Теорема Лагранжа о четырех квадратах , также известная как гипотеза Баше , утверждает, что каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырех целых квадратов . То есть квадраты образуют аддитивный базис четвертого порядка.
где четыре числа целые числа. Для иллюстрации 3, 31 и 310 можно представить как сумму четырех квадратов следующим образом:
Знайте, что 310 также можно представить как сумму этих четырех квадратов: , также как и .
Эта теорема была доказана Жозефом Луи Лагранжем в 1770 году. Это частный случай теоремы Ферма о многоугольных числах .
Историческое развитие
Из примеров, приведенных в « Арифметике» , ясно, что Диофант знал об этой теореме. Эта книга была переведена на латынь в 1621 году Баше (Клод Гаспар Баше де Мезириак) , который сформулировал теорему в примечаниях к своему переводу. Но теорема не была доказана до 1770 года Лагранжем. [1]
Адриан-Мари Лежандр расширил теорему в 1797–1787 годах своей теоремой о трех квадратах , доказав, что положительное целое число может быть выражено как сумма трех квадратов тогда и только тогда, когда оно не имеет формыдля целых k и m . Позже, в 1834 году, Карл Густав Якоб Якоби открыл простую формулу для количества представлений целого числа в виде суммы четырех квадратов со своей собственной теоремой о четырех квадратах .
Формула также связана с теоремой Декарта о четырех «кругах поцелуя», которая включает сумму квадратов кривизны четырех кругов. Это также связано с аполлоническими прокладками , которые совсем недавно были связаны с гипотезой Рамануджана – Петерсона . [2]
Классическое доказательство
Существует несколько очень похожих современных версий [3] [4] [5] доказательства Лагранжа. Приведенное ниже доказательство представляет собой немного упрощенную версию, в которой случаи, когда m четно или нечетно, не требуют отдельных аргументов.
Достаточно доказать теорему для любого нечетного простого числа p . Это немедленно следует из четырехквадратного тождества Эйлера (и из того факта, что теорема верна для чисел 1 и 2).
Остатки в 2 по модулю р различны для каждого а между 0 и ( р - 1) / 2 (включительно). Чтобы увидеть это, потребуется некоторое а , и определим C , как в 2 мод р . является корнем многочлена х 2 - с над полем Z / р Z . То же самое и p - a (которое отличается от a ). В поле K любой многочлен степени n имеет не более n различных корней ( теорема Лагранжа (теория чисел) ), поэтому нет других a с этим свойством, в частности, не среди 0 - ( p - 1) / 2 .
Аналогично, для b, принимающего целые значения от 0 до ( p - 1) / 2 (включительно), - b 2 - 1 различны. По принципу "голубятни" в этом диапазоне есть a и b , для которых a 2 и - b 2 - 1 равны по модулю p , то есть для которого
Теперь пусть m будет наименьшим положительным целым числом такое, что mp является суммой четырех квадратов, x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 (мы только что показали, что существует m (а именно n ) с этим свойством , значит, есть хотя бы один m , и он меньше p ). Мы показываем от противного, что m равно 1: предполагая, что это не так, мы доказываем существование положительного целого числа r, меньшего, чем m , для которого rp также является суммой четырех квадратов (это в духе бесконечного спуска [ 6] метод Ферма).
С этой целью мы рассматриваем для каждого x i значение y i, которое находится в одном и том же классе вычетов по модулю m и между (- m + 1) / 2 и m / 2 (возможно, включая). Отсюда следует, что y 1 2 + y 2 2 + y 3 2 + y 4 2 = mr для некоторого строго положительного целого числа r, меньшего m .
Наконец, еще одно обращение к тождеству Эйлера с четырьмя квадратами показывает, что mpmr = z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 + z 4 2 . Но тот факт, что каждый x i конгруэнтен своему соответствующему y i, означает, что все z i делятся на m . Действительно,
Отсюда следует , что при ш я = г я / м , ш 1 2 + ш 2 2 + ш 3 2 + ш 4 2 = тр , и это находится в противоречии с минимальности м .
В приведенном выше спуске мы должны исключить как случай y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = m / 2 (что дало бы r = m и отсутствие спуска), так и случай y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = 0 (что даст r = 0, а не строго положительное). В обоих случаях можно проверить, что mp = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 будет делиться на m 2 , что противоречит тому факту, что p простое число больше m .
Доказательство с использованием целых чисел Гурвица
Один из способов доказательства теоремы основан на кватернионах Гурвица , которые являются аналогом целых чисел для кватернионов . [7] Кватернионы Гурвица состоят из всех кватернионов с целыми компонентами и всех кватернионов с полуцелыми компонентами. Эти два набора можно объединить в одну формулу
где целые числа. Таким образом, кватернионные компоненты являются целыми или полуцелыми числами, в зависимости от того, четное или нечетное соответственно. Набор кватернионов Гурвица образует кольцо ; то есть сумма или произведение любых двух кватернионов Гурвица также является кватернионом Гурвица.
(Арифметика, или поле) норма рационального кватерниона неотрицательное рациональное число
где является конъюгат из. Обратите внимание, что норма кватерниона Гурвица всегда является целым числом. (Если коэффициенты являются полуцелыми числами, то их квадраты имеют вид, а сумма четырех таких чисел является целым числом.)
Поскольку умножение кватернионов является ассоциативным, а действительные числа коммутируют с другими кватернионами, норма произведения кватернионов равна произведению норм:
Для любой , . Отсюда легко следует, что является единицей кольца кватернионов Гурвица тогда и только тогда, когда .
Доказательство основной теоремы начинается с сведения к случаю простых чисел. Тождество Эйлера с четырьмя квадратами означает, что если теорема Лангранжа о четырех квадратах верна для двух чисел, она верна для произведения двух чисел. Поскольку любое натуральное число можно разложить на степени простых чисел, достаточно доказать теорему для простых чисел. Это верно для. Чтобы показать это для нечетного простого целого числа p , представьте его как кватерниони предположим пока (как мы покажем позже), что это не гурвицевская неприводимая ; то есть его можно разложить на два неединичных кватерниона Гурвица
Нормы такие целые числа, что
а также . Это показывает, что оба а также равны p (поскольку они целые числа), а p - сумма четырех квадратов
Если случится, что selected имеет полуцелые коэффициенты, его можно заменить другим кватернионом Гурвица. Выбирать таким образом, что имеет четные целые коэффициенты. потом
С имеет четные целые коэффициенты, будет иметь целочисленные коэффициенты и может использоваться вместо исходного чтобы представить p как сумму четырех квадратов.
Что касается доказательства того, что p не является неприводимым по Гурвицу, Лагранж доказал, что любое нечетное простое число p делит хотя бы одно число вида, где l и m - целые числа. [7] Это можно увидеть следующим образом: поскольку p простое число, может удерживаться для целых чисел , только тогда, когда . Таким образом, множество квадратов содержит различные вычеты по модулю p . Так же, содержит остатки. Так как всего имеется только p вычетов, и, множества X и Y должны пересекаться.
Число u можно разложить на кватернионы Гурвица:
Норма на кватернионах Гурвица удовлетворяет одной из форм евклидовости : для любого кватерниона с рациональными коэффициентами мы можем выбрать кватернион Гурвица чтобы сначала выбрав чтобы а потом чтобы для . Тогда получаем
Отсюда следует, что для любых кватернионов Гурвица с участием , существует кватернион Гурвица такой, что
Кольцо H кватернионов Гурвица не коммутативно, следовательно, оно не является действительной евклидовой областью и не имеет однозначной факторизации в обычном смысле. Тем не менее из указанного выше свойства следует, что каждый правый идеал является главным . Таким образом, существует кватернион Гурвица такой, что
В частности, для какого-то кватерниона Гурвица . Если были единицей, будет кратно p , однако это невозможно, поскольку не кватернион Гурвица для . Аналогично, если были бы единицей, у нас было бы
так p делит, что снова противоречит тому, что не является кватернионом Гурвица. Таким образом, p не является неприводимым по Гурвицу, как утверждается.
Обобщения
Теорема Лагранжа о четырех квадратах является частным случаем теоремы Ферма о многоугольных числах и проблемы Варинга . Другое возможное обобщение - следующая проблема: для данных натуральных чисел можем ли мы решить
для всех натуральных чисел n в целых числах? Делодает положительный ответ по теореме Лагранжа о четырех квадратах. Общее решение было дано Рамануджаном . [8] Он доказал, что если мы предположим без ограничения общности, что то есть ровно 54 возможных варианта для такая, что задача разрешима в целых числах для всех п . (Рамануджан перечислил 55-ю возможность, но в этом случае проблема не решается, если . [9] )
Алгоритмы
Майкл О. Рабин и Джеффри Шаллит [10] нашли рандомизированные алгоритмы с полиномиальным временем для вычисления единственного представлениядля данного целого числа n в ожидаемое время работы.
Количество представительств
Количество представлений натурального числа n в виде суммы четырех квадратов обозначается r 4 ( n ). Четыре-квадрат теорема Якоби утверждает , что это в восемь раз сумма делителей из п , если п нечетно и 24 - кратная сумма нечетных делителей п , если п четно (см делителей функции ), т.е.
Эквивалентно, это в восемь раз больше суммы всех его делителей, которые не делятся на 4, т. Е.
Мы также можем записать это как
где второй член следует принимать равным нулю, если n не делится на 4. В частности, для простого числа p мы имеем явную формулу r 4 ( p ) = 8 ( p + 1). [11]
Некоторые значения r 4 ( n ) встречаются бесконечно часто, так как r 4 ( n ) = r 4 (2 m n ), когда n четно. Значения r 4 ( n ) / n могут быть сколь угодно большими: действительно, r 4 ( n ) / n бесконечно часто больше 8 √ log n . [11]
Уникальность
Последовательность положительных целых чисел, которые имеют только одно представление в виде суммы четырех квадратов (по порядку):
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (последовательность A006431 в OEIS ).
Эти целые числа состоят из семи нечетных чисел 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23 и всех чисел в форме или же .
Последовательность положительных целых чисел, которая не может быть представлена в виде суммы четырех ненулевых квадратов:
- 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ... (последовательность A000534 в OEIS ).
Эти целые числа состоят из восьми нечетных чисел 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 и всех чисел вида или же .
Дальнейшие уточнения
Теорема Лагранжа о четырех квадратах может быть уточнена различными способами. Например, Zhi-Wei Sun [12] доказал, что каждое натуральное число можно записать как сумму четырех квадратов с некоторыми требованиями к выбору этих четырех чисел.
Можно также задаться вопросом, нужно ли использовать весь набор квадратных целых чисел, чтобы записать каждое натуральное число как сумму четырех квадратов. Вирсинг доказал, что существует множество квадратов S стаким образом, что каждое положительное целое число , меньший или равный п можно записать в виде суммы не более 4 -х элементов S . [13]
Смотрите также
- Теорема Ферма о суммах двух квадратов
- Теорема Ферма о многоугольных числах
- Проблема Варинга
- Теорема Лежандра о трех квадратах
- Теорема о сумме двух квадратов
- 15 и 290 теорем
Заметки
- ^ Ирландия и Розен 1990 .
- ^ Сарнак 2013 .
- ^ Ландау 1958 , теоремы 166-169.
- ^ Харди и Райт 2008 , теорема 369.
- ↑ Niven & Zuckerman 1960 , параграф 5.7.
- ^ Здесь аргумент является прямым доказательством от противного . При исходном предположении, что m > 2, m < p , является некоторым целым числом, таким, что mp представляет собой сумму четырех квадратов (не обязательно наименьших), аргумент может быть изменен, чтобы стать аргументом бесконечного спуска в духе Ферма.
- ^ Б Stillwell 2003 , стр. 138-157.
- ^ Рамануджан 1917 .
- ↑ О, 2000 .
- ^ Рабина и Shallit 1986 .
- ^ a b Уильямс 2011 , стр. 119.
- ^ З.-В. Вс 2017 .
- ^ Спенсер 1996.
Рекомендации
- Харди, GH ; Райт, EM (2008) [1938]. Хит-Браун, доктор медицины ; Сильверман, JH ; Уайлс, Эндрю (ред.). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921985-8.
- Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.). Springer. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4 . ISBN 978-1-4419-3094-1.
- Ландау, Эдмунд (1958) [1927]. Элементарная теория чисел . 125 . Перевод Гудмана, Джейкоба Э. (2-е изд.). AMS Chelsea Publishing.
- Нивен, Иван; Цукерман, Герберт С. (1960). Введение в теорию чисел . Вайли .
- О, Бён-Квон (2000). "Представления двоичных форм пятерными квадратичными формами" (PDF) . Тенденции в математике . 3 (1): 102–107.
- Рабин, Миссури ; Шаллит, JO (1986). «Рандомизированные алгоритмы в теории чисел». Сообщения по чистой и прикладной математике . 39 (S1): S239 – S256. DOI : 10.1002 / cpa.3160390713 .
- Рамануджан, С. (1917). «О выражении числа в виде ax 2 + by 2 + cz 2 + dw 2 ». Proc. Camb. Фил. Soc . 19 : 11–21.
- Сарнак, Питер (2013). «Гипотеза Рамануджана и некоторые диофантовы уравнения» (лекция в Институте фундаментальных исследований Тата). Серия лекций ICTS. Бангалор, Индия.
- Стиллвелл, Джон (2003). Элементы теории чисел . Тексты для бакалавриата по математике. Springer. DOI : 10.1007 / 978-0-387-21735-2 . ISBN 978-0-387-95587-2. Zbl 1112.11002 .
- Вс, З.-В. (2017). «Уточнение теоремы Лагранжа о четырех квадратах». J. Теория чисел . 175 : 167–190. arXiv : 1604.06723 . DOI : 10.1016 / j.jnt.2016.11.008 . S2CID 119597024 .
- Уильямс, Кеннет С. (2011). Теория чисел в духе Лиувилля . Тексты студентов Лондонского математического общества. 76 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002 .
- Спенсер, Джоэл (1996). «Четыре квадрата с несколькими квадратами». Теория чисел: Нью-Йоркский семинар 1991–1995 . Springer США. С. 295–297. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-2418-1_22 . ISBN 9780387948263.
Внешние ссылки
- Доказательство на PlanetMath.org
- Еще одно доказательство
- апплет, разлагающий числа на сумму четырех квадратов
- Индекс OEIS для последовательностей, относящихся к суммам квадратов и сумм кубов