 527-549, DOI : 10,1006 / eujc.1999.0294 , MR 1703597 . Вороной предположил, что все мозаики многомерных пространств сдвигами одного выпуклого многогранника комбинаторно эквивалентны мозаикам Вороного, и Эрдал доказывает это в частном случае зонотопов . Но, как он пишет (стр. 429), гипотеза Вороного о размерностях не более четырех была уже доказана Делоне. Для классификации трехмерных параллелоэдров на эти пять типов см. Grünbaum & Shephard (1980) .

[6] Пью, Энтони (1976), "Многогранники с плотной упаковкой" , Многогранники: визуальный подход , University of California Press, Беркли, Калифорния-Лондон, стр. 48–50, MR 0451161 .

[7] Делоне, BN ; Долбилин, Н.П .; Штогрин М.И. (1978), "Комбинаторная и метрическая теория планигонов", Труды Математического института имени В.А. Стеклова , 148 : 109–140, 275, MR 0558946 .

[8] Schoen, Алан Х. (июнь – июль 2008 г.), «На графике (10,3) -a» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 55 (6): 663 .

[9] Engel, Питер (1981), "Über Wirkungsbereichsteilungen фон kubischer Symmetrie", Zeitschrift für Kristallographie, Kristallgeometrie, Kristallphysik, Kristallchemie , 154 (3-4): 199-215, Bibcode : 1981ZK .... 154..199E , дои : 10.1524 / zkri.1981.154.3-4.199 , MR 0598811 .

[10] Шеппард, GC (1985), "69,14 Пространство Заполнение Идентичные Симметричный Solids", Математическая газета , 69 (448): 117-120, DOI : 10,2307 / 3616930 , JSTOR 3616930 .

[schmitt-11] Шмитт, Мориц (2016), О пространственных группах и стереоэдрах Дирихле-Вороного.

[12] Эриксон, Джефф; Ким, Скотт (2003), "Произвольно большие соседние семейства конгруэнтных симметричных выпуклых 3-многогранников", Дискретная геометрия , Моногр. Учебники Pure Appl. Math., 253 , Dekker, New York, стр. 267–278, arXiv : math / 0106095 , Bibcode : 2001math ...... 6095E , MR 2034721 .

[1]