Уравнение Пелла

Уравнение Пелла для n  = 2 и шесть его целочисленных решений

Уравнение Пелля , также называемое уравнением Пелля – Ферма , представляет собой любое диофантово уравнение вида, где n - заданное положительное неквадратное целое число, а целочисленные решения ищутся для x и y . В декартовых координатах уравнение представлено гиперболой ; решения возникают везде, где кривая проходит через точку, координаты x и y которой являются целыми числами, например тривиальное решение с x  = 1 и y  = 0. Джозеф Луи Лагранж${\ displaystyle x ^ {2} -ny ^ {2} = 1}$ доказал, что, пока n не является полным квадратом , уравнение Пелла имеет бесконечно много различных целочисленных решений. Эти растворы могут быть использованы , чтобы точно аппроксимировать на квадратный корень из  п от рациональных чисел вида  х / у .

Это уравнение было впервые изучено в Индии , начиная с Брахмагуптами , ^[1] , который нашел целое решение в его Brāhmasphuṭasiddhānta около 628. ^[2] Bhaskara II в двенадцатом веке , и Нараяна Пандит в четырнадцатом веке и нашли общие решения уравнения Пелля и другие квадратные неопределенные уравнения. Бхаскаре II обычно приписывают развитие метода чакравалы , основанного на трудах Джаядевы и Брахмагупты. Решения конкретных примеров уравнения Пелла, таких как числа Пелла, возникающие из уравнения с${\ displaystyle 92x ^ {2} + 1 = y ^ {2}}$ n = 2, было известно гораздо дольше, со времен Пифагора в Греции и аналогичной даты в Индии. Уильям Браункер был первым европейцем, решившим уравнение Пелла. Название уравнения Пелла возникло из-за того, что Леонард Эйлер ошибочно приписал решение уравнения Брункера Джону Пеллу . ^{[3] [4] [примечание 1]}

История [ править ]

Еще в 400 г. до н.э. в Индии и Греции математики изучали числа, возникающие из  случая n = 2 уравнения Пелла,

${\ displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = 1}$

и из тесно связанного уравнения

${\ displaystyle x ^ {2} -2y ^ {2} = - 1}$

из-за связи этих уравнений с квадратным корнем из 2 . ^[5] Действительно, если x и y - натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению, то x / y является приближением √ 2 . Числа x и y, появляющиеся в этих приближениях, называемые числами стороны и диаметра , были известны пифагорейцам , и Прокл заметил, что в противоположном направлении эти числа подчиняются одному из этих двух уравнений. ^[5] Точно так же Баудхаяна обнаружил, чтоx = 17, y = 12 и x = 577, y = 408 - два решения уравнения Пелла, а 17/12 и 577/408 - очень близкие приближения к квадратному корню из 2. ^[6]

Позже Архимед аппроксимировал квадратный корень из 3 рациональным числом 1351/780. Хотя он не объяснил свои методы, это приближение может быть получено тем же способом, что и решение уравнения Пелла. ^[5] Аналогичным образом, проблема Архимеда крупного рогатого скота - древняя проблема слов о нахождении количества крупного рогатого скота, принадлежащего богу солнца Гелиосу - может быть решена путем переформулирования ее в виде уравнения Пелла. Рукопись , содержащая проблемные состояния , что он был изобретен Архимедом и записанные в письме Эратосфена , ^[7] и присвоение Архимеда , как правило , принято сегодня. ^{[8] [9]}

Примерно в 250 году нашей эры Диофант рассмотрел уравнение

${\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}$

где a и c - фиксированные числа, а x и y - переменные, для которых необходимо решить. Это уравнение отличается по форме от уравнения Пелла, но эквивалентно ему. Диофант решил уравнение для ( a , c ), равного (1, 1), (1, −1), (1, 12) и (3, 9). Аль-Караджи , персидский математик X века, работал над проблемами, аналогичными Диофанту. ^[10]

В индийской математике Брахмагупта обнаружил, что

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

форма того, что сейчас известно как личность Брахмагупты . Пользуясь этим, он был в состоянии «сочинить» тройки и что было решениями , для создания новых троек${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}$ а также ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).}$

Это не только давало возможность генерировать бесконечно много решений, начиная с одного решения, но также часто можно было получить путем деления такой композиции на целые или «почти целые» решения. Например, для Брахмагупта составил тройку (10, 1, 8) (с ) с самим собой, чтобы получить новую тройку (192, 20, 64). Деление на 64 ('8' вместо и ) дало тройку (24, 5/2, 1), которая при составлении сама с собой давала желаемое целочисленное решение (1151, 120, 1). Брахмагупта решил многие уравнения Пелла этим методом, доказав, что он дает решения, начиная с целочисленного решения для k = ± 1, ± 2 или ± 4. ^[11]${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$${\displaystyle k_{1}k_{2}}$${\displaystyle N=92}$${\displaystyle 10^{2}-92(1^{2})=8}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$

Первый общий метод решения уравнения Пелла (для всех N ) был дан Бхаскарой II в 1150 году, расширив методы Брахмагупты. Названный методом чакравалы (циклический) , он начинается с выбора двух относительно простых целых чисел, а затем составления тройки (то есть той, которая удовлетворяет ) с тривиальной тройкой, чтобы получить тройку , которая может быть уменьшена до${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,b,k)}$${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$${\displaystyle (am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N))}$

${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{k}},{\frac {a+bm}{k}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).}$

Когда выбрано целое число, равно как и два других числа в тройке. Среди них метод выбирает тот, который минимизирует , и повторяет процесс. Этот метод всегда заканчивается решением (доказано Жозефом-Луи Лагранжем в 1768 году). Бхаскара использовал это, чтобы дать решение x = 1766319049, y = 226153980 для случая N = 61. ^[11]${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {a+bm}{k}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$

Несколько европейских математиков заново открыли, как решить уравнение Пелла в 17 веке, по-видимому, не подозревая, что оно было решено почти пятьсот лет назад в Индии. Пьер де Ферма нашел, как решить уравнение, и в письме 1657 года бросил его английским математикам. ^[12] В письме к Кенелм Дигби , Бернард Френикл Де Бесси говорит , что Ферма нашел наименьшее решение для N до 150, и вызов Валлис решить случаи Н = 151 или 313. Оба Уоллиса и Уильям Браункер дал решения для них проблемы, хотя Уоллис в письме предполагает, что решение было принято Брункером.^[13]

Связь Джона Пелла с уравнением состоит в том, что он исправил перевод Томаса Бранкера ^[14] книги Иоганна Рана 1659 года « Тойческая алгебра» ^{[примечание 2]} на английский язык с обсуждением решения уравнения Брункером. Леонард Эйлер ошибочно подумал, что это решение принадлежит Пеллю, в результате чего он назвал уравнение в честь Пелла. ^[4]

Общая теория уравнения Пелля, основанная на цепных дробях и алгебраических манипуляциях с числами вида, была развита Лагранжем в 1766–1769 гг. ^[15]${\displaystyle P+Q{\sqrt {a}},}$

Решения [ править ]

Фундаментальное решение с помощью непрерывных дробей [ править ]

Пусть обозначает последовательность дробей к регулярной непрерывной дроби для . Эта последовательность уникальна. Тогда пара ( x ₁ , y ₁ ), решающая уравнение Пелла и минимизирующая x, удовлетворяет x ₁ = h _i и y ₁ = k _i для некоторого i . Эта пара называется фундаментальным решением . Таким образом, фундаментальное решение можно найти, выполнив разложение непрерывной дроби и протестировав каждую последующую сходящуюся дробь, пока не будет найдено решение уравнения Пелла. ^[16]${\displaystyle {\tfrac {h_{i}}{k_{i}}}}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Время нахождения фундаментального решения с использованием метода непрерывных дробей с помощью алгоритма Шёнхаге – Штрассена для быстрого целочисленного умножения находится в пределах логарифмического множителя размера решения, количества цифр в паре ( x ₁ , y ₁ ). Однако это не алгоритм с полиномиальным временем, поскольку количество цифр в решении может достигать √ n , что намного больше, чем полиномиальное количество цифр во входном значении n . ^[17]

Дополнительные решения из фундаментального решения [ править ]

Как только фундаментальное решение найдено, все оставшиеся решения могут быть вычислены алгебраически из

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k},}$^[17]

расширение правой стороны, приравнивая коэффициенты от обеих сторон, и приравнивая другие условия с обеих сторон. Это дает рекуррентные соотношения${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

${\displaystyle \displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}$

${\displaystyle \displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$

Краткое представление и более быстрые алгоритмы [ править ]

Хотя для записи фундаментального решения ( x ₁ , y ₁ ) в виде пары двоичных чисел может потребоваться большое количество битов, во многих случаях оно может быть представлено более компактно в форме

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}})^{c_{i}}}$

используя гораздо меньшие целые числа a _i , b _i и c _i .

Например, задача Архимеда о рогатом скоте эквивалентна уравнению Пелла , фундаментальное решение которого имеет 206545 цифр, если оно выписано явно. Однако решение также равно${\displaystyle x^{2}-410286423278424y^{2}=1}$

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},}$

где

${\displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4729494}}=(300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}})^{2}}$

и и имеют только 45 и 41 десятичную цифру соответственно. ^[17]${\displaystyle x'_{1}}$${\displaystyle y'_{1}}$

Методы, относящиеся к подходу квадратного сита для целочисленной факторизации, могут использоваться для сбора соотношений между простыми числами в числовом поле, генерируемого √ n , и для объединения этих отношений, чтобы найти представление продукта этого типа. Полученный алгоритм решения уравнения Пелла более эффективен, чем метод непрерывной дроби, хотя он все же занимает больше, чем полиномиальное время. В предположении обобщенной гипотезы Римана можно показать, что для этого требуется время.

${\displaystyle \exp O({\sqrt {\log N\log \log N}}),}$

где N  = log  n - входной размер, аналогично квадратичному решету. ^[17]

Квантовые алгоритмы [ править ]

Халлгрен показал, что квантовый компьютер может найти представление продукта, как описано выше, для решения уравнения Пелла за полиномиальное время. ^[18] Алгоритм Халлгрена, который можно интерпретировать как алгоритм поиска группы единиц действительного квадратичного числового поля , был расширен Шмидтом и Фёльмером на более общие поля. ^[19]

Пример [ править ]

В качестве примера рассмотрим пример уравнения Пелла для n = 7; это,

${\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}$

Последовательность подходящих дробей для квадратного корня из семи:

ч  /  к (сходящийся)	ч 2  - 7 к 2 (Пэлл-типа приближение)
2/1	−3
3/1	+2
5/2	−3
8/3	+1

Следовательно, фундаментальное решение образует пара (8, 3). Применение рекуррентной формулы к этому решению порождает бесконечную последовательность решений

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (последовательность A001081 ( x ) и A001080 ( y ) в OEIS )

Самое маленькое решение может быть очень большим. Например, наименьшее решение для (32188120829134849, 1819380158564160), и это уравнение, которое Френикл бросил вызов Уоллису. ^[20] Значения n такие, что наименьшее решение больше наименьшего решения для любого меньшего значения n :${\displaystyle x^{2}-313y^{2}=1}$${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (последовательность A033316 в OEIS ).

(Для этих записей см. OEIS :  A033315 для x и OEIS :  A033319 для y .)

Наименьшее решение уравнений Пелла [ править ]

Ниже приведен список наименьшего решения (фундаментальное решение) с n ≤ 128. Для квадрата n нет решения, кроме (1, 0). Значения x - это последовательность A002350, а значения y - последовательность A002349 в OEIS .${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$

Связи [ править ]

Уравнение Пелла связано с несколькими другими важными предметами математики.

Алгебраическая теория чисел [ править ]

Уравнение Пелля тесно связано с теорией алгебраических чисел , поскольку формула

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})}$

- норма для кольца и близкого квадратичного поля . Таким образом, пара целых чисел решает уравнение Пелла тогда и только тогда, когда является единицей с нормой 1 дюйм . ^[21] Теорема Дирихле о единицах, о том , что все единицы могут быть выражены как степени одной фундаментальной единицы (и умножение на знак), является алгебраическим подтверждением того факта, что все решения уравнения Пелля могут быть сгенерированы из фундаментального решения . ^[22]${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ Фундаментальная единица, как правило, может быть найдена путем решения уравнения типа Пелля, но она не всегда напрямую соответствует фундаментальному решению самого уравнения Пелля, поскольку основная единица может иметь норму -1, а не 1, а ее коэффициенты могут быть полуцелыми а не целые числа.

Многочлены Чебышева [ править ]

Демейер упоминает связь между уравнением Пелля и многочленами Чебышева : если T _i  ( x ) и U _i  ( x ) являются многочленами Чебышева первого и второго рода соответственно, то эти многочлены удовлетворяют форме уравнения Пелля в любом кольце многочленов R [ x ], где n = x ²  - 1: ^[23]

${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.}$

Таким образом, эти многочлены могут быть сгенерированы стандартной техникой для уравнений Пелля, состоящей из степеней фундаментального решения:

${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.}$

Далее можно заметить, что если ( x _i , y _i ) являются решениями любого целочисленного уравнения Пелла, то x _i = T _i ( x ₁ ) и y _i = y ₁ U _{i  - 1} ( x ₁ ). ^[24]

Непрерывные дроби [ править ]

Общее развитие решений уравнения Пелля в терминах непрерывных дробей из может быть представлено, как растворы х и у являются приближаются к квадратному корню из п и , следовательно , представляют собой особый случай цепных дроби приближений для квадратичных иррациональностей . ^[16]${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

Отношение к непрерывным дробям подразумевает, что решения уравнения Пелла образуют полугрупповое подмножество модулярной группы . Так, например, если p и q удовлетворяют уравнению Пелла, то

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\nq&p\end{pmatrix}}}$

- матрица единичного определителя . Произведения таких матриц принимают точно такую ​​же форму, и, таким образом, все такие произведения дают решения уравнения Пелла. Частично это можно понять как результат того факта, что последовательные подходящие дроби непрерывной дроби обладают одним и тем же свойством: если p _{k −1} / q _{k −1} и p _k / q _k являются двумя последовательными подходящими дробями непрерывной дроби, то матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{k-1}&p_{k}\\q_{k-1}&q_{k}\end{pmatrix}}}$

имеет определитель (−1) ^k .

Гладкие числа [ править ]

Теорема Стёрмера применяет уравнения Пелла для поиска пар последовательных гладких чисел , положительных целых чисел, все простые множители которых меньше заданного значения. ^{[25] [26]} В рамках этой теории Стёрмер также исследовал отношения делимости между решениями уравнения Пелла; в частности, он показал, что каждое решение, кроме фундаментального, имеет простой множитель , который не делит  n . ^[25]

Отрицательное уравнение Пелла [ править ]

Отрицательное уравнение Пелла задается формулой

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1.}$

Это также было тщательно изучено; она может быть решена тем же методом непрерывных дробей и будет иметь решения тогда и только тогда, когда период непрерывной дроби имеет нечетную длину. Однако неизвестно, какие корни имеют нечетную длину периода и, следовательно, неизвестно, когда отрицательное уравнение Пелла разрешимо. Необходимым (но не достаточным) условием разрешимости является то, что n не делится на 4 или на простое число вида 4 k  + 3. ^{[примечание 3]} Таким образом, например, x ²  - 3 ny ²  = −1 никогда не является разрешимым , но  может быть x ²  - 5 ny ² = −1. ^[27]

Первые несколько чисел n, для которых  разрешимо x ²  -  ny ² = −1, равны

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (последовательность A031396 в OEIS ).

Доля n без квадратов, кратных k простым числам вида 4 m  + 1, для которых разрешимо отрицательное уравнение Пелла, составляет не менее 40%. ^[28] Если отрицательное уравнение Пелла действительно имеет решение для определенного n , его фундаментальное решение приводит к фундаментальному уравнению для положительного случая, возводя в квадрат обе части определяющего уравнения:

${\displaystyle (x^{2}-ny^{2})^{2}=(-1)^{2}}$

подразумевает

${\displaystyle (x^{2}+ny^{2})^{2}-n(2xy)^{2}=1.}$

Как указано выше, если отрицательное уравнение Пелла разрешимо, решение может быть найдено с использованием метода непрерывных дробей, как в положительном уравнении Пелла. Однако отношение рекурсии работает несколько иначе. Поскольку следующее решение определяется в зависимости от совпадения, т. Е. Когда k нечетно. В результате получается рекурсивное соотношение (по модулю знака минус, который несущественен из-за квадратичной природы уравнения)${\displaystyle (x+{\sqrt {n}}y)(x-{\sqrt {n}}y)=-1}$${\displaystyle \imath (x_{k}+{\sqrt {n}}y_{k})=(\imath (x+{\sqrt {n}}y))^{k}}$

${\displaystyle x_{k}=x_{k-2}x_{1}^{2}+nx_{k-2}y_{1}^{2}+2ny_{k-2}y_{1}x_{1}}$

${\displaystyle y_{k}=y_{k-2}x_{1}^{2}+ny_{k-2}y_{1}^{2}+2x_{k-2}y_{1}x_{1}}$

что дает бесконечную башню решений отрицательного уравнения Пелля.

Обобщенное уравнение Пелла [ править ]

Уравнение

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$

называется обобщенным ^{[ цитата ]} (или общим ^[16] ) уравнением Пелла . Уравнение является соответствующей резольвентой Пелля . ^[16] Рекурсивный алгоритм был предложен Лагранжем в 1768 году для решения уравнения, сводящего проблему к конкретному случаю . ^{[29] [30]} Такие решения могут быть получены с использованием метода непрерывных дробей, как описано выше.${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$${\displaystyle \left\vert N\right\vert <{\sqrt {d}}}$

Если есть решение и решение, то такое, что является решением , принцип, названный мультипликативным принципом . ^[16]${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$${\displaystyle (u_{n},v_{n})}$${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}=(x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}})(u_{n}+v_{n}{\sqrt {d}})}$${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$

Решение уравнения обобщенного Пелля используется для решения некоторых диофантовых уравнений и единиц отдельных колец , ^{[31] [32]} , и они возникают при изучении SIC-POVMs в квантовой теории информации . ^[33]

Уравнение

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$

похожа на резольвенту в том, что если минимальное решение может быть найдено, то все решения уравнения могут быть сгенерированы аналогично случаю . Конечно , решения для могут быть сгенерированы из тех, у которых , в том случае, если тогда каждое третье решение имеет четные x, y , генерируя решение для . ^[16]${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$${\displaystyle d\equiv 5{\pmod {8}}}$${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Эдвардс, Гарольд М. (1996) [1977]. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел . Тексты для выпускников по математике . 50 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90230-9. Руководство по ремонту  0616635 .
• Пинч, РГЭ (1988). «Одновременные уравнения Пеллиана» . Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc . 103 (1): 35–46. Bibcode : 1988MPCPS.103 ... 35P . DOI : 10.1017 / S0305004100064598 .
• Уитфорд, Эдвард Эверетт (1912). «Уравнение Пелла» (кандидатская диссертация) . Колумбийский университет.
• Уильямс, ХК (2002). «Решение уравнения Пелла». В Беннетте, Массачусетс; Берндт, Британская Колумбия ; Бостон, Н .; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Филипп, W. (ред.). Обзоры по теории чисел: доклады тысячелетней конференции по теории чисел . Натик, Массачусетс: А.К. Питерс. С. 325–363. ISBN 1-56881-162-4. Zbl  1043.11027 .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Пелла» . MathWorld .
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Уравнение Пелла" , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Решатель уравнения Пелла ( n не имеет верхнего предела)
• Решатель уравнения Пелла ( n <10 ^ 10, также может возвращать решение для x ^ 2-ny ^ 2 = + -1, + -2, + -3 и + -4)