Расхождение суммы обратных простых чисел

Сумма, обратная простым числам, неограниченно возрастающая. Ось x отложена в логарифмической шкале, что показывает очень медленное расхождение. Красная функция - это нижняя граница, которая также расходится.

Сумма обратных все простых чисел расходятся ; то есть:

{\ displaystyle \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} { 17}} + \ cdots = \ infty}

Это было доказано Леонардом Эйлером в 1737 году ^[1] и усиливает (то есть дает больше информации, чем) результат Евклида III века до нашей эры о том, что существует бесконечно много простых чисел .

Существует множество доказательств результата Эйлера, включая нижнюю оценку частичных сумм, утверждающую, что

{\ displaystyle \ sum _ {\ scriptstyle p {\ text {prime}} \ atop \ scriptstyle p \ leq n} {\ frac {1} {p}} \ geq \ log \ log (n + 1) - \ log {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

для всех натуральных чисел $n$ . Двойной натуральный логарифм (log log) указывает, что расхождение может быть очень медленным, что действительно так. См. Постоянную Мейселя – Мертенса .

Гармонический ряд [ править ]

Во-первых, мы опишем, как Эйлер первоначально обнаружил результат. Он рассматривал гармонический ряд

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + \ cdots = \ infty}

Он уже использовал следующую « формулу произведения », чтобы показать существование бесконечного числа простых чисел.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = \ prod _ {p} \ left (1 + {\ frac {1} {p}} + { \ frac {1} {p ^ {2}}} + \ cdots \ right) = \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- 1}}}}

Здесь произведение берется по множеству всех простых чисел.

Такие бесконечные произведения сегодня называют произведениями Эйлера . Приведенный выше продукт является отражением основной теоремы арифметики . Эйлер заметил, что если бы было только конечное число простых чисел, то произведение справа явно сходилось бы, что противоречит расходимости гармонического ряда.

Доказательства [ править ]

Доказательство Эйлера [ править ]

Эйлер рассмотрел приведенную выше формулу продукта и предпринял ряд смелых логических шагов. Сначала он произвел натуральный логарифм каждой стороны, затем использовал разложение в ряд Тейлора для $log x,$ а также сумму сходящегося ряда:

{\begin{aligned}\log \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\right)&{}=\log \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1}}}\right)=-\sum _{p}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\\[5pt]&=\sum _{p}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p^{2}}}+{\frac {1}{3p^{3}}}+\cdots \right)\\[5pt]&=\sum _{p}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{2}}}+{\frac {1}{3}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{3}}}+{\frac {1}{4}}\sum _{p}{\frac {1}{p^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=A+{\frac {1}{2}}B+{\frac {1}{3}}C+{\frac {1}{4}}D+\cdots \\[5pt]&=A+K\end{aligned}}

для фиксированной постоянной $K <1$ . Затем он обратился к соотношению

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\log \infty ,

который он объяснил, например, в более поздней работе 1748 г. ^[2] , установив $x = 1$ в разложении в ряд Тейлора

\log \left({\frac {1}{1-x}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}.

Это позволило ему сделать вывод, что

A={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots =\log \log \infty .

Почти наверняка Эйлер имел в виду, что сумма обратных чисел простых чисел меньше $n$ асимптотически $регистрирует log n,$ когда $n$ приближается к бесконечности. Оказывается, это действительно так, и более точная версия этого факта была строго доказана Францем Мертенсом в 1874 году. ^[3] Таким образом, Эйлер получил правильный результат сомнительными средствами.

Доказательство Эрдеша верхними и нижними оценками [ править ]

Следующее доказательство от противного принадлежит Полю Эрдешу .

Пусть $p i$ обозначает $i-$ е простое число. Предположим, что сумма обратных простых чисел сходится

Тогда существует наименьшее натуральное число $k$ такое, что

\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}<{\frac {1}{2}}\qquad (1)

Для положительного целого числа $x$ пусть $M x$ обозначает множество тех $n$ в ${1, 2, ..., x},$ которые не делятся ни на какое простое число больше $p k$ (или, что то же самое, на все $n \leq x,$ которые являются произведением степеней простые числа $p i \leq p k$ ). Теперь мы получим верхнюю и нижнюю оценки для $| M x |$ , количество элементов в $M x$ . Для больших $x$ , эти оценки окажутся противоречивыми.

Верхняя оценка:

Каждый

n

в

M x

может быть записан как

n = m 2 r

с положительными целыми числами

m

и

r

, где

r не

содержит квадратов . Так как только

K

простых чисел

р 1, ..., р к

можно показать (с показателем 1) в простые множители из

г

, существует не более

2 K

различных возможностей для

г

. Кроме того, существует не более

\sqrt x

возможных значений для

m

. Это дает нам верхнюю оценку

|M_{x}|\leq 2^{k}{\sqrt {x}}\qquad (2)

Нижняя оценка:

Остальные

x - | M x |

числа в разности множеств

{1, 2,…, x } \ M x

делятся на простое число больше

p k

. Пусть

N i, x

обозначает множество тех

n

в

{1, 2,\dots, x},

которые делятся на

i-

е простое число

p i

. потом

\{1,2,\ldots ,x\}\smallsetminus M_{x}=\bigcup _{i=k+1}^{\infty }N_{i,x}

Поскольку количество целых чисел в

N i, x

не превосходит

Икс / п я

(фактически ноль при

p i > x

), получаем

x-|M_{x}|\leq \sum _{i=k+1}^{\infty }|N_{i,x}|<\sum _{i=k+1}^{\infty }{\frac {x}{p_{i}}}

Используя (1), это означает, что

{\frac {x}{2}}<|M_{x}|\qquad (3)

Это приводит к противоречию: когда $x \geq 2 2 k + 2$ , оценки (2) и (3) не могут выполняться одновременно, поскольку $Икс / 2 \geq 2 к \sqrt х$ .

Доказательство того, что в серии наблюдается рост журнала [ править ]

Вот еще одно доказательство, которое фактически дает нижнюю оценку частичных сумм; в частности, он показывает, что эти суммы растут по крайней мере так же быстро, как $log log n$ . Доказательство принадлежит Ивану Нивену ^[4], адаптированному из идеи Эйлера о расширении произведения . В дальнейшем сумма или произведение, взятое на $p,$ всегда представляет собой сумму или произведение, взятое на указанный набор простых чисел.

Доказательство опирается на следующие четыре неравенства:

Каждое положительное целое число $i$ может быть однозначно выражено как произведение целого числа без квадратов и квадрата как следствие основной теоремы арифметики . Начнем с:

i=q_{1}^{2{\alpha }_{1}+{\beta }_{1}}\cdot q_{2}^{2{\alpha }_{2}+{\beta }_{2}}\cdot \ldots \cdot q_{r}^{2{\alpha }_{r}+{\beta }_{r}},

где βs равны 0 (соответствующая степень простого числа $q$ четна) или 1 (соответствующая степень простого числа $q$ нечетна). Выносим за скобки одну копию всех простых чисел, у которых β равно 1, оставляя произведение простых чисел на четные степени, само по себе квадрат. Переназначение:

i=(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})\cdot b^{2},

где первый множитель, произведение простых чисел в первую степень, не содержит квадратов. Обращение всех $i$ дает неравенство

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\leq \left(\prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)=A\cdot B.

Чтобы увидеть это, обратите внимание, что

{\frac {1}{i}}={\frac {1}{p_{1}p_{2}\ldots p_{s}}}\cdot {\frac {1}{b^{2}}},

куда

{\begin{aligned}\left(1+{\frac {1}{p}}_{1}\right)\left(1+{\frac {1}{p}}_{2}\right)\ldots \left(1+{\frac {1}{p}}_{s}\right)&=\left({\frac {1}{p}}_{1}\right)\left({\frac {1}{p}}_{2}\right)\ldots \left({\frac {1}{p}}_{s}\right)+\ldots \\&={\frac {1}{p_{1}p_{2}\ldots p_{s}}}+\ldots .\end{aligned}}

То есть, это одно из слагаемых в расширенном продукте $A$ . И поскольку это одно из слагаемых $B$ , каждое $i$ представлено в одном из членов $AB$ при умножении. Следующее неравенство. $1/(p_{1}p_{2}\ldots p_{s})$ $1/b^{2}$

Оценка сверху натурального логарифма

{\begin{aligned}\log(n+1)&=\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\underbrace {\int _{i}^{i+1}{\frac {dx}{x}}} _{{}\,<\,{\frac {1}{i}}}\\&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\end{aligned}}

Нижняя оценка $1 + x <exp (x)$ для экспоненциальной функции , которая верна для всех $x > 0$ .
Пусть $n \geq 2$ . Верхняя граница (с использованием телескопической суммы ) частичных сумм (сходимость - это все, что нам действительно нужно)

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&<1+\sum _{k=2}^{n}\underbrace {\left({\frac {1}{k-{\frac {1}{2}}}}-{\frac {1}{k+{\frac {1}{2}}}}\right)} _{=\,{\frac {1}{k^{2}-{\frac {1}{4}}}}\,>\,{\frac {1}{k^{2}}}}\\&=1+{\frac {2}{3}}-{\frac {1}{n+{\frac {1}{2}}}}<{\frac {5}{3}}\end{aligned}}

Комбинируя все эти неравенства, мы видим, что

{\begin{aligned}\log(n+1)&<\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\\&\leq \prod _{p\leq n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\\&<{\frac {5}{3}}\prod _{p\leq n}\exp \left({\frac {1}{p}}\right)\\&={\frac {5}{3}}\exp \left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}\right)\end{aligned}}

Разделение на 5/3 и натуральный логарифм обеих частей дает

\log \log(n+1)-\log {\frac {5}{3}}<\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}

по желанию. ∎

С помощью

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(см. проблему Базеля ), указанный выше постоянный $журнал 5 / 3 = 0,51082 ...$ может быть улучшена , чтобы $войти π 2 / 6 = 0,4977\dots$ ; на самом деле оказывается, что

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\log \log n\right)=M

где $M = 0,261497\dots$ - постоянная Мейселя – Мертенса (в некотором роде аналогичная гораздо более известной постоянной Эйлера – Маскерони ).

Доказательство из неравенства Дусарта [ править ]

Из неравенства Дюзарта получаем

p_{n}<n\log n+n\log \log n\quad {\mbox{for }}n\geq 6

потом

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{n\log n+n\log \log n}}\\&\geq \sum _{n=6}^{\infty }{\frac {1}{2n\log n}}=\infty \end{aligned}}

по интегральному признаку сходимости . Это показывает, что ряд слева расходится.

Доказательство геометрических и гармонических рядов [ править ]

Предположим от противного, что сумма сошлась. Тогда существует такое, что . Назовите эту сумму . $n$ $\sum _{i\geq n+1}{\frac {1}{p_{i}}}<1$ $x$

Теперь рассмотрим сходящийся геометрический ряд . $x+x^{2}+x^{3}+\cdots$

Этот геометрический ряд содержит сумму обратных чисел всех чисел, разложение на простые числа которых содержит только простые числа в наборе . $\{p_{n+1},p_{n+2},\cdots \}$

Рассмотрим подсерии . Это подсерия, потому что не делится ни на что . $\sum _{i\geq 1}{\frac {1}{1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}}$ $1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})$ $p_{j},j\leq n$

Однако в тесте сравнения пределов эта подсерия расходится, сравнивая ее с гармоническим рядом. Действительно, . $\lim _{i\to \infty }{\frac {1+i(p_{1}p_{2}\cdots p_{n})}{i}}=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}$

Таким образом, мы нашли расходящиеся подсерии исходного сходящегося ряда, и поскольку все члены положительны, это дает противоречие. Мы можем заключить, что есть расхождения. $\sum _{i\geq 1}{\frac {1}{p_{i}}}$ $\blacksquare$

Частичные суммы [ править ]

Хотя частичные суммы обратных простых чисел в конечном итоге превышают любое целочисленное значение, они никогда не равны целому числу.

Одно доказательство ^[5] проводится по индукции: первая частичная сумма равна1/2, имеющий вид странный/четное. Если $n-$ я частичная сумма (при $n \geq 1$ ) имеет видстранный/четное, то $(n + 1)$ -я сумма равна

{\frac {\text{odd}}{\text{even}}}+{\frac {1}{p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}\cdot p_{n+1}+{\text{even}}}{{\text{even}}\cdot p_{n+1}}}={\frac {{\text{odd}}+{\text{even}}}{\text{even}}}={\frac {\text{odd}}{\text{even}}}

поскольку $(n + 1)$ -е простое число $p n + 1$ нечетно; так как эта сумма также имеетстранный/четное Эта частичная сумма не может быть целым числом (потому что 2 делит знаменатель, но не числитель), и индукция продолжается.

Другое доказательство переписывает выражение для суммы первых $n$ обратных простых чисел (или действительно суммы обратных чисел любого набора простых чисел) в терминах наименьшего общего знаменателя , который является произведением всех этих простых чисел. Тогда каждое из этих простых чисел делит все члены числителя, кроме одного, и, следовательно, не делит сам числитель; но каждый простой делает разделить знаменатель. Таким образом, выражение неприводимо и не является целым.

См. Также [ править ]

Теорема Евклида о том, что простых чисел бесконечно много
Малый набор (комбинаторика)
Теорема Бруна о сходящейся сумме обратных чисел-близнецов
Список сумм обратных величин

Ссылки [ править ]

^ Эйлер, Леонард (1737). «Наблюдения вариаций около бесконечных серий» [Различные наблюдения относительно бесконечных серий]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 9 : 160–188.
^ Эйлер, Леонард (1748). Введение в анализин бесконечный . Томус Примус [ Введение в бесконечный анализ. Том I ]. Лозанна: Буске. п. 228, пр. 1.
^ Мертенс, Ф. (1874). "Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie" . J. Reine Angew. Математика. 78 : 46–62.
^ Нивен, Иван, «Доказательство расходимости Σ 1 / $p$ », The American Mathematical Monthly , Vol. 78, No. 3 (март 1971 г.), стр. 272-273. Доказательство на полстраницы расширено Уильямом Данхэмом в книге « Эйлер: Мастер всех нас» , стр. 74-76.
^ Лорд, Ник (2015). «Быстрые доказательства того, что некоторые суммы дробей не являются целыми числами». Математический вестник . 99 : 128–130. DOI : 10,1017 / mag.2014.16 .

Источники

Данэм, Уильям (1999). Эйлер - хозяин всех нас . MAA . С. 61–79 . ISBN 0-88385-328-0.

Внешние ссылки [ править ]

Колдуэлл, Крис К. «Простых чисел бесконечно много, но насколько велико из бесконечности?» .

[1] Эйлер, Леонард (1737). «Наблюдения вариаций около бесконечных серий» [Различные наблюдения относительно бесконечных серий]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 9 : 160–188.

[2] Эйлер, Леонард (1748). Введение в анализин бесконечный . Томус Примус [ Введение в бесконечный анализ. Том I ]. Лозанна: Буске. п. 228, пр. 1.

[3] Мертенс, Ф. (1874). "Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie" . J. Reine Angew. Математика. 78 : 46–62.

[4] Нивен, Иван, «Доказательство расходимости Σ 1 / $p$ », The American Mathematical Monthly , Vol. 78, No. 3 (март 1971 г.), стр. 272-273. Доказательство на полстраницы расширено Уильямом Данхэмом в книге « Эйлер: Мастер всех нас» , стр. 74-76.

[5] Лорд, Ник (2015). «Быстрые доказательства того, что некоторые суммы дробей не являются целыми числами». Математический вестник . 99 : 128–130. DOI : 10,1017 / mag.2014.16 .

[1]