Sequences — математическая монография о целочисленных последовательностях . Он был написан Хейни Хальберстам и Клаусом Ротом , опубликован в 1966 году издательством Clarendon Press и переиздан в 1983 году с небольшими исправлениями издательством Springer-Verlag . Хотя планировалось, что он станет частью двухтомного набора, [1] [2] второй том так и не был опубликован.
Книга состоит из пяти глав, [1] каждая из которых в значительной степени автономна [2] [3] и свободно организована вокруг различных методов, используемых для решения проблем в этой области, [2] с приложением по справочному материалу по теории чисел , необходимому для чтения . книга. [1] Вместо того, чтобы заниматься конкретными последовательностями, такими как простые числа или квадратные числа , его темой является математическая теория последовательностей в целом. [4] [5]
В первой главе рассматривается естественная плотность последовательностей и связанные с ней понятия, такие как плотность Шнирельмана . Он доказывает теоремы о плотности сумм последовательностей, в том числе теорему Манна о том, что плотность Шнирельмана суммы сумм является по крайней мере суммой плотностей Шнирельмана, и теорему Кнезера о структуре последовательностей, нижняя асимптотическая плотность которых субаддитивна. Он изучает существенные компоненты , последовательности, которые при добавлении к другой последовательности плотности Шнирельмана между нулем и единицей увеличивают свою плотность, доказывает, что аддитивные основания являются существенными компонентами, и дает примеры существенных компонентов, которые не являются аддитивными основаниями. [1][4] [5] [6]
Вторая глава касается количества представлений целых чисел в виде сумм заданного количества элементов из данной последовательности и включает теорему Эрдёша-Фукса, согласно которой это количество представлений не может быть близко к линейной функции . Третья глава продолжает изучение числа представлений с помощью вероятностного метода ; он включает теорему о том, что существует аддитивный базис второго порядка, число представлений которого логарифмическое, позже усиленный до всех порядков в теореме Эрдёша-Тетали . [1] [4] [5] [6]
После главы, посвященной теории решет и большому решету (к сожалению, в ней отсутствуют существенные события, произошедшие вскоре после публикации книги), [4] [5] последняя глава посвящена примитивным последовательностям целых чисел, таким как простые числа, в которых ни один элемент не делится . другим. Он включает в себя теорему Беренда о том , что такая последовательность должна иметь нулевую логарифмическую плотность, и кажущуюся противоречивой конструкцию Абрама Самойловича Безиковича примитивных последовательностей с естественной плотностью, близкой к 1/2. В нем также обсуждаются последовательности, содержащие все целые кратные их членов, теорема Давенпорта – Эрдёша .согласно которому меньшая натуральная и логарифмическая плотности существуют и равны для таких последовательностей, и связанная с этим конструкция Безиковича последовательности кратных, не имеющей натуральной плотности. [1] [4] [5]
Эта книга предназначена для других математиков и студентов, изучающих математику; это не подходит для широкой публики. [2] Однако рецензент Дж. В. С. Касселс предполагает, что он может быть доступен для продвинутых студентов по математике. [4]