Гипотеза Манина

Рациональные точки ограниченной высоты за пределами 27 линий диагональной кубической поверхности Клебша .

В математике , то гипотеза Манин описывает предположительное распределение рациональных точек на алгебраическом многообразии относительно подходящей функции высоты . Он был предложен Юрием И. Маниным и его сотрудниками ^[1] в 1989 г., когда они инициировали программу с целью описания распределения рациональных точек на подходящих алгебраических многообразиях.

Гипотеза [ править ]

Их основная гипотеза заключается в следующем. Пусть - многообразие Фано, определенное над числовым полем , пусть - функция высоты относительно антиканонического дивизора, и пусть оно плотно по Зарисскому в . Тогда существует непустое открытое подмножество Зарисского такое, что считающая функция -рациональных точек ограниченной высоты, определяемая формулой${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$${\displaystyle V(K)}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U\subset V}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle N_{U,H}(B)=\#\{x\in U(K):H(x)\leq B\}}$

для удовлетворяет${\displaystyle B\geq 1}$

${\displaystyle N_{U,H}(B)\sim cB(\log B)^{\rho -1},}$

а вот это ранг группы Пикара из и положительная константа , которая позже получила предположительное толкование Peyre. ^[2]${\displaystyle B\to \infty .}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle V}$${\displaystyle c}$

Гипотеза Манина была решена для специальных семейств многообразий ^[3], но в целом остается открытой.

Ссылки [ править ]