Клаус Рот

Клаус Рот
Родившийся	Клаус Фридрих Рот ( 1925-10-29 )29 октября 1925 г. Бреслау , Нижняя Силезия , Веймарская Германия
Умер	10 ноября 2015 г. (10.11.2015)(90 лет) Инвернесс , Шотландия
Образование	Школа Святого Павла, Лондон Питерхаус, Кембридж Университетский колледж Лондона
Известен	Диофантово приближение Теория несоответствия Большое сито
Награды	Медаль Филдса (1958) Член Королевского общества (1960) Медаль Де Моргана (1983) Медаль Сильвестра (1991)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университетский колледж Лондона Имперский колледж Лондон
Тезис	Доказательство того, что почти все положительные целые числа являются суммой квадрата, положительного куба и четвертой степени  (1950)
Докторант	Теодор Эстерманн
Другие научные консультанты	Джон Чарльз Беркилл Гарольд Давенпорт

Клаус Фридрих Рот FRS (29 октября 1925 - 10 ноября 2015) был немецкого происхождения британский математик , который выиграл медаль Филдса для доказательства теоремы Рота о приближении диофантовой из алгебраических чисел . Он также был лауреатом медалей Де Моргана и Сильвестра и членом Королевского общества .

В 1933 году Рот переехал в Англию, чтобы спастись от нацистов, и получил образование в Кембриджском университете и Университетском колледже Лондона , получив докторскую степень в 1950 году. Он преподавал в Университетском колледже Лондона до 1966 года, когда занял кафедру в Имперском колледже. Лондон . Он вышел на пенсию в 1988 году.

Помимо работы над диофантовым приближением, Рот внес значительный вклад в теорию множеств без прогрессии в арифметической комбинаторике и в теорию неоднородностей распределения . Он также был известен своими исследованиями сумм степеней , большого сита , проблемы треугольника Хейльбронна и упаковки квадратов в квадрат . Он был соавтором книги последовательностей на целочисленных последовательностей .

Биография [ править ]

Ранняя жизнь [ править ]

Рот родился в еврейской семье в Бреслау , Пруссия , 29 октября 1925 года. Его родители поселились с ним в Лондоне, чтобы избежать преследований нацистов в 1933 году, и он вырос и получил образование в Великобритании. ^{[1] [2]} Его отец, адвокат, подвергся воздействию ядовитого газа во время Первой мировой войны и умер, когда Рот был еще молод. Рот стал учеником в школе Святого Павла в Лондоне с 1939 по 1943 год, и вместе с остальной частью школы он был эвакуирован из Лондона в Истхэмпстед-парк во время Блица . В школе он был известен своими способностями как в шахматах, так и в математике. Он пытался поступить в авиационный учебный корпус., но был заблокирован на несколько лет из-за того, что он немец, а затем из-за отсутствия координации, необходимой для пилота. ^[2]

Математическое образование [ править ]

Рот изучал математику в Питерхаусе, Кембридж , и играл на первой доске за шахматную команду Кембриджа ^[2], закончив в 1945 году. ^[3] Несмотря на свои математические навыки, он получил только третье место по математике из-за своих плохих результатов. способность к сдаче тестов. Его кембриджский наставник, Джон Чарльз Беркилл , не поддержал Рота, продолжающего заниматься математикой, рекомендуя вместо этого заняться «какой-нибудь коммерческой работой со статистической предвзятостью». ^[2] Вместо этого он ненадолго стал школьным учителем в Гордонстоуне , между окончанием Кембриджа и началом учебы в аспирантуре. ^{[1] [2]}

По рекомендации Гарольда Давенпорта в 1946 году он был принят в магистратуру по математике в Университетском колледже Лондона , где работал под руководством Теодора Эстерманна . ^[2] Он получил там степень магистра в 1948 году и докторскую степень в 1950 году. ^[3] Его диссертация была доказательством того, что почти все положительные целые числа являются суммой квадрата, положительного куба и четвертой степени . ^[4]

Карьера [ править ]

Получив степень магистра в 1948 году, Рот стал ассистентом лектора в Университетском колледже Лондона, а в 1950 году он стал лектором. ^[5] Его наиболее важные работы по диофантовому приближению, последовательностям без прогрессии и несоответствиям были опубликованы в середине 1950-х годов, а к 1958 году он был удостоен медали Филдса - высшей награды математиков. ^{[2] [6]} Однако только в 1961 году он стал профессором. ^[1] В этот период он продолжал тесно сотрудничать с Гарольдом Давенпортом. ^[2]

Он взял творческий отпуск в Массачусетском технологическом институте в середине 1950-х и середине 1960-х годов и серьезно подумывал о переезде в Соединенные Штаты. Уолтер Хейман и Патрик Линстед противостояли этой возможности, которую они считали угрозой для британской математики, предложив кафедру чистой математики в Имперском колледже Лондона , и Рот принял ее в 1966 году. ^[2] Он сохранял эту позицию до официального утверждения. выход на пенсию в 1988 году. ^[1] Он оставался в Имперском колледже в качестве приглашенного профессора до 1996 года. ^[3]

Лекции Рота обычно были очень четкими, но иногда могли быть беспорядочными. ^[2] В проекте « Математическая генеалогия» указано, что у него всего два аспиранта, ^[4] но один из них, Уильям Чен, продолживший работу Рота в области теории несоответствий, стал членом Австралийского математического общества и главой математического факультета в Университет Маккуори . ^[7]

Личная жизнь [ править ]

В 1955 году Рот женился на Мелек Хайри, дочери египетского сенатора Хайри Паша, которая привлекла его внимание еще в студенческие годы на своей первой лекции. ^{[1] [2]} Хайри пришла работать на факультет психологии Университетского колледжа Лондона, где она опубликовала исследование о влиянии токсинов на крыс. ^[8] После выхода на пенсию Рота они переехали в Инвернесс ; Рот посвятил комнату их дома латиноамериканским танцам, что было их общим интересом. ^{[2] [9]} Хайри умерла в 2002 году, а Рот умер в Инвернессе 10 ноября 2015 года в возрасте 90 лет. ^{[1] [2] [3]}У них не было детей, и Рот посвятил большую часть своего состояния, более миллиона фунтов стерлингов, двум благотворительным организациям, «чтобы помочь пожилым и немощным людям, живущим в городе Инвернесс». Он послал Медаль Филдса с меньшим наследством Петерхаусу. ^[10]

Вклады [ править ]

Рот был известен как решатель математических задач, а не как создатель теории. Гарольд Давенпорт пишет, что «мораль в работе доктора Рота» состоит в том, что «великие нерешенные проблемы математики все еще могут поддаваться прямой атаке, какими бы трудными и запретными они ни казались, и сколько бы усилий на них ни было потрачено». ^[6] Его исследовательские интересы охватывали несколько тем в теории чисел , теории несоответствий и теории целочисленных последовательностей .

Диофантово приближение [ править ]

Предметом диофантовых приближений стремится точные приближения иррациональных чисел с помощью рациональных чисел . Вопрос о том, насколько точно могут быть аппроксимированы алгебраические числа , стал известен как проблема Туэ – Зигеля после того, как Аксель Туэ и Карл Людвиг Зигель продвинули этот вопрос ранее . Точность приближения может быть измерена показателем приближения числа , определяемым как наибольшее число , имеющее бесконечно много рациональных приближений с . Если показатель аппроксимации большой, то${\ displaystyle x}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p / q}$${\ displaystyle | xp / q | <1 / q ^ {e}}$${\ displaystyle x}$имеет более точные приближения, чем число, экспонента которого меньше. Наименьший возможный показатель приближения равен двум: даже числа, которые трудно поддаются приближению, могут быть аппроксимированы показателем два с использованием непрерывных дробей . ^{[3] [6]} До работы Рота считалось, что алгебраические числа могут иметь больший показатель аппроксимации, связанный со степенью полинома, определяющего число. ^[2]

В 1955 году Рот опубликовал то, что сейчас известно как теорема Рота , полностью разрешив этот вопрос. Его теорема опровергла предполагаемую связь между показателем приближения и степенью и доказала, что с точки зрения показателя приближения алгебраические числа наименее точно аппроксимируются из любых иррациональных чисел. Точнее, он доказал, что для иррациональных алгебраических чисел показатель приближения всегда равен двум. ^[3] В обзоре работ Рота, представленном Гарольдом Давенпортом на Международном конгрессе математиков в 1958 году, когда Рот был награжден медалью Филдса, Давенпорт назвал этот результат «величайшим достижением Рота». ^[6]

Арифметическая комбинаторика [ править ]

Другой результат 1953 года , названный « теоремой Рота », относится к арифметической комбинаторике и касается последовательностей целых чисел без трех в арифметической прогрессии . Эти последовательности были изучены в 1936 году Полом Эрдёшем и Палом Тураном , которые предположили, что они должны быть редкими. ^{[11] [a]} Однако в 1942 году Рафаэль Салем и Дональд С. Спенсер построили подмножества без прогрессии чисел от до размера, пропорционального , для каждого . ^[12]${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п ^ {1- \ varepsilon}}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

Рот подтвердил Эрдёша и Турана, доказав, что размер такого набора не может быть пропорционален : каждый плотный набор целых чисел содержит трехчленную арифметическую прогрессию. В его доказательстве используются методы аналитической теории чисел, включая метод кругов Харди – Литтлвуда, для оценки числа прогрессий в данной последовательности и демонстрации того, что, когда последовательность достаточно плотная, это число отлично от нуля. ^{[2] [13]}${\ displaystyle n}$

Позже другие авторы усилили ограничение Рота на размер наборов без прогрессирования. ^[14] Усиление в другом направлении, теорема Семереди , показывает, что плотные наборы целых чисел содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии. ^[15]

Несоответствие [ править ]

Хотя работа Рота по диофантовому приближению принесла ему высочайшее признание, именно своим исследованием неравномерностей распределения (согласно некрологу Уильяма Чена и Боба Вогана ) он больше всего гордился. ^[2] Его статья 1954 года по этой теме заложила основы современной теории несоответствий . Это касается размещения точек в единичном квадрате, так что для каждого прямоугольника, ограниченного между началом координат и точкой квадрата, площадь прямоугольника хорошо аппроксимируется количеством точек в нем. ^[2]${\ displaystyle n}$

Рот измерил это приближение по квадрату разницы между количеством точек и площадью, умноженной на площадь, и доказал, что для случайно выбранного прямоугольника ожидаемое значение квадрата разности является логарифмическим . Этот результат является наилучшим из возможных, и он значительно улучшил предыдущую оценку той же задачи Татьяны Павловны Эренфест . ^[16] Несмотря на предыдущую работу Эренфеста и Йоханнеса ван дер Корпута по той же проблеме, Рот был известен тем, что хвастался тем, что этот результат «открыл тему». ^[2]${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Другие темы [ править ]

Некоторые из самых ранних работ Рота включали статью 1949 года о суммах степеней , показывающую, что почти все положительные целые числа могут быть представлены в виде суммы квадрата, куба и четвертой степени, а также статья 1951 года о пробелах между бесквадратными числами , описывающая как «весьма сенсационный» и «очень важный» соответственно Ченом и Воганом. ^[2] Его первая лекция в Имперском колледже касалась большого сита : ограничения размера наборов целых чисел, из которых были запрещены многие классы сравнения чисел по модулю простых чисел . ^[17]Рот ранее опубликовал статью по этой проблеме в 1965 году .

Другим интересом Рота была проблема треугольника Хейльбронна, заключающаяся в размещении точек в квадрате, чтобы избежать треугольников небольшой площади. В его статье 1951 г. по этой проблеме впервые была доказана нетривиальная верхняя оценка достижимой площади. В итоге он опубликовал четыре статьи по этой проблеме, последняя - в 1976 году . ^[18] Рот также добился значительных успехов в упаковке квадрата в квадрат . Если единичные квадраты упакованы в квадрат очевидным, параллельным осям способом, то для значений , которые чуть меньше целого числа, почти площадь может остаться незакрытой. После Пола Эрдеша и Рональда Грэма${\ displaystyle s \ times s}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle 2s}$Доказано , что более умная наклонная упаковка может оставить значительно меньшую площадь, только , ^[19] Рот и Боб Vaughan ответили 1978 бумаги , доказывающей первый нетривиальный нижней границей на этой проблеме. Как они показали, для некоторых значений непокрытая площадь должна быть как минимум пропорциональна . ^{[2] [20]}${\ displaystyle O (s ^ {7/11})}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ sqrt {s}}}$

В 1966 году Хайни Хальберштам и Рот опубликовали свою книгу « Последовательности» , посвященную целочисленным последовательностям . Первоначально планировалось стать первым из двухтомного набора, его темы включали плотности сумм последовательностей, ограничения на количество представлений целых чисел в виде сумм членов последовательностей, плотность последовательностей, суммы которых представляют все целые числа, теорию решет и вероятностный метод , и последовательность , в которой ни один из элементов не является кратным другого . ^[21] Второе издание было опубликовано в 1983 году. ^[22]

Признание [ править ]

Рот получил медаль Филдса в 1958 году за свою работу по диофантовому приближению. Он был первым медалистом Британских Филдсов. ^[1] Он был избран в Королевское общество в 1960 году, а позже стал почетным членом Королевского общества Эдинбурга , членом Лондонского университетского колледжа, членом Имперского колледжа Лондона и почетным членом Питерхауза. ^[1] Его развлекало то, что его Филдсовская медаль, избрание в Королевское общество и профессорское кресло пришли к нему в порядке, обратном их престижу. ^[2]

Лондонское математическое общество дало Рту на медаль Де Морган в 1983 году ^[3] В 1991 годе Королевское общество дало ему свою Сильвестру медаль «за большой вклад в теорию чисел и , в частности , его решение известной задачи о приближении алгебраических чисел рациональных чисел . " ^[23]

Festschrift 32 статей по темам , связанным с исследованиями Рота была опубликована в 2009 году, в честь 80 - летия Рот, ^[24] , а в 2017 году редакция журнала Mathematika посвящен специальный выпуск Roth. ^[25] После смерти Рота факультет математики Имперского колледжа учредил стипендию Рота в его честь. ^[26]

Избранные публикации [ править ]

Журнальные статьи [ править ]

• Рот, KF (1949). «Доказательство того, что почти все положительные целые числа являются суммой квадрата, положительного куба и четвертой степени». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 24 : 4–13. DOI : 10.1112 / jlms / s1-24.1.4 . Руководство по ремонту  0028336 . Zbl  0032.01401 .
• Рот, KF (1951a). «О проблеме Хайльбронна». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 26 (3): 198–204. DOI : 10,1112 / jlms / s1-26.3.198 . Руководство по ремонту  0041889 . Zbl  0043.16303 .
• Рот, KF (1951b). «О промежутках между бесквадратными числами». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 26 (4): 263–268. DOI : 10,1112 / jlms / s1-26.4.263 . Руководство по ремонту  0043119 . Zbl  0043.04802 .
• Рот, KF (1953). «О некоторых наборах целых чисел». Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 28 : 104–109. DOI : 10,1112 / jlms / s1-28.1.104 . Руководство по ремонту  0051853 . Zbl  0050.04002 .
• Рот, KF (1954). «О нарушениях распределения». Математика . 1 (2): 73–79. DOI : 10.1112 / S0025579300000541 . Руководство по ремонту  0066435 . Zbl  0057.28604 .
• Рот, KF (1955). «Рациональные приближения к алгебраическим числам». Математика . 2 : 1–20, 168. DOI : 10.1112 / S0025579300000644 . Руководство по ремонту  0072182 . Zbl  0064.28501 .
• Рот, KF (1965). «На больших решетах Линника и Реньи». Математика . 12 : 1–9. DOI : 10.1112 / S0025579300005088 . Руководство по ремонту  0197424 . Zbl  0137.25904 .
• Рот, К.Ф. (1976). «Развитие в проблеме треугольника Хейльбронна» . Успехи в математике . 22 (3): 364–385. DOI : 10.1016 / 0001-8708 (76) 90100-6 . Руководство по ремонту  0429761 . Zbl  0338.52005 .
• Рот, KF; Vaughan, RC (1978). «Неэффективность упаковки квадратов единичными квадратами» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 24 (2): 170–186. DOI : 10.1016 / 0097-3165 (78) 90005-5 . Руководство по ремонту  0487806 . Zbl  0373.05026 .

Книга [ править ]

• Хальберштам, Хейни ; Рот, Клаус Фридрих (1966). Последовательности . Лондон: Clarendon Press.^[21] Второе издание было опубликовано в 1983 г. компанией Springer-Verlag . ^[22]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]