Гипотеза Erdos на арифметических прогрессиях , часто упоминается как гипотеза Эрдёша-Туран , является гипотезой в арифметических комбинаториках (не следует путать с гипотезой Эрдёша-Туран на аддитивных основаниях ). В нем говорится, что если сумма обратных величин элементов множества A положительных целых чисел расходится, то A содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии .
Формально гипотеза утверждает, что если A - большое множество в том смысле, что
тогда A содержит арифметические прогрессии любой заданной длины, что означает подмножества формыдля сколь угодно большого k .
История
В 1936 году Эрдеш и Туран выдвинули более слабую гипотезу о том, что любой набор целых чисел с положительной естественной плотностью содержит бесконечно много трехчленных арифметических прогрессий. [1] Это было доказано Клаусом Ротом в 1952 году и обобщено Семереди на произвольно длинные арифметические прогрессии в 1975 году в том, что теперь известно как теорема Семереди .
В беседе 1976 года под названием «Памяти моего давнего друга и сотрудника Пола Турана» Пол Эрдёш предложил приз в размере 3000 долларов США за доказательство этой гипотезы. [2] По состоянию на 2008 год проблема стоит 5000 долларов США. [3]
Каждый большой набор натуральных чисел содержит произвольно длинные арифметические прогрессии?
Гипотезу Эрдеша об арифметических прогрессиях можно рассматривать как более сильную версию теоремы Семереди. Поскольку сумма обратных простых чисел расходится, теорема Грина – Тао об арифметических прогрессиях является частным случаем гипотезы.
Более слабое утверждение, что A должно содержать бесконечно много арифметических прогрессий длины 3, является следствием улучшенной оценки в теореме Рота, которая появляется в качестве основного результата в препринте 2020 года Блума и Сисаска. [4] Первая сильнейшая оценка в теореме Рота принадлежит Блуму. [5]
Обратное предположение неверно. Например, набор {1, 10, 11, 100, 101, 102, 1000, 1001, 1002, 1003, 10000, ...} содержит арифметические прогрессии любой конечной длины, но сумма обратных величин его элементов сходится .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Erdős, Пол ; Турана, Павел (1936), "О некоторых последовательностей целых чисел" (PDF) , журнал Лондонского математического общества , 11 (4): 261-264, DOI : 10.1112 / jlms / s1-11.4.261.
- ^ Проблемы теории чисел и комбинаторики , в трудах Шестой Манитобской конференции по вычислительной математике (Университет Манитобы, Виннипег, Манит, 1976), Конгресс. Нумер. XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977.
- ^ стр. 354, Сойфер, Александр (2008); Математическая книжка-раскраска: математика раскраски и красочная жизнь ее создателей ; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-74640-1
- ^ Блум, Томас Ф .; Сисаск, Олоф (2020). «Преодоление логарифмического барьера в теореме Рота об арифметических прогрессиях». arXiv : 2007.03528 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Блум, Томас Ф. (2016). «Количественное улучшение теоремы Рота об арифметических прогрессиях». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 93 (3): 643–663. arXiv : 1405.5800 . DOI : 10,1112 / jlms / jdw010 . Руководство по ремонту 3509957 .
- P. Erds : Résultats et problèmes en théorie de nombres , Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14 лет: 1972/1973), Théorie des nombres , Fasc 2., Exp. № 24, с. 7,
- П. Эрдеш и П. Туран, О некоторых последовательностях целых чисел, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
- П. Эрдеш: Проблемы теории чисел и комбинаторики, Proc. Шестая Манитобская конференция. по ном. Math., Congress Numer. XVIII (1977), 35–58.
- П. Эрдеш: О комбинаторных проблемах, которые я больше всего хотел бы видеть решенными, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi : 10.1007 / BF02579174
Внешние ссылки
- Гипотеза Эрдеша – Турана или гипотеза Эрдеша? на MathOverflow