В математике , Лежандр три квадратной теорема утверждает , что натуральное число можно представить в виде суммы трех квадратов целых чисел
тогда и только тогда, когда n не в форме для неотрицательных целых чисел a и b .
Первые числа, которые не могут быть выражены как сумма трех квадратов (т. Е. Числа, которые могут быть выражены как ) находятся
История
Пьер де Ферма дал критерий того, что числа вида 3 a + 1 являются суммой трех квадратов, но не представил доказательства. Н. Бегелин заметил в 1774 г. [1], что каждое положительное целое число, не имеющее ни формы 8 n + 7, ни формы 4 n , является суммой трех квадратов, но не дал удовлетворительного доказательства. [2] В 1796 году Гаусс доказал свою теорему Эврики о том, что каждое натуральное число n является суммой трех треугольных чисел ; это равносильно тому, что 8 n + 3 представляет собой сумму трех квадратов. В 1797 или 1798 году А.-М. Лежандр получил первое доказательство своей теоремы о трех квадратах. [3] В 1813 г. А.Л. Коши заметил [4], что теорема Лежандра эквивалентна утверждению во введении выше. Ранее, в 1801 г., К. Ф. Гаусс получил более общий результат [5], содержащий в качестве следствия теорему Лежандра 1797–1787 гг. В частности, Гаусс подсчитал количество решений выражения целого числа как сумму трех квадратов, и это является обобщением еще одного результата Лежандра [6] , доказательство которого является неполным. Этот последний факт, по-видимому, является причиной более поздних неверных утверждений, согласно которым доказательство Лежандра теоремы о трех квадратах было ошибочным и должно было быть завершено Гауссом. [7]
С помощью теоремы Лагранжа о четырех квадратах и теоремы о двух квадратах Жирара, Ферма и Эйлера проблема Варинга для k = 2 полностью решена.
Доказательства
«Только если» теоремы просто потому, что по модулю 8 каждый квадрат сравним с 0, 1 или 4. Существует несколько доказательств обратного (помимо доказательства Лежандра). Один из них принадлежит JPGL Дирихле в 1850 году и стал классическим. [8] Для этого потребуются три основные леммы:
- квадратичная взаимность закон,
- Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях и
- класс эквивалентности тривиальной тернарной квадратичной формы .
Связь с теоремой четырех квадратов
Эту теорему можно использовать для доказательства теоремы Лагранжа о четырех квадратах , в которой говорится, что все натуральные числа можно записать как сумму четырех квадратов. Гаусс [9] указал, что теорема о четырех квадратах легко следует из того факта, что любое положительное целое число, равное 1 или 2 по модулю 4, является суммой трех квадратов, потому что любое положительное целое число, не делящееся на 4, может быть приведено к этой форме путем вычитания 0 или 1 от него. Однако доказательство теоремы о трех квадратах значительно сложнее, чем прямое доказательство теоремы о четырех квадратах, которое не использует теорему о трех квадратах. Действительно, теорема о четырех квадратах была доказана ранее, в 1770 году.
Смотрите также
Заметки
- ^ Nouveaux Mémoires де l'Académie де Берлин (1774, опубл. 1776), стр. 313-369.
- ^ Леонард Юджин Диксон , История теории чисел , т. II, стр. 15 (Институт Карнеги в Вашингтоне, 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, перепечатка).
- ^ А.-М. Legendre, Essai sur la théorie des nombres , Париж, An VI (1797–1798), стр. 202 и стр. 398–399.
- ^ А. Л. Коши, Mém. Sci. Математика. Phys. de l'Institut de France , (1) 14 (1813–1815), 177.
- ↑ CF Gauss, Disquisitiones Arithmeticae , Art. 291 и 292.
- ^ А.-М. Legendre, Hist. et Mém. Акад. Рой. Sci. Париж , 1785, стр. 514–515.
- ↑ См., Например: Елена Деза и М. Деза. Фигурные числа . World Scientific 2011, стр. 314 [1]
- ^ См., Например, т. I, части I, II и III: E. Landau , Vorlesungen über Zahlentheorie , New York, Chelsea, 1927. Второе издание, переведенное на английский язык Джейкобом Э. Гудманом, Providence RH, Chelsea, 1958.
- ^ Гаусс, Карл Фридрих (1965), Disquisitiones Arithmeticae , Yale University Press, стр. 342, раздел 293, ISBN 0-300-09473-6