Аддитивная основа

В аддитивной теории чисел , аддитивный базис представляет собой набор из натуральных чисел со свойством , что для некоторого конечного числа , каждое натуральное число может быть выражено в виде суммы или меньшего количества элементов . То есть, sumset из копий состоят из всех натуральных чисел. Порядок или степень аддитивной основы является числом . Когда контекст аддитивной теории чисел ясен, аддитивный базис можно просто назвать базисом . Асимптотический аддитивный базис представляет собой набор${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle S}$для которого все натуральные числа, кроме конечного, могут быть выражены как сумма или меньшее количество элементов . ^[1]${\ displaystyle k}$${\ displaystyle S}$

Например, по теореме Лагранжа о четырех квадратах набор квадратных чисел является аддитивным базисом четвертого порядка, а в более общем плане по теореме Ферма о многоугольных числах многоугольные числа для односторонних многоугольников образуют аддитивный базис порядка . Точно так же решения проблемы Варинга подразумевают, что степени th являются аддитивным базисом, хотя их порядок больше, чем . По теореме Виноградова , что простые числа являются асимптотическим аддитивным базисом порядка не четыре, а гипотеза Гольдбаха будет означать , что порядок их три. ^[1]${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Недоказанный Эрдёш-Туран гипотеза о аддитивных основаниях утверждает , что для любой аддитивной основы того , число представлений числа в виде суммы элементов базиса стремится к бесконечности в пределе стремится к бесконечности. (Точнее, количество представлений не имеет конечной супремума .) ^[2] Родственная теорема Эрдеша – Фукса утверждает, что количество представлений не может быть близким к линейной функции . ^[3] Теорема Эрдеша – Тетали утверждает, что для каждого существует аддитивный базис порядка , количество представлений каждого из которых равно .${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Theta (\ журнал п)}$^[4]

Теорема Льва Шнирельмана утверждает, что любая последовательность с положительной плотностью Шнирельмана является аддитивным базисом. Это следует из более сильной теоремы Генри Манна, согласно которой плотность Шнирельмана суммы двух последовательностей является по крайней мере суммой их плотностей Шнирельмана, если их сумма не состоит из всех натуральных чисел. Таким образом, любая последовательность плотности Шнирельмана является не более чем аддитивным основанием порядка . ^[5]${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle \ lceil 1 / \ varepsilon \ rceil}$

Ссылки [ править ]