В арифметическом и алгебры , в кубе ряда п является его третья сила , то есть, результат умножения трех экземпляров п вместе. Куб числа или любого другого математического выражения обозначается верхним индексом 3, например 2 3 = 8 или ( x + 1) 3 .
Куб - это также число, умноженное на его квадрат :
- n 3 = n × n 2 = n × n × n .
Функция куба - это функция x ↦ x 3 (часто обозначаемая y = x 3 ), которая отображает число в свой куб. Это странная функция , так как
- (- п ) 3 = - ( п 3 ) .
Объем из геометрического куба является куб боковой длиной, что приводит к имени. Обратная операция , которая заключается в нахождении ряда , чей куб п называется экстракцией кубического корня из п . Он определяет сторону куба данного объема. Оно также возведено в степень n в одну треть.
График функции кубы известен как кубическая парабола . Поскольку функция куба является нечетной функцией, эта кривая имеет центр симметрии в начале координат, но не имеет оси симметрии .
В целых числах
Номер куба , или идеальный куб , или иногда просто куб , это число , которое является куб из целого числа . Идеальные кубики до 60 3 (последовательность A000578 в OEIS ):
0 3 = | 0 | ||||||||||
1 3 = | 1 | 11 3 = | 1331 | 21 3 = | 9261 | 31 3 = | 29 791 | 41 3 = | 68 921 | 51 3 = | 132 651 |
2 3 = | 8 | 12 3 = | 1728 | 22 3 = | 10 648 | 32 3 = | 32 768 | 42 3 = | 74 088 | 52 3 = | 140 608 |
3 3 = | 27 | 13 3 = | 2197 | 23 3 = | 12 167 | 33 3 = | 35 937 | 43 3 = | 79 507 | 53 3 = | 148 877 |
4 3 = | 64 | 14 3 = | 2744 | 24 3 = | 13 824 | 34 3 = | 39 304 | 44 3 = | 85 184 | 54 3 = | 157 464 |
5 3 = | 125 | 15 3 = | 3375 | 25 3 = | 15 625 | 35 3 = | 42 875 | 45 3 = | 91 125 | 55 3 = | 166 375 |
6 3 = | 216 | 16 3 = | 4096 | 26 3 = | 17 576 | 36 3 = | 46 656 | 46 3 = | 97 336 | 56 3 = | 175 616 |
7 3 = | 343 | 17 3 = | 4913 | 27 3 = | 19 683 | 37 3 = | 50 653 | 47 3 = | 103 823 | 57 3 = | 185 193 |
8 3 = | 512 | 18 3 = | 5832 | 28 3 = | 21 952 | 38 3 = | 54 872 | 48 3 = | 110 592 | 58 3 = | 195 112 |
9 3 = | 729 | 19 3 = | 6859 | 29 3 = | 24 389 | 39 3 = | 59 319 | 49 3 = | 117 649 | 59 3 = | 205 379 |
10 3 = | 1000 | 20 3 = | 8000 | 30 3 = | 27 000 | 40 3 = | 64 000 | 50 3 = | 125 000 | 60 3 = | 216 000 |
С геометрической точки зрения положительное целое число m является идеальным кубом тогда и только тогда, когда можно расположить m единичных твердых кубов в более крупный твердый куб. Например, 27 маленьких кубиков можно сложить в один больший, имеющий вид кубика Рубика , так как 3 × 3 × 3 = 27 .
Разницу между кубиками последовательных целых чисел можно выразить следующим образом:
- п 3 - ( п - 1) 3 = 3 ( п - 1) п + 1 .
или же
- ( п + 1) 3 - п 3 = 3 ( п + 1) п + 1 .
Минимального идеального куба не существует, поскольку куб с отрицательным целым числом отрицателен. Например, (−4) × (−4) × (−4) = −64 .
База десять
В отличие от полных квадратов , у совершенных кубов нет небольшого числа возможностей для последних двух цифр. За исключением кубов, делящихся на 5, где только 25 , 75 и 00 могут быть двумя последними цифрами, любая пара цифр с нечетной последней цифрой может быть последней цифрой идеального куба. Для четных кубов существует значительное ограничение, поскольку только 00 , o 2 , e 4 , o 6 и e 8 могут быть двумя последними цифрами идеального куба (где o означает любую нечетную цифру, а e - любую четную цифру). Некоторые числа куба также являются квадратными числами; например, 64 - это квадратное число (8 × 8) и кубическое число (4 × 4 × 4) . Это происходит тогда и только тогда, когда число является точной шестой степенью (в данном случае 2 6 ).
Последние цифры каждой третьей степени:
0 | 1 | 8 | 7 | 4 | 5 | 6 | 3 | 2 | 9 |
Однако легко показать, что большинство чисел не являются совершенными кубами, потому что все совершенные кубы должны иметь цифровой корень 1 , 8 или 9 . То есть их значения по модулю 9 могут быть только -1, 1 и 0. Более того, цифровой корень куба любого числа можно определить по остатку, полученному при делении числа на 3:
- Если число x делится на 3, его куб имеет цифровой корень 9; это,
- Если при делении на 3 остаток равен 1, его куб имеет цифровой корень 1; это,
- Если при делении на 3 остаток равен 2, его куб имеет цифровой корень 8; это,
Проблема Варинга для кубиков
Каждое положительное целое число можно записать как сумму девяти (или меньше) положительных кубиков. Этот верхний предел в девять кубиков не может быть уменьшен, потому что, например, 23 не может быть записано как сумма менее девяти положительных кубиков:
- 23 = 2 3 + 2 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 + 1 3 .
Суммы трех кубиков
Предполагается, что любое целое число (положительное или отрицательное), не сравнимое с ± 4 по модулю 9, может быть записано как сумма трех (положительных или отрицательных) кубов бесконечным числом способов. [1] Например,. Целые числа, сравнимые с ± 4 по модулю 9 , исключаются, поскольку они не могут быть записаны как сумма трех кубов.
Наименьшее такое целое число, для которого такая сумма неизвестна, - 114. В сентябре 2019 года было обнаружено, что предыдущее наименьшее такое целое число без известной суммы 3-кубов, 42, удовлетворяло этому уравнению: [2] [ необходим лучший источник ]
Одно решение приведено в таблице ниже для n ≤ 78 , и n не конгруэнтно 4 или 5 по модулю 9 . Выбранное решение является примитивным ( gcd ( x , y , z ) = 1 ), не имеет формы или же (поскольку они являются бесконечными семействами решений), удовлетворяет 0 ≤ | х | ≤ | y | ≤ | z | , и имеет минимальные значения для | z | и | y | (проверено в таком порядке). [3] [4] [5]
Выбираются только примитивные решения, поскольку непримитивные решения можно тривиально вывести из решений для меньшего значения n . Например, для n = 24 решение результаты из решения умножив все на Поэтому выбрано другое решение. Аналогично, для n = 48 исключается решение ( x , y , z ) = (-2, -2, 4) , и это решение ( x , y , z ) = (-23, -26, 31 ), который выбран.
Примитивные решения для n от 1 до 100 | ||||||||
п | Икс | y | z | п | Икс | y | z | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 9 | 10 | −12 | 39 | 117 367 | 134 476 | −159 380 | |
2 | 1 214 928 | 3 480 205 | −3 528 875 | 42 | 12 602 123 297 335 631 | 80 435 758 145 817 515 | −80 538 738 812 075 974 | |
3 | 1 | 1 | 1 | 43 год | 2 | 2 | 3 | |
6 | −1 | −1 | 2 | 44 год | −5 | −7 | 8 | |
7 | 0 | −1 | 2 | 45 | 2 | −3 | 4 | |
8 | 9 | 15 | −16 | 46 | −2 | 3 | 3 | |
9 | 0 | 1 | 2 | 47 | 6 | 7 | −8 | |
10 | 1 | 1 | 2 | 48 | −23 | −26 | 31 год | |
11 | −2 | −2 | 3 | 51 | 602 | 659 | −796 | |
12 | 7 | 10 | −11 | 52 | 23 961 292 454 | 60 702 901 317 | −61 922 712 865 | |
15 | −1 | 2 | 2 | 53 | −1 | 3 | 3 | |
16 | −511 | −1609 | 1626 | 54 | −7 | −11 | 12 | |
17 | 1 | 2 | 2 | 55 | 1 | 3 | 3 | |
18 | −1 | −2 | 3 | 56 | −11 | −21 | 22 | |
19 | 0 | −2 | 3 | 57 | 1 | −2 | 4 | |
20 | 1 | −2 | 3 | 60 | −1 | −4 | 5 | |
21 год | −11 | −14 | 16 | 61 | 0 | −4 | 5 | |
24 | −2 901 096 694 | −15 550 555 555 | 15 584 139 827 | 62 | 2 | 3 | 3 | |
25 | −1 | −1 | 3 | 63 | 0 | −1 | 4 | |
26 год | 0 | −1 | 3 | 64 | −3 | −5 | 6 | |
27 | −4 | −5 | 6 | 65 | 0 | 1 | 4 | |
28 год | 0 | 1 | 3 | 66 | 1 | 1 | 4 | |
29 | 1 | 1 | 3 | 69 | 2 | −4 | 5 | |
30 | −283 059 965 | −2 218 888 517 | 2 220 422 932 | 70 | 11 | 20 | −21 | |
33 | −2 736 111 468 807 040 | −8 778 405 442 862 239 | 8 866 128 975 287 528 | 71 | −1 | 2 | 4 | |
34 | −1 | 2 | 3 | 72 | 7 | 9 | −10 | |
35 год | 0 | 2 | 3 | 73 | 1 | 2 | 4 | |
36 | 1 | 2 | 3 | 74 | 66 229 832 190 556 | 283 450 105 697 727 | −284 650 292 555 885 | |
37 | 0 | −3 | 4 | 75 | 4 381 159 | 435 203 083 | −435 203 231 | |
38 | 1 | −3 | 4 | 78 | 26 год | 53 | −55 |
Последняя теорема Ферма для кубов
Уравнение x 3 + y 3 = z 3 не имеет нетривиальных (т.е. xyz ≠ 0 ) решений в целых числах. Фактически, в целых числах Эйзенштейна его нет . [6]
Оба эти утверждения также верны для уравнения [7] x 3 + y 3 = 3 z 3 .
Сумма первых n кубиков
Сумма первых n кубиков равна квадрату n- го числа треугольника :
Доказательства. Чарльз Уитстон ( 1854 ) дает особенно простой вывод, расширяя каждый куб в сумме до набора последовательных нечетных чисел. Он начинает с того, что дает личность
Эта идентичность связана с треугольными числами. следующим образом:
и, таким образом, слагаемые, образующие начинаются сразу после тех, которые формируют все предыдущие значения вплоть до . Применение этого свойства вместе с другим хорошо известным идентификатором:
получаем следующий вывод:
В более поздней математической литературе Stein (1971) использует интерпретацию этих чисел как прямоугольник, чтобы сформировать геометрическое доказательство идентичности (см. также Benjamin, Quinn & Wurtz 2006 ); он отмечает, что это можно также легко (но малоинформативно) доказать по индукции, и утверждает, что Теплиц (1963) дает «интересное старинное арабское доказательство». Каним (2004) предоставляет чисто визуальное доказательство, Benjamin & Orrison (2002) предоставить два дополнительных доказательства, и Nelsen (1993) дает семь геометрических доказательств.
Например, сумма первых 5 кубиков равна квадрату 5-го треугольного числа,
Аналогичный результат может быть получен для суммы первых y нечетных кубов,
но x , y должны удовлетворять отрицательному уравнению Пелла x 2 - 2 y 2 = −1 . Например, для y = 5 и 29 тогда,
и так далее. Кроме того, каждое четное совершенное число , кроме самого младшего, является суммой первых двух.р −1 / 2
нечетные кубики ( p = 3, 5, 7, ...):
Сумма кубиков чисел в арифметической прогрессии
Вот примеры кубов чисел в арифметической прогрессии , сумма которых является кубом:
с первым, которое иногда называют загадочным числом Платона . Формула F для нахождения суммы n кубиков чисел в арифметической прогрессии с общей разностью d и исходным кубом a 3 ,
дан кем-то
Параметрическое решение
известен для частного случая d = 1 или последовательных кубов, но известны только спорадические решения для целого числа d > 1 , например d = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39 и т. д. [ 8]
Кубики как суммы последовательных нечетных целых чисел
В последовательности нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..., первый один представляет собой куб ( 1 = 1 3 ); сумма следующих двух - следующий куб ( 3 + 5 = 2 3 ); сумма следующих трех - следующий куб ( 7 + 9 + 11 = 3 3 ); и так далее.
В рациональных числах
Каждое положительное рациональное число является суммой трех положительных рациональных кубов [9], и есть рациональные числа, которые не являются суммой двух рациональных кубов. [10]
В реальных числах, других полях и кольцах
В вещественных числах функция куба сохраняет порядок: чем больше числа, тем больше кубики. Другими словами, кубики (строго) монотонно увеличиваются . Кроме того, его область значений - это вся вещественная линия : функция x ↦ x 3 : R → R является сюръекцией (принимает все возможные значения). Только три числа равны своим кубам: -1 , 0 и 1 . Если -1 < x <0 или 1 < x , то x 3 > x . Если x <−1 или 0 < x <1 , то x 3 < x . Все вышеупомянутые свойства относятся также к любой более высокой нечетной степени ( x 5 , x 7 , ...) действительных чисел. Равенства и неравенства также верны в любом упорядоченном кольце .
Объемы подобных евклидовых тел связаны как кубы их линейных размеров.
В комплексных числах куб чисто мнимого числа тоже чисто мнимый. Например, i 3 = - i .
Производная от й 3 равна 3 х 2 .
Кубы иногда обладают сюръективным свойством в других полях , например в F p для такого простого p, что p ≠ 1 (mod 3) , [11], но не обязательно: см. Контрпример с рациональными числами выше . Также в F 7 из семи элементов только три элемента 0, ± 1 являются совершенными кубами. −1, 0 и 1 - идеальные кубы в любом месте, и единственные элементы поля равны собственным кубам: x 3 - x = x ( x - 1) ( x + 1) .
История
Определение кубиков больших чисел было очень распространено во многих древних цивилизациях . Математики Месопотамии создали клинописные таблички с таблицами для вычисления кубов и кубических корней к древневавилонскому периоду (20-16 вв. До н.э.). [12] [13] Кубические уравнения были известны древнегреческому математику Диофанту . [14] Герой Александрии разработал метод вычисления кубических корней в I веке нашей эры. [15] Методы решения кубических уравнений и извлечения кубических корней появляются в Девяти главах математического искусства , китайском математическом тексте, составленном примерно во II веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в III веке нашей эры. [16]
Смотрите также
- Номер кабтакси
- Кубическое уравнение
- Удвоение куба
- Гипотеза Эйлера о сумме степеней
- Пятая степень (алгебра)
- Четвертая сила
- Законы движения планет Кеплера # Третий закон
- Седло обезьяны
- Идеальная мощность
- Номер такси
Заметки
- ^ Huisman, Sander Г. (27 апреля 2016). «Новые суммы трех кубиков». arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].
- ^ «НОВОСТИ: Тайна 42 раскрыта - Numberphile» https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw
- ^ Последовательности A060465 , A060466 и A060467 в OEIS
- ^ Три кубика
- ^ п = х ^ 3 + у ^ 3 + г ^ 3
- ^ Харди и Райт, Thm. 227
- ^ Харди и Райт, Thm. 232
- ^ Коллекция алгебраических тождеств
- ^ Харди и Райт, Thm. 234
- ^ Харди и Райт, Thm. 233
- ^ Мультипликативная группа из F р является циклической порядка р - 1 , и если оно не делится на 3, то кубы определяют группы автоморфизмов .
- ^ Кук, Роджер (8 ноября 2012 г.). История математики . Джон Вили и сыновья. п. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
- ^ Немет-Неджат, Карен Рея (1998). Повседневная жизнь в Древней Месопотамии . Издательская группа "Гринвуд". п. 306 . ISBN 978-0-313-29497-6.
- ↑ Ван дер Варден, Геометрия и алгебра древних цивилизаций, глава 4, Цюрих, 1983 ISBN 0-387-12159-5
- ^ Смили, Дж. Гилбарт (1920). «Формула Герона для кубического корня». Герматена . Тринити-колледж Дублина. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103 .
- ^ Кроссли, Джон; ТУАЛЕТ. Лун, Энтони (1999). Девять глав по математическому искусству: компаньоны и комментарии . Издательство Оксфордского университета. С. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.
Рекомендации
- Харди, GH ; Райт, EM (1980). Введение в теорию чисел (пятое изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-853171-5.
- Уитстон, К. (1854 г.), «Об образовании сил из арифметических прогрессий», Труды Лондонского королевского общества , 7 : 145–151, Bibcode : 1854RSPS .... 7..145W , doi : 10.1098 / rspl .1854.0036.